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全等三角形 一道典型題的變式探究 1內容分析本節(jié)內容安排在人教版八年級(上)第十二章全等三角形結束后,是在全章學習的基礎上對全等三角形知識的綜合運用課,也是對一類幾何基本模型的拓展探究課。2學情分析雖然學生經歷了第十二章 全等三角形全章的學習過程,但是八年級學生對于幾何推理的學習處于基礎階段,模型意識不強,對于幾何圖形的變式探究經驗不足。3教學目標知識與技能:1、能依據條件識別手拉手模型,能證明其相關結論。嘗試構造手拉手模型解決問題。 2、初步學會幾何探究的思路和方法。過程與方法:通過對“典型題”的變式探究過程,進一步培養(yǎng)探究能力,邏輯推理能力,體會類比、化歸、由特殊到一般的數學思想。情感態(tài)度與價值觀:通過小組交流培養(yǎng)合作觀念,通過探究過程培養(yǎng)創(chuàng)新意識,體會幾何圖形中的動態(tài)美。4重點及其解決通過小組合作探究,將“典型題”進行縱向延伸和橫向拓廣。探究手拉手模型的形成過程,能夠根據模型的特點識別模型,構造模型。5難點及其突破1、如何構造“手拉手模型”(同重點);2、學生說理能力和探究能力的培養(yǎng)通過自主探究、合作交流、書寫推理過程和歸納小結等活動,引導學生經歷從猜想到驗證,再到總結的過程,從而提高說理能力和探究能力。6教學方法探究式教法。7學習方法類比學習、合作學習。8教學過程8.1“全等三角形-一道典型題的變式探究8.1.1教學活動活動1【導入】課前作業(yè)講解如圖1,在直線ABC的同一側作兩個等邊三角形ABD和BCE,連接AE與CD.求證:AE=DC 師生活動:分析 ABEDBC(SAS),學生展臺講解分析思路和證明過程。設計意圖:從典型例題引入,既讓學生復習了全等三角形的幾何證明,又為本節(jié)課的探究提供鋪墊。活動2 【變式探究】條件不變,探索結論【思考1】 若條件不變,你還能得到哪些結論? 師生活動:學生先自主探究,再小組間合作交流,最后將發(fā)現的結論以小組為單位展示在黑板上。設計意圖:學生借助已有的幾何知識發(fā)現結論,實現思維的第一次飛躍。問題1 你能將所得結論分類嗎?師生活動:教師乘勝而上提出新問題,將所得結論分類,引導學生將結論分為位置、大小,形狀三類。設計意圖:揭示是幾何學研究的本質:形狀、大小、位置關系,實現學生從發(fā)散到聚合的思維飛躍。問題2 證明(1)BG=BF (嘗試用不同的方法證明你的結論) (2) DHA=60師生活動:學生黑板講解不同方法,證明過程中用到了8字模型。 設計意圖:學生經歷了自主猜想,探索,證明過程。為手拉手模型的構建做鋪墊。實現了知情統(tǒng)一。(1)法1 ABGDBF(SAS) 法2 GBEFBC(SAS) 圖2 圖3(2)8字模型 DHA=ABG=60 圖4活動3 【變式探究】結論不變,弱化條件【思考2】 是否一定需要“等邊三角形”“共線”這么強的條件,才能使“AE=DC”成立呢?師生活動:生探索(1) 等邊三角形弱化為等腰三角形,如圖5。(2)A、B、C三點 可以不共線 ,仍有ABEDBC(SAS),如圖6、7、8、9。師通過幾何畫板演示變化過程。 圖5 圖6 圖7 圖8 圖9問題3 以上探究過程中有兩條線段,線段AD與線段BC一直沒有用到,去掉這兩條線段,你能進一步發(fā)現DBC可由ABE怎樣得到?師生活動:生答DBC可由ABE旋轉得到。師揭示這是這一模型的本質。設計意圖:圖形改變,結論不變,探究過程中研究方法不變,體現了辨證唯物主義的觀點:變化中的不變性,學習幾何就要抓住這個本質?;顒?【微課】展示手拉手模型的形成過程 問題4 手拉手模型有什么重要特征? 師生活動:師生共同總結手拉手模型的特點,等線段,共端點,關鍵是旋轉。設計意圖:通過微課,形象直觀地向學生展示了手拉手模型的探究過程,有助于學生對模型本質的掌握?;顒? 【模型應用】能力提升如圖,已知ACB=60,AC=4,BC=13,ABD是正三角形,DEBC與E,求CE. 圖10法1:作正ACF, ABCADF(SAS),2EF=DF=BC=13,故EC=10.5法2:作正FBC, ABCBDF(SAS),矩形, EH=DF=AC=4,HC=6.5, 故EC=10.5 圖11 圖12問題5 如何構建手拉手模型?師生活動:學生講解證明方法,以構建基本模型為目的添加輔助線。師并幾何畫板展示法1中輔助線的生成過程和ABC旋轉至ADF的運動過程。師生共同總結出構造模型的方法:旋轉相等線段所在的三角形,使相等的線段重合。設計意圖:通過此題,讓學生進一步體會手拉手模型的的靈活應用與構建。體會手拉手模型的構建本質是旋轉得到的,突破難點。活動6【小結】歸納提升師生活動:回顧 “手拉手模型”的拓展探究過程,試著說一說幾何問題的探究收獲: 主要內容:進一步研究三角形全等,認識手拉手模型與其構建。 研究思路:縱向延伸和橫向拓廣. 思想方法:分類思想,揭示幾何學研究的本質;化“繁”為“簡”,體會化歸思想;典型例題變式探究,體現了類比、特殊到一般的數學思想。設計意圖:通過小結,使學生梳理本節(jié)課所學內容,掌握本節(jié)課的核心手拉手模型與其構建,引導學生回顧模型的探究過程,體會幾何問題的探究思路,由靜到動,動中有靜?;顒?【測試】學習反饋(2016青海省中考)如圖1,2,3分別以ABC的AB和AC為邊向ABC外作正三角形、正方形、正五邊形,BE和CD相交于點O。(1)在圖1中,證明ABEADC(2)根據1的結論,由此可推出圖1中BOC=120,請你探索在圖2中,BOC=_。(3)在上述(1)(2)的基礎上可得在圖3中BOC= _(填寫度數)(4)由此推廣到一般情形(如圖4),分別以ABC的AB和AC為邊向ABC外作正n邊形,猜想BOC的度數為_。(用含有n的式子表示) 圖13師生活動: 生獨立完成,校對答案。設計意圖:以一道中考題反饋本節(jié)課的手拉手模型,既鞏固了所學知識,又能激發(fā)學生的學習熱情,讓學生意識到中考題也是以基本模型為依托,引起學生在今后的學習中對基本模型的重視。活動8【作業(yè)】延伸作業(yè)【簡單應用】(必做題)1.完成“思考1”中其它結論的證明。2.探索“思考2”中一般化和特殊化的圖形中的結論,

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