空間向量及其運(yùn)算.ppt

3 1空間向量及其運(yùn)算 回顧 平面向量定義 既有大小又有方向的量叫做向量 幾何表示法 用有向線段表示 字母表示法 用字母等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示 相等的向量 長(zhǎng)度 模 相等且方向相同的向量 A B 2 平面向量的加減法運(yùn)算 1 向量的加法 平行四邊形法則 三角形法則 首尾相連 2 平面向量的加減法運(yùn)算 2 向量的減法 減向量終點(diǎn)指向被減向量終點(diǎn) 新課導(dǎo)入 這個(gè)建筑鋼架中有很多向量 但它們有些并不在同一平面內(nèi) 概念 1 空間向量在空間 我們把具有大小和方向的量叫做空間向量 向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模 2 空間向量的的表示向量的起點(diǎn)是A 終點(diǎn)是B 則向量也可以記作 其模記為或 A B 幾類特殊的向量 1 零向量 長(zhǎng)度為0的向量 記為 當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時(shí) 2 單位向量 模為1的向量 4 相反向量 與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量 5 相等向量 方向相同且模相等的向量 思考 空間任意兩個(gè)向量是否可能異面 結(jié)論 空間任意兩個(gè)向量都是共面的 所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示 向量的加法和減法運(yùn)算 O C B A 空間向量的加法運(yùn)算律 1 交換律 2 結(jié)合律 探究 在平行六面體 底面是平行四邊形的四棱柱 中 分別標(biāo)出表示的向量 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和 等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量 擴(kuò)展 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的量 即 2 首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形 則它們的和為零向量 即 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 與平面向量一樣 實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量 稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算 1 當(dāng)時(shí) 與向量的方向相同 2 當(dāng)時(shí) 與向量的方向相反 3 當(dāng)時(shí) 是零向量 的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍 向量的數(shù)乘運(yùn)算 分配律 結(jié)合律 共線向量 平行向量 如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合 則這些向量叫做共線向量或平行向量 定理 推論1 三點(diǎn)共線推論2 空間內(nèi)有一點(diǎn)O A B P共線 A B P O 即時(shí)訓(xùn)練 共線嗎 共線嗎 共面向量 共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量 可平移到同一個(gè)面內(nèi)的向量 定理 不共線的向量 若共面推論1 三點(diǎn)不共線 若共面推論2 空間內(nèi)任意點(diǎn) 若共面 練習(xí) 例 如圖 已知平行四邊ABCD 過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA OB OC OD 在四條射線上分別取點(diǎn)E F G H 并且使求證 四點(diǎn)E F G H共面 B A H G F E C D B H F E O 空間向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量 在空間任取一點(diǎn)O 作則叫做向量的夾角 記作 1 范圍 2 3 時(shí) 向量方向相同 4 時(shí) 向量方向相反 5 時(shí) 向量 兩個(gè)向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量 則叫做的數(shù)量積 記作即 注 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量 而不是向量 規(guī)定 零向量與任意向量的數(shù)量積都等于零 特別地 即 思考 類似平面向量 你能說出的幾何意義嗎 數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積 空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 交換律 分配律 即使訓(xùn)練 下列命題成立嗎