立體幾何高考命題走向傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機結合.doc

立體幾何高考命題走向：傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機結合新課程下立體幾何命題特點淺析在新課程實施的大背景下，立體幾何高考命題是一道最富有特色的靚麗風景線。作為中學數(shù)學傳統(tǒng)的主體內容之一，立體幾何高考命題始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質與距離的計算作為考查的重點。對學生的空間想象能力、邏輯思維、演繹推理能力等傳統(tǒng)的考查方式，仍保持相對的穩(wěn)定。同時，隨著新課程改革的不斷深化，立體幾何無疑又成為數(shù)學學科高考命題改革的“突破口”與“試驗田”，有時還成為“風向標”，這些改革嘗試的目的在于“激發(fā)學生獨立思考，從數(shù)學的角度去發(fā)現(xiàn)和提出問題，并加以探索和研究，有利于提高學生的思維能力和創(chuàng)新意識”。從近十年來，特別是2004、2005年高考全國及各省市自主命題中對立體幾何試題的分析、我們可以清楚地看到，傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機結合，正是在新課程理念下立體幾何高考命題的新走向與新特色。一、試題分布特點分析表1、2004年夏季全國及部分省市自主命題高考試卷中立體幾何題分布表類型題號試題所占分數(shù)整體分數(shù)占總分比例題型考查知識點提要全國I10521兩小一大14%選擇題截面與正四面體表面積之比的計算164填空題異面直線在平面射影的位置關系判定2012解答題四棱錐中的點面距離，二面角的計算全國II7521兩小一大14%選擇題球心到小圓截面距離的計算164填空題直四棱柱的判定2012解答題直三棱柱中線面垂直的論證：二面角的計算全國III9521兩小一大14%選擇題正三棱錐的體積計算134填空題小圓面積與球表面之比的計算2012解答題三棱錐中的線線垂直的論證，線面角的計算全國IV文13522兩小一大14.67%選擇題理7正三棱錐體積的計算，線面平行、相交、線線平等的判定理105填空題球心到小圓截面的距離計算文72012解答題四棱錐體積計算，線線垂直論證類型題號試題所占分數(shù)整體分數(shù)占總分比例題型考查知識點提要北京3526三小一大17.33%選擇題線線垂直、平行、線面垂直、面面平行的判定45選擇題正方體內動點到直線距離與軌跡問題綜合115填空題球的小圓弧長與表面積的計算1614解答題正三棱柱側面展開圖對角線及相關線段長與二面角大小計算上海13420一小一大13.33%填空題線面垂直、平行的判定2116解答題正四面體的判定，二面角的計算、等體積的直平行六面體的探索天津6522兩小一大14.67%選擇題正方體中異面直線成角余弦值的計算文85選擇題線面垂直關系與動點軌跡的綜合105選擇題長方體截面面積的計算理1912解答題四棱錐中線面垂直、平行的論證、二面角大小的計算四棱錐中線石平行論證，線面成角正切值計算文19重慶文16522兩小一大14.67%填空題地球與火星大圓周長計算選擇題線面平行、垂直、異面直線的判定85選擇題三棱錐側面點動點到底面距離，及到直線距離引出動點軌跡（與解析幾何綜合）125選擇題正方體鉛孔后的表面積計算1912解答題四棱錐中異面直線分垂線的論證，線面成角二面角（文）的計算湖北11517一小一大11.33%選擇題二面角、線面成角的有關計算及直線與平面位置關系的判定文65選擇題四面體的表面積的計算1812解答題正方體中動點位置探求，使得線與面垂直、二面角大小的計算湖南4522兩小一大14.67%選擇題由翻折圖形得三棱錐體積最大的，線面成角的計算105選擇題正八面體頂點與排列組合綜合1912解答題四棱錐中線面垂直的證明，二面角的計算，探求動點的位置，使線面平行類型題號試題所占分數(shù)整體分數(shù)占總分比例題型考查知識點提要浙江10521兩小一大14%選擇題正三棱柱中線面成角大小的計算164填空題點面距離，點線距離的計算1912解答題不規(guī)則圖形（正方體變化而來）中線面平行（垂直）論證，二面角大小，點面距離、異面直線成角的計算福建5526三小一大17.33%選擇題線線平行、線面平行、面面平行判定105選擇題球的小圓截面與斜線成角的計算164填空題六棱柱容器容積最大的計算（與導數(shù)綜合）1912解答題三棱錐中線線垂直的證明、二面角、點面距離的計算遼寧3526三小一大17.33%選擇題線面、面面位置關系判定及充分條件與必要條件105選擇題球的小圓截面與球距離及球體積的計算154填空題斜四棱柱側棱與截面距離的計算1712解答題四棱錐中面面垂直的論證，二面角余弦值的計算江蘇4517一小一大11.33%選擇題由球心到小圓截面距離求球的體積1812解答題正方體中，線面成角，點面距離的計算，線線垂直的論證廣東7521兩小一大14%選擇題正方體截去八個小棱距后剩余體積的計算154填空題由平面圖形面積的比例關系，推廣到空間圖形的體積比例關系1812解答題長方體中二面角，異面直線成角的計算表2、2005年夏季全國及部分省市自主命題高考試卷中立體幾何題分布表類型題號試題所占分數(shù)整體分數(shù)占總分比例題型考查知識點提要全國I3526三小一大17.33%選擇題由小圓面積求球表面積55選擇題求不規(guī)則五面體的體積164填空題截面圖形判定，面面垂直判定1812解答題四棱錐中,證面面垂直,求異面直線成角，二面角大小全國II2526三小一大17.33%選擇題截面圖形判定125選擇題求正四面體內切球與高的關系164填空題正三棱錐的判定2012解答題四棱錐中證線面垂直求二面角大小全國III4422兩小一大14.67%選擇題三棱柱中求四棱錐的體積114選擇題點面距離、位置判定1812解答題證線面垂直，求二面角的大小北京65一小一大12.67%選擇題線面平行，垂直面面垂直的垂直的判定文16理161419解答題證線線垂直，線面平行，求異面直線線角大小解答題直四棱柱中，證線線垂直求二面角及異面直線成角大小天津4517一小一大11.33%選擇題線面垂直充要條件1912解答題斜三棱柱中求線面成角大小，證線面平行，求四面體外接球體積重慶7522兩小一大14.67%選擇題面面平行判定105選擇題求三棱錐體積2012解答題三棱柱中，求異面直線距離，二面角平面角正弦值遼寧4321兩小一大14%選擇題面面平行判定144填空題求點面距離1712解答題三棱錐中證線面垂直，求二面角平面角余弦值，三棱柱外接球表面積求棱長江蘇8524兩小一大16%選擇題線線、線面、面面平等判定45選擇題求點面距離2114解答題五棱錐中求異面直線線角，二面角大小證線面垂直類型題號試題所占分數(shù)整體分數(shù)占總分比例題型考查知識點提要浙江6522兩小一大14.67%選擇題線線平行，面面垂直判定125選擇題求翻折圖形中異面直線成角大小1812解答題三棱錐中，證線面平行，求線面成角大小，求點在面射影位置福建4522兩小一大14.67%選擇題線線平行、垂直，面面垂直判定85選擇題求異面直線成角2012解答題在不規(guī)則圖形（直三棱柱變形）中，證線面垂直求二面角大小，求點面距離湖北10522兩小一大14.67%選擇題線面平行判定文2012解答題求截面的邊長，求點面距離125選擇題平行六面體中點面關系與概率綜合題理2012解答題四棱錐中，求異面直線成角余弦值，由點面距求點線距離湖南5517一小一大11.33%選擇題求點面距離1712解答題由翻折圖形，證異面直線垂直，求二面角大小廣東4524兩小一大16%選擇題三棱柱中求三棱錐體積75選擇題線面平行判定1614解答題四面體中，證線面垂直求二面角大小山東8521兩小一大14%填空題線線、線面、面面平行判定2012選擇題地球上兩地之間的球面距離164解答題在長方體中，求異面直線成角、二面角（銳角）大小，求點面距離江西9521兩小一大14%選擇題求四面體外接球的體積154填空題求棱柱表面兩點間最短路徑長（展開圖）2012解答題在長方體中，證線線垂直求點面距離，求二面角大小求線段長（1）占分比重：立體幾何在高考中的占分比重，隨課程內容的變化有所下降，2003年前的試卷中，一般有三小一大，約26分，占全卷的17.4%，而2004年江蘇、湖北試卷中的一小一大共17分，而2005年天津與湖南試卷中也僅一小一大共17分，僅占11.3%，全國絕大多數(shù)省、市兩年基本上是兩大一小，約2122分，占全卷的14%。這與立體幾何所占的學時比例（36/324）基本相當，由于立體幾何內容與方法較多，又是考查空間想象能力的重要途徑，我們認為題量“兩小一大”較為合理。（2）解答題位置從2004年15份理科試卷及2005年16份理科試卷中，每份均有一道立體幾何解答試題，2004年處在解答題的第1個位置的僅有遼寧1道試題，第2個位置的有北京、湖北、江蘇、廣東4道試題，而全國卷的4道題都處在解答題的第4個位置；第3個位置的有天津、重慶、湖北、湖南、浙江、福建6道。而2005年，處在解答題的第1個位置的仍是遼寧與上海兩道試題，第2位置的有全國I、全國III，北京、廣東、湖南5道題，第3個位置的有江蘇、天津2道試題，而處在第4位置的有全國II、福建、湖北、山東、浙江、重慶、江西等7道試題，這說明立體幾何解答題屬于中檔題，但又有難度提高并后移的趨勢。（3）考查方式大題以考查直線與平面位置關系的證明角度與距離的計算為主，通常以多面體為載體：如正方體、長方體、三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐，2004年試卷中涉及棱錐的試題出現(xiàn)的幾率較大，有9道之多當中涉及四棱錐的有6道，三棱錐的有3道。涉及柱體的有5道，當中三棱柱2道，正方體2道，長方體的1道。事實上，浙江的試題也可以看做是以長方體為模型的立體幾何題。當中，關于二面角的計算的試題多達11道試題；判斷垂直與平行的有10道。 2005年試卷中，涉及三棱錐的有3道，四棱錐的有3道，江蘇還出了一道五棱錐，涉及三棱柱3道，四棱柱2道，長方體2道，福建的試題中不規(guī)則圖形，也可以看成柱體切去一部分，當中關于二面角的計算14道，證明垂直與平行的有13道。（4）大小題型考查內容解答題多采用一題多問的方式，這樣既降低了起點，又分散了難點，試題既包含了一定量的證明步驟，也包含了計算部分，能較全面地考查邏輯推理能力，空間想象能力和運算能力，同時還應注意利用前面的結論、圖形等分析后面的結論。估計這種命題的特點還將保持下去?？疾榫€線、線面、面面關系的論證，此類題目常以客觀題或解答題的第一步出現(xiàn)。計算空間的角或距離，常以客觀題或解答題的第二步出現(xiàn)。小題類型大體有：用于覆蓋大題未考查到的直線、平面位置關系的判定，角度、距離的計算及球的問題，體積、表面積問題，空間想象問題，與其它知識（如排列組合概率等）綜合的問題。2005年試卷的選填題中，涉及線線、線面、面面關系的判斷題有14道，求空間角與距離的僅有5道，簡單幾何體及其體積有10道，翻析與展開的有2道，與排列、組合、概率綜合的問題有2道。二試題創(chuàng)新特色分析（1）傳統(tǒng)內容的“雙軌”處理2005年理科16份試卷中，有13道立體幾何解答題明顯給出了空間坐標系的框架，只要利用空間向量的意識，建立空間坐標系后就容易求解，即立體幾何問題大多可以用向量作工作解決，兼顧了九（A）、九（B）兩種教材版本。由于近幾年高考命題傾向于新教材的內容，因此，同一道立體幾何綜合題，利用空間向量求解比用傳統(tǒng)方法求解相對較易，尤其是確定點的位置或探索性問題，利用空間向量的坐標形式求解更凸現(xiàn)其解法的優(yōu)越法。例1如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是線段EF的中點，（1）求證：AM/平面BDE（2）求二面角ADFB的大??；（3）在線段AC上確定一點P，使得PF與CD所成的角是。分析：此題既可用傳統(tǒng)方法求解，也可用空間向量求解，但要確定一個點的位置，一般情況下用空間向量比較容易解答，可避免傳統(tǒng)解法中的一些幾何性質的論證。解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，連結NE，則點，E（0，0，1），又，所以且NE與AM不共線，故NE/AM， 所以AM/平面BDE（2）為平面ADF的法向量。，所以為平面BDF的法向量。與的夾角是，即二面角ADFB的大小是。（3）設得，由于與所成的角是，解得：或（舍去） 所以P是AC的中點點評：本題考查空間線面關系及空間向量概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。例2如圖2，直三棱柱中ABCAl Bl Cl，ACB=90，AC=1，CB=，側棱AA11，側面AA1 B1B的兩條對角線的交點為D，C1 Bl的中點為M，（I）求證CD平面BDM；（II）求面B1BD與面CBD 所成二面角的大小。本題第I問證明CD平面BDM，則要設法在該 平面內找到與CD垂直的直線。先從該平面已有的三條直線BD、BM、DM入手，因為B點為棱柱的頂點，涉及的已知條件比較多，可以先考查從B點上出發(fā)的直線BD。從已知條件可以求得BD1，BG=，但CD長度未知，且不易求出，這時要放開眼界，找出和BD有關的條件。BD進一步延長就是BA1，在A1BC中，BC=CA1，D為A1B的中點，則CDA1B。此時CD=CC1，DM=AC1=C1M，所以CDMCC1M，所以CDBM。本題也可以連結CB1BM，從而CDBM 第問是求二面角的大小，要首先找出該二面角的平面角，再找出數(shù)量關系。雖然已經(jīng)證明CDA1B，但在平面A1BB1內，垂直于棱A1 B的垂線不易求得，所以要進行相應的“移動”BlBD是等邊三角形，BD邊上的中線Bl G垂直于棱AlB，其長為。作GFCD，GF=CD=,利用勾股定理可求得FB1=，再利用余弦定理可以求出FCBl度數(shù)。本題也可以應用空間向量解決。因為題目給出的三棱錐是“躺倒”放置的，從C點出發(fā)的一條側棱和兩條底邊自然組成了互相垂直的“坐標架”，因此可以以C點為原點，以上述的三條直線為坐標軸建立坐標系。建立坐標系以后就可以求出各點的坐標，以及各向量的坐標，利用向量的數(shù)量積可以證明垂直關系、求出兩個向量的夾角。值得注意的是，在解決本題的第問時，可以不用把垂直于二面角棱的兩條直線移到同一點，只要能證明他們都垂直于二面角的棱，則他們的夾角的大小就是二面角的大小，直接應用向量的夾角公式計算即可。本題采用一題兩法的設計，方便考生根據(jù)自己的情況，選擇自己熟悉的方法。但通過解題過程的比較可以發(fā)現(xiàn)，向量的方法比較規(guī)范、簡捷。本題對空間想像能力的考查與計算緊密結合，而且有多條途徑可以解決問題，給考生以發(fā)揮的空間。既重視傳統(tǒng)解法，也彰顯向量解法的魅力。多法并舉，寬入口，多角度凸顯學生的能力。結合新課程新引入向量知識，豐富與拓展研究手段，既重視傳統(tǒng)的方法又注重向量的方法是高考在立體幾何方面的新動向。用向量這一有力的工具解決立體幾何問題，融推理于計算，兩種方法有機結合，相得益彰。 （2）客觀題提高了思維深度由于新高考的題型的比例由各省自定，對易、中、難題分數(shù)比和選修部分不再強調“以容易題和中等題為主”的要求出現(xiàn)，勢必形成客觀題的思維深度進一步提高。我們從2003年全國高考第（8）題：棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）又如2004年全國高考理第（10）題：已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H，設四面體EFGH的的表面積為T，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）比較可以看出，這兩道題目一脈相承，解法相仿，均需要用推理運算進行求解，并且后者稍難于前者。前者為正方體，后者為四面體，解決這兩題的難度由此一目了然。這正是思維深度進一步提高的詮釋。再如2005年重慶卷第10題：如圖，在體積為1的三棱錐ABCD側棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G使AE：EBAF：FCAC：CD2：1， 記O為三平面 BCG、CDE、DFB的交點，則三棱錐O-BCD的體積等于（A） （B） （C） （D）此題對空間想象能力、思維能力、運算能力的要求都較高。要求考生對圖形作出細致的觀察和理性的分析，對圖形提供的信息進行合理加工，會根據(jù)需要對圖形進行拆分與組合。此題實際上是求體積比，由于底面相同，則其值等于h0：ha。方法1不妨設ABCD為正三棱錐，如圖DH為底面邊BC上的中線，設A、C在底面上的射影分別是R、S，則HR：RDRS=3：6：4，所以OR：CS：AR3721，故兩高的比h0：ha1：7方法2 設DEBG=M，BFCE=N，則CMDN=0觀察下面的兩個分拆出來的平面圖形，如圖：DM：ME=BD：EC=ADAC3：2，EDEM5：2。又CO：OMCD：MNED：EM=5：2，CO：CM57h0：ha1：7將立體圖形拆分成或抽拿出若干平面圖形，通過平面圖形實施具體運算，可大大簡化空間圖形的抽象程度，這是解決較復雜問題的常用手法。在立體幾何中引入空間向量以后，很多問題都可以應用向量的方法解決特別是近兩年解答題采取“一題兩法”的設計之后，應用空間向量的方法，可以通過建立空間坐標系，將幾何元素之間的關系數(shù)量化，進而通過計算解決求角、證明的問題，空間向量更顯現(xiàn)出解題的優(yōu)勢，因此對空間想像能力的考查正由大題向小題轉移，特別是在新課程卷中一些多面體和旋轉體不作要求，小題中對這些幾何體的計算要求較低，更多地承擔起考查空間想像能力的重任。例3對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（A）如果m,n,m、n是異面直線，那么n（B）如果m,n,m、n是異面直線，那么n與相交（C）如果m, n，m、n共面，那么mn（D）如果m，n，m、n共面，那么mn分析：首先要讀懂題，將文字語言、符號語言轉化為圖形語言進行研究。在選項（A）（B）中，n包含兩種情況，n或n與a只有一個交點，這兩種情況都可以使m、n為異面直線，因此（A）和（B）都不正確選項（C）恰是由線面平行推出線線平行定理的語言符號表述，是正確的。于是選項（D）肯定不正確，就不用再判斷了。 本題考查空間直線與平面位置關系的判定，涉及到異面直線，直線與平面的三種位置關系，兩條直線平行的判定等內容？體現(xiàn)出文字語言、符號語言轉化為圖形語言的能力，判斷幾何命題真假的方法與能力，體現(xiàn)出思維能力與空間想像能力的綜合，屬于中等題。在解決這類問題時，讀題畫圖是關鍵，往往采用舉特例排除的方法進行判斷。例4 已知a、b為不垂直的異面直線，a是一個平面，則a、b在上的射影可能是：兩條平行線 兩條相互垂直的直線同一條直線 一條直線及其外一點在上面的結論中，正確結論的編號是（寫出所有正確結論的編號）分析：因為本題是判斷a、b在上的射影的可能的情況，對每個結論，如果能作出這種情境就是可能，如果不能構造出這種情境還需要證明這個結論是不成立的。過直線a作一個平面和b平行，再作一個平面與垂直，則a、b在上的射影為兩條平行線這個結論是成立的。過直線a作平面，過直線b作平面垂直于，再作一個平面與、垂直，則a、b在上的射影互相垂直。這個結論是成立的。如果a、b在上的射影為同一直線，則a、b都在垂直于的平面內，與a、b為異面直線的條件矛盾。這個結論是不成立的。作一個平面和其中的一條直線垂直，則a在上的射影為一個點，而b的射影為一條直線。這個結論是成立的。分析：本題考查空間線面關系、空間想像能力、射影的概念和性質中畫出圖形將有助于解題。本題實際上是一個多選題，需要對結論進行逐個地判斷。填空題雖然沒有中間步驟、沒有備選答案提示，但其中的題型是豐富多彩的，象本題就是一個典型的考查概念的題目，通過設置多個可能的情況，比較全面、深刻、精細地考查了直線及其在平面上射影的關系。例5下面是關于四棱柱的四個命題：若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個過相對側棱的兩個截面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個側面兩兩全等，剛該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱 分析：本題是一個多選題，需要對四個命題逐個一進行判斷？判定所給的條件是否能組成直棱柱。若有兩個側面垂直于底面，如果是兩個相鄰的側面垂直于底面，則其交線必垂直于底面，就職可以判定為直棱柱；兩個相對的側面垂直于底面，則不能判定，但題目沒有強調是相鄰，所以不能判定。 若兩個過相對側棱的兩個截面垂直于底面，則其交線垂直于底面，而側棱與該交線平行，所以側一棱垂直于底面，滿足條件的四棱柱為直棱柱。 由各邊長相等且全等的菱形為側面，可組成個四棱柱，則其可能為平行六面體，并非一定是直一四棱柱。四棱柱的過相對側棱的截面為平行四邊形，二若其對角線相等則其為矩形，即側棱垂直于底面，所以滿足條件的四棱柱為直四棱柱。本題考查棱柱的定義和性質，直線和平面平行和垂直等位置關系的判定本題作為一個多選題，從側棱、側面、截面等幾個角度考查直棱柱的充分或必要條件。題目中有的條件是直四棱柱的性質，如、，直四棱柱有這樣的性質，但具備這個性質的四棱柱不一定是直四棱柱。而成立的兩個都可以作為直四棱柱的性質或判定條件、在解題過程應當注意，對于這樣的判斷題，如果條件成立應當能夠加以證明，如果不成立，需要舉出反例。本題在考查直四棱柱的性質、空間想像能力的同時，還考查了嚴格的邏輯推理能力。（3）運動變化的觀點解決空間圖形問題新考綱對考生的空間想象能力的考查提出了“能夠想象幾何圖形的運動和變化情況”的更高要求。因此立體幾何題中除了固定的線線、線面、面面關系外，還滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面元素，給“靜態(tài)”的立體幾何賦予了新的活力，新的亮點。例6（2005，江西）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動。I）證明：D1EA1D； II）（III）略。 略解 以D為坐標原點，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系。 設AE=x，則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) “動”“靜”結合，運動與變化相聯(lián)系，向量法的運用，也為處理動態(tài)化問題找到了一條簡捷有效的新途徑。此類問題已成為高考命題的新增長點，如2001上海，2002全國，2004湖北，2005江西答卷中均有體現(xiàn)。例7（2004年高考重慶卷）若三棱錐A-BCD，側面ABC內一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等；則動點P的軌跡與ABC組成的圖形可能是（ ） 解析：當AC上平面BCD時，問題化為點P到AB和BC距離相等的點的軌跡。顯然，P點的軌跡是ABC的平分線。如圖（1），排除（A）、B）當AC不垂直平面BCD時，如圖2）。設P到平面DBC、到邊BC的距離、到邊AB的距離分別為h、dBC、dAB，設ABCD的大小為，則=sin1，所以排除（C），選（D）。點撥：此題將立體幾何與解析幾何巧妙結合，是對過去分離考核的創(chuàng)新。許多同學對此茫然。但此題的解答卻很簡單，利用普遍性與特殊性的關系轉化，首先考慮特殊圖形，然后考慮一般情形。（4）知識交匯點上命題，考查綜合能力關注知識交匯點，把握知識縱橫聯(lián)系，揭示普遍規(guī)律，注重綜合應用，在知識交匯點命題，考查綜合分析問題、解決問題的能力，已成為命題的新熱點?？季V要求，命題“從學科整體和思維價值的高度的考慮問題，在知識交匯點上設計考題”，“用統(tǒng)一的數(shù)學觀點組織材料，對知識的考查側重于理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力”。 例8（2005年全國卷1）過三棱柱任意兩個頂點的直線共有15條，其中異面直線有（ ）（A）18對 （B）24對 （C）30對 （D）36對此題依托空間圖形，借助于考查排列組合，著重考查概括村理論證能力。以這種形式結構命題的還有湖北理科的（12）題、江蘇理科的12）題等。對分類、整合、等價轉化的思維要求較高，是考查綜合素質的優(yōu)秀題目。一般來說，排列組合的分析計數(shù)過程就是概括推理論證的思維運作過程，它與立體幾何的巧妙結合是體現(xiàn)“多考一點想，少考一點算”的很好題材。分析1（直接數(shù)）棱與棱成異面直線的有12對；棱與對角線成異面直線的有18對；對角線與對角線成異面直線的有6對；故異面直線共有（12186）對36對。分析2（間接數(shù)）上、下底面的共面直線各有對；每一個側面的共面直線共有對；不同側面的相交對角線與底面下棱構成的三角形的共面直線共有6對；故異面直線共有（）對=36對。分析3（等價轉化）每四個不共面的點對應3對異面直線，在三棱柱中不共面四點的組數(shù)為3=12，所以異面直線的對數(shù)為12336。 三種思路體現(xiàn)三個不同的思維層次，分析3最簡捷，這取決于對總是理解與契入的深度。例9（2005年江蘇卷）四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱所代表的代工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的，沒有公共點的兩條棱所代表的代工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號為的四個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（ ）（A）96 （B）48 （C）24 （D）0例10（2005，湖北）以平等六面體ABCD-ABCD的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率P為（ ）。（A） （B） （C） （D）答：（A） 例11（2004，北京）如圖，在正方體ABCD-ABCD中，P是側面BB1C1C中，P是側面BB1C1C內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的的曲線是（ ）（A）直線 （B）圓 （C）雙曲線 （D）拋物線答：（D）。以能力立意，命題注重對知識網(wǎng)絡交匯部分的考查，深入開發(fā)立體幾何題的綜合考查功能，十分引人注目。近幾年的高考試題中，以空間圖形為背景的試題，其考查的知識內容和范圍，已不再局限于立體幾何的內部，而是旁及到代數(shù)、幾何、三角、向量、組合等學科分支，對綜合運用各種知識技能解題的靈活性，要求有所加強，應予以重視。 例12（2004年湖北理，11題）已知平面，所成的二面角為80，P為，外一定點，過點P的一條直線與,所成的角都是30，則這樣的直線有且僅有（ ）（A）1條（B）2條（C）3條（D）4條這類綜合問題，雖為小題，但形式新穎，知識的交匯自然，具有一定的深度，已成為考查數(shù)學思想和方法，考查知識遷移能力的重要渠道。（5）精心設計與編制研究型、探索型、開放型問題考綱對考生的能力提出了創(chuàng)新意識的要求，并指出“設計考查數(shù)學主體內容，體現(xiàn)數(shù)學素質的題目，反映數(shù)、形運動變化的題目，研究型、探索型、開放型的問題”。例13（2003年全國，15題）在平面幾何里，有勾股定理：“設ABC 的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則”。 這是一個將勾股定理拓展到空間的探究式問題?？疾閷W生的空間想像能力和探究能力，檢查了研究性學習的開展情況和效果。這道題得分率很低。 從平面到空間的類比問題，近年來多次出現(xiàn)，如：2002年上海春12題、2004年廣東15題教師面積到體積的類比問題。應注意的是，這里的類比不是簡單的知識遷移，還需要感知從二維到三維時，圖形、度量的對應關系，在猜想、歸納的基礎上進行證明。此類考題為考查創(chuàng)新意識提供了有效途徑。通過開放條件、結論、策略、情景，讓學生的思維在創(chuàng)造的氣氛中得到鍛煉與發(fā)展，并讓學生在開放探索中發(fā)散思維，尋求問題眾多的結構或結果，從而使學生的主體意識得以喚起，創(chuàng)新精神得以呈現(xiàn)。例14，是兩個不同的平面，m,n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn, , n, m。以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題。略解 四個論斷中選三個論斷定作為條件，余下一個作為結論，一共可以構造四個命題：； ；。其中只有兩個正確命題。此類試題通過開放條件、結論、策略、情況，考查學生發(fā)散性恩維能力和創(chuàng)新思維的能力。以立體幾何為載體的探索性問題成為近年的命題熱點之一。利用向量數(shù)量積的性質解決有關幾何、代數(shù)問題，具有新穎、直觀簡明等優(yōu)點，特別是對一些探索性問題用向量法去思考，思路清晰，目標明確，從而大大降低了求解難度，值得引起大家的重視。在復習中對它的研究將有利于培養(yǎng)學生的探索精神，開拓解決立體幾何問題的新領域。研究性學習的目的是發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律（知識的規(guī)律與方法的規(guī)律），培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與實踐能力，引入課題式的設計是檢測課改成果的一種有效嘗試。例15（2004，上海）如圖，PABC是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、F分別為棱PA、PB、PC上的點，截面DEF底面ABC，且棱臺DBF-ABC與棱錐PABC的棱長和相等。（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）。（1）、（2）略；（3）設棱臺DEF一ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由。 略解 棱臺DEF-ABC的棱長和6（等于正四面體的各棱長和，而正四面體的棱長為1），正四面體P ABC體積為，故0V，所以存在滿足，條件的平行六面體。設直平行六面體各棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為，則該平行六面體的棱長和為6，體積為。若=V，則sin=8V，所以0V，08V0),用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是_.分析和解 這兩個相同的直三棱柱各有5個面，但是拼合的方法卻有7種，由于底面三角形是直角三角形，所以拼合底面的方法只有一種，而每個側面都有兩種不同的拼合方法，拼成后的三棱柱或四棱柱，其俯視圖如圖所示。如果拼合成四棱柱，俯視圖有（2），（4），（6），（7）四種，由于粘合的面積越大，四棱柱的表面積越小，所以表面積最小的四棱柱當屬（6），（7）兩種，且其表面積都是。如果拼合成三棱柱，俯視圖有（1），（3），（5）三種，計算可知對應的三棱柱的表面積分別為：12a2+48,24a2+36,24a2+32。為使S最小，只須滿足24a2+2812a2+48,解得a?；仡櫴陙砀呖贾辛Ⅲw幾何例題的改革創(chuàng)新歷程，記憶猶新：1996年主觀試題客觀化，1997年的填空題以組合的面目出現(xiàn)，1998年的填空題由已知結果探求條件，且答案不唯一，使試題更具開放性和探索性，1999年則要求考生將四個論斷中的三個作條件，余下一個為結論，寫出正確命題，2002年是多選題，通過一個空間圖形在不同平面上的映射，考查學生多角度思考問題和空間想象的能力，進入新世紀后又在大題上進行了改革使其更有綜合性、開放性。展望立體幾何高考命題趨勢，方向更明：考查空間線面關系和幾何量的計算仍是高考的核心和熱點，但表現(xiàn)形式由重結果向重形成過程轉移。對基本技能和基本方法的考查由應用向提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、并創(chuàng)造性的解決問題轉移，設置開放式的題型，引導研究性學習與教學創(chuàng)新。正是體現(xiàn)了傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機結合。三、備考復習建議1、強化基礎知識由于立幾的命題整體穩(wěn)定，考查的重點沒有變化，所以教學中仍然需要在著力培養(yǎng)空間想象能力的前提下，對平行、垂直及有關幾何體的性質重點過關，注意歸納歷年來各類問題的常規(guī)題型(如：球的問題主要有截面、球面距、體積與表面積、與多面體的組合問題等)，力保常規(guī)問題不失分，注意到大題中的線、面關系較多，如何有效地選擇和組合題中的信息，需要有規(guī)范合理的思維程序，在教學中應注意提示這些思維程序。復習時應注意以下幾點：（1）理解定義、定理本質，科學地進行判斷與論證。依據(jù)定義、定理，定義定理是對立體幾何中各元素間的關系或幾何體的某些特性的存在與否進行判定與論證的依據(jù)，是高考的重要內容之一，高考中常以判斷題的形式出現(xiàn)，解此類問題，關鍵是相關的概念、判定定理、性質定理要清楚，其次要否定某些錯誤的判斷，可運用運動變化的思想，讓點或直線或平面在滿足條件的情況下充分運動，往往可以發(fā)現(xiàn)一些特殊情況或極端位置時出現(xiàn)錯誤。將文字語言、符號語言、圖形語言靈活準確地進行轉化是解答這類題目的前提，舉反例是解判斷題的常用方法。（2）重視九（A）與九（B）教材的互補作用。立體幾何九（B）考試要求與九（A）相比，除了一些次序上的變化和空間向量內容的增加外，絕大多數(shù)要求都是一致的，立體幾何九（B）最顯著的特點就是：將原有的“平面向量”知識引申拓寬到“空間向量”，完善了向量的知識體系；同時，以空間向量為工具，利用向量的代數(shù)運算來解決空間的幾何問題。既開闊了解決立體幾何問題的視野，增加了解決空間問題的途徑，也順應了幾何改革代數(shù)化的方向，因此，使用立體幾何九（A）的學校在高三復習中，在原有立體幾何九（A）的基礎上，老師也應根據(jù)學生的具體情況，適時地增加一些立體幾何九（B）中空間向量的有關知識，順應新課程改革的潮流，以增加我們對新教材、新高考的適應能力，豐富我們解決這類問題的手段。高三復習中如何將兩種教材中的優(yōu)勢揉合在一起，讓九（B）成為九（A）的延伸和補充，充分發(fā)揮其獨特的優(yōu)勢，有很多的工作要我們去做。又如二面角作為空間中最重要的角之一，是高考的必考內容之一，我們認為不管是哪一種教材體系，都應當把它列為重要的研究對象，而九（B）教材對二面角的處理僅僅設置了1課時，給師生以一帶而過的感覺，特別是對二面角平面角的作法，絕大多數(shù)學生在一節(jié)課的時間內難以掌握，所以當學生都無法找到計算對象時，就更談不上去求解它了。另外，該部分內容又不容易自然地納入向量方法體系之中。因此，建議復習時增加關于二面角的例題，一方面把二面角的求解與向量方法結合起來；另一方面借此適當?shù)靥岣呔C合推理的訓練，因為空間的角度（也包括距離）是立體幾何中重要的度量問題，這些問題的解決又一定程度依賴于綜合推理。正如課程標準中要求所說：“把幾何推理與代數(shù)運算推理有機地結合起來，為學生的思維活動開發(fā)了更加廣闊的空間，在教學中要緊緊把握這個大方向，不能有所偏廢?！?、把握向量方法利用向量方法來研究立體幾何問題，這給傳統(tǒng)的高中立體幾何的教學注入了一股新鮮的氣息，使學生初步體會到作為解決幾何問題的通法-向量方法的威力。新課程高考立體幾何題目設計的立意是考查思維能力和空間想象能力，特別是在解答題中使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力，讓幾何問題代數(shù)化。在復習空間向量這個內容時，由于空間向量與平面向量的框架結構、內容基本一致或相似，所以要注意多使用類比法復習空間向量。要側重于簡單多面體和球中所涉及的空間直線與平面各種位置關系的復習，著眼于空間觀念和公理化體系處理問題的思想方法的訓練。讓學生在解決空間有關垂直、角度、距離等問題時，多從代數(shù)的角度考慮基底的選擇和適當坐標系的建立，把相關問題轉化為向量的模和夾角的問題來分析處理。這也需要我們老師多加引導，讓學生在解決這類問題時多留個心眼兒，優(yōu)先從空間向量的角度考慮。近幾年來高考命題著重考查圖形辨識、幾何元素間的位置關系及一些幾何量的計算，所出現(xiàn)的綜合題基本是以簡單多面體和球為依托，把論證和計算的幾何問題寓于其間，帶有一定的綜合性，因而我們在這部分內容的復習上，也應做好知識立意向能力立意的轉化，將邏輯思維能力、推理能力、計算能力融于空間想象能力和使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力之中。當然，將空間問題轉化為平面問題，仍是我們解決立體幾何問題的最基本的思維策略，難度宜把握在中檔題水平，不必把面積和體積的計算作為重點。2003年前空間向量以解決線線角、線面角為主，2004年與2005年擴充到二面角、點面距、探索性問題等，能力要求相應提高，坐標系建立的隱蔽性加大，平面的法向量在各地的參考答案中被大量地采用。例17（2004年重慶文，19題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，AM=EF（1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；（2）若PA=3AB，求二面角E-AB-D的平面角的大小。（2）中，通過幾何推理很容易得到，就是二面角兩面的法向量，再用向量方法求二面角的大小變得極為簡單，綜合法與向量法在解立幾題時各有優(yōu)勢，因此，在解題時最好用幾何推理對線面關系進行準確“定性”的基礎上，再利用空間向量進行“定量”計算，實現(xiàn)兩法的優(yōu)勢互補。利用空間向量解決立體幾何問題，關鍵是要建立適當?shù)淖鴺讼担軠蚀_地用向量表示空間點、線，善于求解空間面的法向量，能熟練運用距離及夾角公式進行計算。策略上將線面角、面面角轉化為線線角，把空間距離轉化為求某個向量的模或點面距?？臻g向量數(shù)與形兼?zhèn)?，用它解決空間角、空間距離等問題簡潔、直觀，且有代數(shù)推理的嚴密性。空間向量的引入，導致解題方法增加，如點面距的求法有：傳統(tǒng)的體積法，作垂線段求長度及求斜線段在法向量方向的射影長等，不同的方法因題設條件的不同而各有長短，需要針對具體的情況選擇合理、簡捷、有效的解法，因此，教學中應通過典型問題給學生對比辨析，提高“選法”能力和考試中的應變能力。3、強調數(shù)學思想方法化歸思想是立體幾何中最常見、最重要的數(shù)學思想方法，在解答問題時，往往需要定理之間的相互轉化，這當中，一個定理的結論，常常又是后續(xù)定理的前提條件。在對問題的證明或計算時，一般需要將立體圖形化歸為平面圖形，把新的問題情景納入到原有的認知結構中去，用我們熟悉的平面幾何知識或三角方法解答。立體幾何中，平面與空間圖形間的變換（如把平面圖形折疊、旋轉成空間圖形，把空間圖形展開成平面圖形，把空間圖形切割、補形與換底等），點、線、面之間的平行與垂直關系，把陌生的問題轉化為熟悉的問題等等都屬常見的化歸與轉化。例18（全國卷III）在正方體ABCD-ABCD中，過對角線BD的一個平面交AA于E，交CC于F，則（1）四邊形BFDE一定是平行四邊形。（2）四邊形BFDE有可能是正方形。（3）四邊形BFDE在底面ABCD內的投影一定是正方形。（4）平面BFDE在底面ABCD內的投影一定是正方形。以上結論正確的為。（寫出所有正確結論的編號）解答此題，考生需對每一命題進行分析，畫出圖形且對圖形中的點、線、面有一個清晰的認識，然后作出準確的判斷這需要有一定的空間想象能力。正方體是學生熟悉的基本圖形。但這類問題仍可常考常新，此題有著較好的體現(xiàn)當四邊形BFDE以BD為軸轉動時，對其幾何性態(tài)如何改變作出準確判斷是解決問題的關鍵，求解時應注意對“一定”、“可能”等語言的準確理解。由面面平行的性質定理，有BEFD，BFED。故(1)正確：E、F分別為AA、CC的中點時四邊形的四條邊才相等，此時顯然不是正方形，（2）不對；四邊形BFDE在底面的投影就是底面ABCD。（3）正確；當E、F分別為AA,CC的中點時，EF與BD、BB都垂直。（4）正確。面面平行或面面垂直的判斷，關鍵是能否將其轉化為線線平行或線線垂直的判斷，這是立體幾何中的“降維等價轉換”，即面面線面線線的轉換（如圖）?？臻g圖形位置的不確定性，某些最值問題（如異面直線間的距離即異面直線上任意兩點之間的距離的最小值），三角形的邊角關系等，常常要建立目標函數(shù)，運用函數(shù)的性質求解，或列方程（組），運用方程的觀點解決。 立體幾何中的計算與證明問題，離不開示意圖，正確的圖形有助于解題