no.910 第二章 靜電場泊松方程和拉普拉斯方程講解學(xué)習(xí).ppt

靜電場計算中的兩類問題 已知場空間分布 求源電荷分布 利用高斯定理的微分形式 已知源電荷分布 求空間場分布 邊值問題 利用高斯定理的積分形式 當(dāng)電場分布具有某種空間對稱性 直接法 間接法 2 5泊松方程和拉普拉斯方程 微分形式 積分形式 2 5 1靜電場的基本方程 本構(gòu)關(guān)系 線形 各向同性媒質(zhì) 靜電場 無旋有散場 2 5 2泊松方程和拉普拉斯方程 電位滿足的泊松方程 當(dāng)場中無電荷分布 即 的區(qū)域 拉普拉斯方程 拉普拉斯算子 拉普拉斯算子在不同坐標(biāo)系中的計算公式 直角坐標(biāo)系中 圓柱坐標(biāo)系中 球坐標(biāo)系中 四 一維泊松方程的求解 P 66例2 9例2 10 例1設(shè)有一個半徑為a的球體 其中均勻充滿體電荷密度為 v C m3 的電荷 球內(nèi)外的介電常數(shù)均為 0 試用電位微分方程 求解球內(nèi) 外的電位和電場強度 解 設(shè)球內(nèi) 外的電位分別為 1和 2 1滿足泊松方程 2滿足拉普拉斯方程 由于電荷均勻分布 場球?qū)ΨQ 所以 1 2均是球坐標(biāo)r的函數(shù) 1 分別列出球內(nèi) 外的電位方程 當(dāng)r a時 當(dāng)r a時 將上述兩個方程分別積分兩次可得 1 2的通解 2 根據(jù)邊界條件 求出積分常數(shù)A B C D 邊界條件是 r a 1 2 r a r 2 0 以無限遠(yuǎn)處為參考點 r 0 因為電荷分布球?qū)ΨQ 球心處場強E1 0 即Er 0 由上述條件 確定通解中的常數(shù) 例2如圖所示三個區(qū)域 它們的介電常數(shù)均為 0 區(qū)域2中的厚度為d m 其中充滿體電荷密度為 v C m3 的均勻體電荷 分界面為無限大 試分別求解 區(qū)域的位函數(shù)與電場強度 平板形體電荷的幾何關(guān)系 解 設(shè) 區(qū)域的電位函數(shù)分別為 1 y 2 y 3 y 1 分別列出三個區(qū)域的電位方程 在 兩個區(qū)域內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程 而第 區(qū)域的電位滿足泊松方程 將上面三個方程分別分兩次可得 由場分布的y 0平面對稱性 可知 3 y 1 y 所以我們只需求解 1和 2 也就是只要根據(jù)邊界條件確定常數(shù)C1 C2 C3 C4 2 由邊界條件確定常數(shù) 邊界條件為 時 1 2 交界面上無自由面電荷 y 0 2 0因體電荷板無限大 不能選擇無限遠(yuǎn)處為參考點 這里選擇y 0處為參考點 由場分布的對稱性 2 y 2 y 由條件 可得 由條件 可得 根據(jù)公式 可求得三個區(qū)域的電場分布 場量在不同媒質(zhì)分界面上各自滿足的關(guān)系將場量在分界面上分解成 法向normal分量 以下標(biāo)n表示 垂直于分界面切向tangency分量 以下標(biāo)t表示 平行于分界面 由靜電場基本方程的積分形式 2 6分界面上的邊界條件 兩種不同媒質(zhì)分界面的邊界條件 兩種不同媒質(zhì)分界面的邊界條件 法向邊界條件 切向邊界條件 法向邊界條件 一 D滿足的邊界條件 若界面上無自由電荷分布 即在 S 0時 結(jié)論 若兩種媒質(zhì)交界面上有自由電荷 則D的法向分量不連續(xù) 高斯通量定理 1 第一媒質(zhì)是電介質(zhì) 第二媒質(zhì)是導(dǎo)體 靜電場中導(dǎo)體內(nèi)部電場為零 故 兩種特殊情況 2 兩種介質(zhì)都是電介質(zhì) 且分界面上沒有自由電荷 即 s 0 則 即 結(jié)論 當(dāng) 1 2時 E的法向分量不連續(xù) 其原因是交界面上有束縛面電荷密度 結(jié)論 在介質(zhì)交界面上 電場強度的切向分量始終連續(xù) 或 靜電場的無旋性 二 E滿足的邊界條件 三 電位 滿足的邊界條件 1 第一媒質(zhì)是電介質(zhì) 第二媒質(zhì)是導(dǎo)體 2 兩種介質(zhì)都是電介質(zhì) 且分界面上沒有自由電荷 即 s 0 則 電場方向在交界面上的曲折 兩式相除 改寫 四 介質(zhì)分界面上電場方向的關(guān)系 邊界條件 當(dāng)兩種介質(zhì)分界面上沒有自由電荷 即 s 0 則 靜電場的折射定理 邊界條件 構(gòu)成邊值問題必不可少的條件 判斷不同媒質(zhì)界面兩側(cè)場量的大小 方向及連續(xù) 突變 例1同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b 其間填充兩種介質(zhì) 上半部分的介電常數(shù)為 1 下半部分的介電常數(shù)為 2 如圖所示 設(shè)內(nèi) 外導(dǎo)體帶電分別為q和 q 求內(nèi)外導(dǎo)體之間空間的電位移矢量和電場強度 Er1 Er2 Er2 Er1 解 在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分 有 例3 11如圖所示 兩個無限長同軸圓柱 內(nèi) 外導(dǎo)體半徑分別為a和b 兩導(dǎo)體間部分填充介電常數(shù)為 的電介質(zhì) 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U0 圖 a 中電介質(zhì)與空氣分界面的半徑為c 圖 b 中0 1間部分填充電介質(zhì) 試對該二同軸線分別求出 1 內(nèi) 外導(dǎo)體間的電場強度E及電通量密度D 2 導(dǎo)體表面上單位長度的帶電量 l 解 因為同軸圓柱是軸對稱結(jié)構(gòu) 故只有沿半徑 方向的電場 圖 a 結(jié)構(gòu)中 電場垂直于介質(zhì)與空氣的交界面 根據(jù)兩介質(zhì)交界面上法向分量電通量密度相等的邊界條件 可知道不同介質(zhì)內(nèi)D的表示式相同 而在圖 b 結(jié)構(gòu)中 電場平行于介質(zhì)與空氣交界面 由交界面上電場強度切向分量連續(xù)的邊界條件 得知不同介質(zhì)內(nèi)E的表示式相同 1 圖 a 結(jié)構(gòu) 當(dāng) c時 令內(nèi) 外導(dǎo)體表面上單位長度電量分別為 l l C m 根據(jù)高斯定理可得 a c時 c b時