高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)(內(nèi)附類型題以及歷年高考真題.doc_第1頁
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三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與常見習(xí)題類型解法1. 任意角的三角函數(shù):(1) 弧長(zhǎng)公式: R為圓弧的半徑,為圓心角弧度數(shù),為弧長(zhǎng)。(2) 扇形的面積公式: R為圓弧的半徑,為弧長(zhǎng)。(3) 同角三角函數(shù)關(guān)系式: 倒數(shù)關(guān)系: 商數(shù)關(guān)系:, 平方關(guān)系:(4) 誘導(dǎo)公式:(奇變偶不變,符號(hào)看象限)k/2+所謂奇偶指的是整數(shù)k的奇偶性函 數(shù)2.兩角和與差的三角函數(shù):(1)兩角和與差公式: 注:公式的逆用或者變形(2)二倍角公式: 從二倍角的余弦公式里面可得出降冪公式: , (3)半角公式(可由降冪公式推導(dǎo)出):, ,3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì):(其中)三角函數(shù)定義域(-,+)(-,+)值域-1,1-1,1(-,+)最小正周期奇偶性奇偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增對(duì)稱性零值點(diǎn)最值點(diǎn),;, 無4.函數(shù)的圖像與性質(zhì):(本節(jié)知識(shí)考察一般能化成形如圖像及性質(zhì))(1) 函數(shù)和的周期都是(2) 函數(shù)和的周期都是(3) 五點(diǎn)法作的簡(jiǎn)圖,設(shè),取0、來求相應(yīng)的值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。(4) 關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換,提倡先平移后伸縮。切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言,即圖像變換要看“變量”起多大變化,而不是“角變化”多少。(附上函數(shù)平移伸縮變換):函數(shù)的平移變換: 將圖像沿軸向左(右)平移個(gè)單位(左加右減) 將圖像沿軸向上(下)平移個(gè)單位(上加下減)函數(shù)的伸縮變換: 將圖像縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮到原來的倍(縮短, 伸長(zhǎng)) 將圖像橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的A倍(伸長(zhǎng),縮短)函數(shù)的對(duì)稱變換:) 將圖像繞軸翻折180(整體翻折)(對(duì)三角函數(shù)來說:圖像關(guān)于軸對(duì)稱)將圖像繞軸翻折180(整體翻折)(對(duì)三角函數(shù)來說:圖像關(guān)于軸對(duì)稱) 將圖像在軸右側(cè)保留,并把右側(cè)圖像繞軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)保留在軸上方圖像,軸下方圖像繞軸翻折上去(局部翻動(dòng))5、方法技巧三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1)常值代換:特別是用“1”的代換,如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng):sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配湊角:=(+),=等。(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。(4)引入輔助角。asin+bcos=sin(+),這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定,角的值由tan=確定。類題:1已知tanx=2,求sinx,cosx的值解:因?yàn)?,又sin2xcos2x=1,聯(lián)立得解這個(gè)方程組得2求的值解:原式3若,求sinxcosx的值解:法一:因?yàn)樗詓inxcosx=2(sinxcosx),得到sinx=3cosx,又sin2xcos2x=1,聯(lián)立方程組,解得所以法二:因?yàn)樗詓inxcosx=2(sinxcosx),所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2,所以12sinxcosx=48sinxcosx,所以有4求證:tan2xsin2x=tan2xsin2x證明:法一:右邊tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x,問題得證法二:左邊=tan2xsin2x=tan2x(1cos2x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x,問題得證5求函數(shù)在區(qū)間0,2p 上的值域解:因?yàn)?x2,所以由正弦函數(shù)的圖象,得到所以y1,26求下列函數(shù)的值域(1)ysin2xcosx+2;(2)y2sinxcosx(sinxcosx)解:(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3,令t=cosx,則利用二次函數(shù)的圖象得到(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx),令t=sinxcosx,則則,利用二次函數(shù)的圖象得到7若函數(shù)y=Asin(x+)(0,0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為,它到其相鄰的最低點(diǎn)之間的圖象與x軸交于(6,0),求這個(gè)函數(shù)的一個(gè)解析式解:由最高點(diǎn)為,得到,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間隔是半個(gè)周期,從而與x軸交點(diǎn)的間隔是個(gè)周期,這樣求得,T=16,所以又由,得到可以取8已知函數(shù)f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期; ()若求f(x)的最大值、最小值數(shù)的值域解:()因?yàn)閒(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x所以最小正周期為()若,則,所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)取最大值為當(dāng)時(shí),f(x)取最小值為1 已知,求(1);(2)的值.解:(1); (2) .說明:利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備,通過構(gòu)造的辦法得到),進(jìn)行弦、切互化,就會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。2 求函數(shù)的值域。解:設(shè),則原函數(shù)可化為,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)的值域?yàn)椤?已知函數(shù)。(1)求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合;(2)證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解: (1)所以的最小正周期,因?yàn)椋?,?dāng),即時(shí),最大值為;(2)證明:欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,只要證明對(duì)任意,有成立,因?yàn)?,所以成立,從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。4 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 (xR),(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解:(1)y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +(2sinxcosx)+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時(shí),只需2x+=+2k,(kZ),即 x=+k,(kZ)。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí),自變量x的集合為x|x=+k,kZ(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像;(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像;(iii)把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像; (iv)把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。歷年高考綜合題一,選擇題1.(08全國(guó)一6)是 ( )A最小正周期為的偶函數(shù)B最小正周期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù) D最小正周期為的奇函數(shù)2.(08全國(guó)一9)為得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖像( )A向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位3.(08全國(guó)二1)若且是,則是 ( )A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角4.(08全國(guó)二10)函數(shù)的最大值為 ( )A1 B C D25.(08安徽卷8)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是 ( )ABCD6.(08福建卷7)函數(shù)y=cosx(xR)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)的解析式為 ( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7.(08廣東卷5)已知函數(shù),則是 ( )A、最小正周期為的奇函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的偶函數(shù)8.(08海南卷11)函數(shù)的最小值和最大值分別為 ( )A. 3,1B. 2,2C. 3,D. 2,9.(08湖北卷7)將函數(shù)的圖象F向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象F,若F的一條對(duì)稱軸是直線則的一個(gè)可能取值是 ( ) A. B. C. D. 10.(08江西卷6)函數(shù)是 ( )A以為周期的偶函數(shù) B以為周期的奇函數(shù)C以為周期的偶函數(shù) D以為周期的奇函數(shù)11.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn),則的最大值為 ( )A1 B C D212.(08山東卷10)已知,則的值是( )A B C D13.(08陜西卷1)等于 ( )A B C D14.(08四川卷4) ( ). . . .15.(08天津卷6)把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象所表示的函數(shù)是 ( ) A BC D16.(08天津卷9)設(shè),則 ( )AB C D17.(08浙江卷2)函數(shù)的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.18.(08浙江卷7)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )A.0 B.1 C.2 D.4二,填空題19.(08北京卷9)若角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值為 20.(08江蘇卷1)的最小正周期為,其中,則= 21.(08遼寧卷16)設(shè),則函數(shù)的最小值為 22.(08浙江卷12)若,則_。23.(08上海卷6)函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 三,解答題24. (08四川卷17)求函數(shù)的最大值與最小值。25. (08北京卷15)已知函數(shù)()的最小正周期為()求的值;()求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍26. (08天津卷17)已知函數(shù)()的最小值正周期是 ()求的值;()求函數(shù)的最大值,并且求使取得最大值的的集合27. (08安徽卷17)已知函數(shù)()求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程()求函數(shù)在區(qū)間上的值域28. (08陜西卷17)已知函數(shù)()求函數(shù)的最小正周期及最值;()令,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19. 20. 10 21. 22. 23.224. 解:由于函數(shù)在中的最大值為 最小值為 故當(dāng)時(shí)取得最大值,當(dāng)時(shí)取得最小值【點(diǎn)評(píng)】:此題重點(diǎn)考察三角函數(shù)基本公式的變形,配方法,符合函數(shù)的值域及最值;【突破】:利用倍角公式降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵;25. 解:()因?yàn)楹?

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