自動控制原理習(xí)題4(含答案).doc

第四章習(xí)題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試證明點在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益和開環(huán)增益。解 若點在根軌跡上，則點應(yīng)滿足相角條件，如圖解4-1所示。對于= -1+j，由相角條件滿足相角條件，因此= -1+j在根軌跡上。將代入幅值條件：解出 ：=12 ，K=4-2 已知開環(huán)零、極點如圖4-2 所示，試?yán)L制相應(yīng)的根軌跡。 （）（）（）（）（）（）（）（） 題4-2圖 開環(huán)零、極點分布圖解 根軌如圖解4-2所示：圖解4-2 根軌跡圖 4-3 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 解 =系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：,= -2, = -5 實軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點：解之得：，(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為 D(s)=令 解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖解4-3(a)所示。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點： 用試探法可得 。根軌跡如圖解4-3(b)所示。 =根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解之得：d= -0.293,d= -1.707。根軌跡如圖解4-3(c)所示。4-4單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡。 解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：解之得： 起始角： 由對稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解4-4(a)所示。 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角： 根軌跡如圖解4-4(b)所示。 4- 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡。 解 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：d= -2, d= -3.33。與虛軸交點：D(s)=s3+8s2+20s+把s=j代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：解得： 起始角：由相角條件 ，。根軌跡如圖解4-5(a)所示。 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：d1= -4.06，d2= -0.399，d3= -1.54(舍去)； 與虛軸交點：D(s)=s4+8s3+17s2+10s+K令s=j，帶入特征方程，令實部，虛部分別為零解得： 根軌跡如圖解4-5(b)所示。 系統(tǒng)有四個開環(huán)極點、一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s+3)(s2+2s+2)+(s+2)=0把s=j代入上方程，令解得： 起始角根軌跡如圖解4-5(c)所示。 系統(tǒng)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得：d1= -2.26 , d2=0.49 , d3,4= -0.76(舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s-1)(s2+4s+16)+(s+1)=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 起始角：由對稱性得，另一起始角為 ，根軌跡如圖解4-5(d)所示。4- 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求： （1）確定產(chǎn)生純虛根為的值和值；（2）概略繪出的閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角）。解（1）閉環(huán)特征方程有 =0令實虛部分別等于零即： 把=1代入得： ， 。（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點：， = -1 = -3.5 = -3+j2 = -3-j2 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得： d1= -0.45 , d2=-2.40 (舍去) ,d3,4= -3.25 (舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)+=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 解得： ，（舍去） 起始角：根據(jù)法則七（相角條件），根軌跡的起始角為圖解4-6 根軌跡圖由對稱性得，另一起始角為 ，根軌跡如圖解4-6所示。4- 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點：解之得：d= -3.29 d= 0.71(舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（S）=+=0圖解4-7 根軌跡圖把s=j代入上方程，令 解得： 起始角： 解出 根軌跡如圖解4-7所示。4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角：漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程D(s)=s(s2+3s+9)+ =0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：圖解4-8 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-8所示。從根軌跡圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為027，又，故相應(yīng)的的范圍為03。4-單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（S）=+(2-)S+-1=0把代入上方程，令圖解4-9 根軌跡圖解得： ，根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4-10單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：由 解得： d1= -0.41 。 與虛軸交點：D(s)=(s+2)(s-0.5)+(s2-2s+5)=0把s=j代入上方程，令圖解4-10 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-10所示。由圖解4-10可知系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為0.20.75 又 =5， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為10.4（），在s平面作等阻尼線OA，使之