必修1教案3.2.4函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例(二).doc

3.2.4 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（二）（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能掌握應(yīng)用指數(shù)型，擬合型函數(shù)模型解答實(shí)際應(yīng)用問題的題型特征，提升學(xué)生解決簡單的實(shí)際應(yīng)用問題的能力.2過程與方法經(jīng)歷實(shí)際應(yīng)用問題的求解過程，體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)模型、擬合函數(shù)模型的題型特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀了解數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又服務(wù)于實(shí)際，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)模型、擬合函數(shù)模型的應(yīng)用難點(diǎn)：依據(jù)題設(shè)情境，建立函數(shù)模型.（三）教學(xué)方法師生合作探究解題方法，總結(jié)解題規(guī)律.老師啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生動(dòng)手嘗試相結(jié)合.從而形式應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型，似合函數(shù)模型解決實(shí)際問題的技能.（四）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入例1 某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)/元6789日均銷售量/桶480440400360銷售單價(jià)/元101112日均銷售量/桶320280240請(qǐng)據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤？師生合作回顧一元一次函數(shù)，一元二次函數(shù).分段函數(shù)建模實(shí)際問題的求解思路“審、建、解、檢”生：嘗試解答例1解：根據(jù)表，銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶.設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤為y 元，而在此情況下的日均銷售量就為48040(x1)=52040x(桶) 由于x0且52040x0，即0x13，于是可得y=(52040x)x200 = 40x2+520x200，0x13易知，當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值.所以，只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤.師：幫助課本剖析解答過程，回顧反思上節(jié)課的學(xué)習(xí)成果以舊引新激發(fā)興趣，再現(xiàn)應(yīng)用技能.應(yīng)用舉例4指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用例1 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.下表是19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年份19501951195219531954人數(shù)/萬人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人數(shù)/萬人6145662828645636599467207（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；（2）如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？例2 解答：（1）以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖.根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=abx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型.如果取其中的兩組數(shù)據(jù)(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=abx得：，用計(jì)算器算得a2，b1.02.這樣，我們就得到一個(gè)函數(shù)模型：y=21.02x.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系.（2）將x=175代入y=21.02x得y=21.02175，由計(jì)算器算得y63.98.由于7863.981.221.2，所以，這個(gè)男生偏胖.歸納總結(jié)：通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際實(shí)際問題的基本過程：師：形如y=bacx函數(shù)為指數(shù)型函數(shù)，生產(chǎn)生活中以此函數(shù)構(gòu)建模型的實(shí)例很多（如例1）生：在老師的引導(dǎo)下審題、建模、求解、檢驗(yàn)、嘗試完成此例師生合作總結(jié)解答思路及題型特征師生：共同完成例1 解答：（1）設(shè)19511959年的人口增長率分別為r1，r2，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增長率r10.0200.同理可得，r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19511959年期間，我國人口的年均增長率為r(r1+r2+r9)90.0221.令y0=55196，則我國在19501959年期間的人口增長模型為y=55196e0.0221t，tN.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖并作出函數(shù)y=55196e0.0221t (tN)的圖象由圖可以看出，所得模型與19501959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將y=130000代入y=55196e0.0221t，由計(jì)算器可得t38.76.所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力.通過實(shí)例求解，提煉方法整合思路提升能力.鞏固練習(xí)練習(xí)1已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當(dāng)時(shí)人口的年增長率為2.1%.（1）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是1650年的2倍？什么時(shí)候世界人口是1970年的2倍？（2）實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2003年世界人口還沒有達(dá)到72億.你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有何看法？解答：（1）已知人口模型為y = y0en，其中y0表示t = 0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年增長率.若按1650年世界人口5億，年增長率為0.3%估計(jì)，有y = 5e0.003t.當(dāng)y = 10時(shí)，解得t231.所以，1881年世界人口約為1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口數(shù)約為1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太適宜估計(jì)跨度時(shí)間非常大的人口增長情況.固化能力強(qiáng)化技巧應(yīng)用舉例4擬合函數(shù)模型例3 某皮鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，1.3萬雙，1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受定單不至于過多或過少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量y 給出四種函數(shù)模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？歸納總結(jié)：所以y= 0.80.54+1.4=1.35本題是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)模擬，選擇最符合的模擬函數(shù).一般思路要畫出散點(diǎn)圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適合的幾種函數(shù)類型后，再加以驗(yàn)證.函數(shù)模型的建立是最大的難點(diǎn)，另外運(yùn)算量較大，必須借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，又必須與具體實(shí)際結(jié)合起來.生：動(dòng)手實(shí)踐解題此例學(xué)生四個(gè)代表分別板書四種函數(shù)模型.師：點(diǎn)評(píng)學(xué)生解答，總結(jié)，回答問題解析：本題是通過數(shù)據(jù)驗(yàn)證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)的變化情況，最終找出與實(shí)際最接近的函數(shù)模型.由題知A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37).（1）設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b，將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有所以得y = 0.1x + 1.（2）設(shè)y=ax2+bx+c，將A，B，C三點(diǎn)代入，有所以y= 0.05x2+0.35x+0.7.（3）設(shè)，將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有所以（4）設(shè)y=abx+c，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得 用已學(xué)函數(shù)模型綜合求解問題，提升綜合應(yīng)用模型的能力.鞏固練習(xí)練習(xí)2 某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68.為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人分別為74,78，83，你認(rèn)為誰選擇的模型較好？學(xué)生口述解題思路老師借助電腦解答問題（1）列表（2）畫散點(diǎn)圖.（3）確定函數(shù)模型.甲：y1= x2 +12x+41，乙：y2 = 52.070.778x + 92.5（4）做出函數(shù)圖象進(jìn)行比較.計(jì)算x = 6時(shí)，y1 = 77，y2 = 80.9.可見，乙選擇的模型較好.固化解題技巧歸納總結(jié)1數(shù)學(xué)模型所謂數(shù)學(xué)模型是指對(duì)客觀實(shí)際的特征或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象概括，用形式化的數(shù)學(xué)語言表述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標(biāo)無本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，函數(shù)就是最重要的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)解決方程問題，使求解變得容易進(jìn)行，這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用.而用函數(shù)解決實(shí)際問題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.2關(guān)于數(shù)學(xué)建模中的假設(shè)就一般的數(shù)學(xué)建模來說，是離不開假設(shè)的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去，對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問題就無法下手了.假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩栴}中的作用.通常，初步接觸一個(gè)問題，會(huì)覺得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的