直線與方程教案.doc

第一講 直線方程知識(shí)歸納：一、 直線的傾斜角與斜率1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點(diǎn)或直線上一點(diǎn)和直線的方向兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的條件注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量2、直線的傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角。注意：從用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角；規(guī)定：直線與軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為直線傾斜角的取值范圍是： 在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。3、直線的斜率：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，即。它從另一個(gè)方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個(gè)確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在，當(dāng)時(shí)，。 即：斜率的取值范圍為例1、給出下列命題：若直線傾斜角為，則直線斜率為；若直線傾斜角為，則直線的傾斜角為；直線的傾斜角越大，它的斜率越大；直線的斜率越大，其傾斜角越大；直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號(hào)為 例2、已知直線的傾斜角為，且，求直線的斜率4、直線斜率的坐標(biāo)公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：注意：斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即特別地：當(dāng)時(shí)，；此時(shí)直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)直線的傾斜角為，直線與軸平行或重合。例3、已知點(diǎn)，求直線的斜率并判斷傾斜角的范圍。例4、（三點(diǎn)共線問(wèn)題）已知三點(diǎn)，證明這三點(diǎn)在同一條直線上例5、（最值問(wèn)題）已知實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值5、直線的方向向量：已知是直線上的兩點(diǎn)，直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量。直線與軸不垂直時(shí)，此時(shí)，向量也是直線的方向向量，且它的坐標(biāo)是，即（1，k），其中k為直線的斜率6、直線的法向量：如果向量與直線垂直，則稱向量為直線的法向量。二、直線的方程1、定義：一般地，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這是，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線。2、直線方程的幾種形式（1）點(diǎn)斜式：?jiǎn)栴}：若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k，求直線的方程。解析：設(shè)點(diǎn)是直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得，可化為，即為過(guò)點(diǎn)、斜率為k的直線的方程。方程是由直線上一點(diǎn)及其斜率確定的，把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式的方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式。注意：與是不同的，前者表示直線上缺少一個(gè)點(diǎn)，后者才是整條直線；當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，即，這時(shí)直線的方程為 當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線斜率不存在，這時(shí)直線與軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于軸的直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，可分為兩類情況：、斜率為k的直線，方程為 、斜率不存在的直線，方程為或?qū)憺槔?、根據(jù)條件寫出下列各題中的直線的方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸平行經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸垂直（2）斜截式：?jiǎn)栴}：已知直線的斜率是k，與軸的交點(diǎn)是，代入直線方程的點(diǎn)斜式，得直線的方程，也就是，我們稱是直線在軸上的截距。 這個(gè)方程是由直線的斜率k和它在軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式。注意： 局限性：不表示垂直于軸的直線 斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時(shí)，是一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不是一次函數(shù)；一次函數(shù)（）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線的傾斜角的，且在軸上的截距為的直線的方程。（3）兩點(diǎn)式：?jiǎn)栴}：已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求直線的方程解析：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，所以它的斜率，代入點(diǎn)斜式，得，當(dāng)時(shí)，方程可以寫成這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，所以叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式。注意：方程與方程比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)。例8、已知點(diǎn)，求直線的方程例9、一條光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射，通過(guò)點(diǎn)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：?jiǎn)栴}：已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，其中，求直線的方程。解析：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得，即為如果直線與軸的交點(diǎn)為，則稱為直線在軸上的截距。以上直線方程是由直線在軸和軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式注意：方程中，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行（重合）的直線，還不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線。例10、過(guò)兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為 （5）一般式方程：以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示；而關(guān)于的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把的二元一次方程(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式。注意：直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。直線的一般式方程成立的條件是A,B不同時(shí)為0。雖然直線的一般式有三個(gè)系數(shù)，但是只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求直線的方程，若,則方程可化為; 若，則方程可化為，即;若，時(shí)，方程化為,它表示與軸平行或重合的直線；若，時(shí)，方程化為，它表示一條與軸平行或重合的直線；若時(shí)，則方程可化為 因此只需要兩個(gè)條件即可。直線方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時(shí)若沒有特殊說(shuō)明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線的一般式例11、設(shè)直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定m的值（1）在軸上的截距為 -3 （2）的斜率是 -1（6）點(diǎn)向式：?jiǎn)栴}：設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是它的一個(gè)方向向量，求直線的方程解析:設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，則向量與共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，所以 ，方程組稱為直線的參數(shù)式方程。如果直線與坐標(biāo)軸不平行，則，于是可得，消去參數(shù)，得到直線的普通方程 這個(gè)方程稱為直線的點(diǎn)向式方程，叫做直線的方向數(shù)。思考：若給出直線的一般式方程，如何確定直線的方向向量？（7）點(diǎn)法式：?jiǎn)栴}：設(shè)直線有法向量，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程解析：設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，則有，即因?yàn)?，所以?這個(gè)方向是由直線上一點(diǎn)及直線的法向量確定的，稱為直線的點(diǎn)法式。思考：若給出直線的一般式方程，如何確定直線的法向量？三、直線的位置關(guān)系（同一平面上的直線）1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線平行的判定設(shè)兩條直線分別為，： ： 若，則的傾斜角相等，即由，可得，也即，此時(shí)；反之也成立。 所以有且當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為，若不重合，則它們也是平行直線注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為：，： 可得（其中分母不為0）或（可用直線的方向向量或法向量解釋）例12、已知點(diǎn)和直線：，求過(guò)點(diǎn)A和直線平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來(lái)研究直線平行的判定設(shè)兩條直線分別為，： ： 則得直線的方向向量為： 的方向向量為：，所以有即注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即，得到兩條直線中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零。注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：設(shè)兩條直線分別為：，： 可得例13、求與直線垂直且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）例14、已知兩直線：，： ，當(dāng)為何值時(shí)，直線與：平行 重合 垂直例15、已知長(zhǎng)方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)例16、求證：不論為取什么實(shí)數(shù)，直線總通過(guò)某一定點(diǎn)例17、已知直線，（1）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）若時(shí)，恒有，求的取值范圍四、到角、夾角（1）到角公式定義：兩條直線和相交構(gòu)成四個(gè)角，他們是兩對(duì)對(duì)頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做到的角，如圖，直線到的角是， 到的角是推倒：設(shè)已知直線方程分別是： ：.到的角是 若，即，那么 若，設(shè)、的傾斜角分別為，則由圖1）的，所以由圖2）的，所以于是即 就是到的角的正切值，簡(jiǎn)稱為到角公式（2）夾角公式定義：由（1）得，到的角是，所以當(dāng)與相交但不垂直時(shí)，在和中有且只有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為，則，即為夾角公式當(dāng)直線時(shí)，直線與的夾角為例18、等腰三角形一腰所在直線的方程是，底邊所在直線的方程是，點(diǎn)在另一腰上，求這條腰所在直線的方程五、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：1、設(shè)兩條直線分別為：，： 則與是否有交點(diǎn)，只需看方程組是否有唯一解若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多解，則兩直線重合例19、求經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程。經(jīng)過(guò)兩直線與交點(diǎn)的直線系方程為，其中是待定系數(shù)，在這個(gè)方程中，無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，都得到，因此，它不能表示直線。2、對(duì)稱問(wèn)題（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)A(a，b)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B（m，n），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即B（） 。（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線（A、B不同時(shí)為0）的對(duì)稱點(diǎn)，則有AA的中點(diǎn)在上且直線AA與已知直線垂直。（3）直線關(guān)于直線的對(duì)稱，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱解決，若已知直線與對(duì)稱軸相交，則交點(diǎn)必在與對(duì)稱的直線上，然后再求出上任意不同于交點(diǎn)的已知點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)的直線就是；若直線與對(duì)稱軸平行，則在上任取兩不同點(diǎn)、，求其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)、，過(guò)、的直線就是。例題20、已知直線，試求點(diǎn)P(4,5)關(guān)于的對(duì)稱坐標(biāo)；直線關(guān)于直線的對(duì)稱的直線方程。例題21、求函數(shù)的最小值。六、兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線間的距離（1）兩點(diǎn)間的距離：已知?jiǎng)t（2）點(diǎn)到直線的距離:已知點(diǎn)，直線（A、B不同時(shí)為0），求點(diǎn)到直線的距離。解法一：如圖，作于點(diǎn)，設(shè)，若A,BO,則由,得，從而直線的方程為，解方程組得容易驗(yàn)證當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上式仍然成立。解法二：如圖，設(shè)A0,B0，則直線與x軸和y軸都相交，過(guò)點(diǎn)分別作x軸和y軸的平行線，交直線于R和S，則直線的方程為，R的坐標(biāo)為（-）；直線的方程為，S的坐標(biāo)為（-），于是有,。設(shè)，由三角形面積公式可得.于是得因此，點(diǎn)到直線的距離容易驗(yàn)證，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上式仍成立。注意:若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離；點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離；若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)。（3）兩平行線間的距離。定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長(zhǎng)，即一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離。兩條平行直線與的距離公式推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，則到的距離為，又因?yàn)樵谏?，所以，?所以。注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線化為一般式，且x、y的系數(shù)分別相等。例題22、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)與B()的直線上一點(diǎn)C（5，n）到直線的距離。例題23、求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）且到原點(diǎn)的距離等于1 的直線方程。例題24、已知三角形ABC中，點(diǎn)A（1，1），B（m，）（1m4），C（4，2）,求m為何值時(shí)三角形面積最大。例題25、求過(guò)點(diǎn)P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點(diǎn)距離相等的直線方程。作業(yè)：1、設(shè)，則直線的傾斜角為（ ） 2、設(shè)P（x，y）是曲線C：上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是( )A B C D3、已知M(2，3)，N(3，2)，直線l過(guò)點(diǎn)A(1，1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是A.k或k4B.4kC.k4D.k44過(guò)點(diǎn)P（6，2）且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線的方程是ABC D5、若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,則直線l的條數(shù)為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)46、如圖所示，直線l1：axyb=0與l2：bxya=0(ab0,ab)的圖象只可能是( ) 7、若三點(diǎn)A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上,則有 ( )(A)a=3,b=5 (B)b=a+1 (C)2ab=3 (D)a2b=38、直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1),則它的傾斜角是 a A. B. C.或 D.9.已知直線：A1x+B1y+C10與直線：A2x+B2y+C20相交，則方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示 （ ） A.過(guò)與交點(diǎn)的一切直線 B.過(guò)與的交點(diǎn)，但不包括可包括的一切直線C.過(guò)與的交點(diǎn)，但包括不包括的一切直線 D.過(guò)與的交點(diǎn)，但既不包括又不包括的一切直線10.方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直線 ( )A.恒過(guò)定點(diǎn)(2,3) B.恒過(guò)定點(diǎn)(2，3)