由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型(1).doc

由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型方法多!SISO線性定常系統(tǒng)高階微分方程化為狀態(tài)空間表達式SISO 假設 外部描述實現(xiàn)問題：有了內(nèi)部結(jié)構模擬系統(tǒng) 內(nèi)部描述SISO 實現(xiàn)問題解決有多種方法，方法不同時結(jié)果不同。一、 直接分解法因為對上式取拉氏反變換，則按下列規(guī)律選擇狀態(tài)變量，即設，于是有寫成矩陣形式式中，為階單位矩陣，把這種標準型中的A系數(shù)陣稱之為友陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)陣A和輸入陣b具有上式的形式，c陣的形式可以任意，則稱之為能控標準型。則輸出方程寫成矩陣形式分析陣的構成與傳遞函數(shù)系數(shù)的關系。在需要對實際系統(tǒng)進行數(shù)學模型轉(zhuǎn)換時，不必進行計算就可以方便地寫出狀態(tài)空間模型的A、b、c矩陣的所有元素。例：已知SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)的能控標準型狀態(tài)空間模型。解：直接得到系統(tǒng)進行能控標準型的轉(zhuǎn)換，即 若選擇狀態(tài)變量滿足下列條件（如何考慮？）考慮式設系統(tǒng)的輸出，依次對第一式求導，并帶入第二式；對第二式求導，并帶入第三式；依次類推，便得到寫成矩陣形式式中，為階單位矩陣。只要系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的A陣和c陣具有上式的形式，b陣的形式可以任意，則稱之為能觀標準型從形式上看，能控標準型和能觀標準型的系數(shù)陣A是互為轉(zhuǎn)置，能控標準型輸入陣b和能觀標準型輸出陣c互為轉(zhuǎn)置，這種互為轉(zhuǎn)置的關系被稱為對偶關系。將在第六章進一步討論。通過以上對傳遞函數(shù)陣的能控標準型或能觀標準型轉(zhuǎn)換的討論，對單輸入系統(tǒng)而言，應注意如下問題：（1）傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成能控標準型的狀態(tài)空間表達式，狀態(tài)方程的結(jié)構只由傳遞函數(shù)陣的極點（特征）多項式確定，而與其零點多項式無關，零點多項式只影響輸出方程的結(jié)構。（2）從能觀標準型的轉(zhuǎn)換可以看出，系數(shù)陣A的元素僅決定于傳遞函數(shù)極點多項式系數(shù)，而其零點多項式則確定輸入陣B的元素。（3）只有當傳遞函數(shù)零點和極點多項式同階時，即，狀態(tài)空間表達式的輸出方程中才出現(xiàn)項，否則為零陣。例：求前例的能觀標準型的狀態(tài)空間模型解：直接得到能觀標準型的狀態(tài)空間模型，即二、 串聯(lián)分解法若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點互異，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式例：圖示！三、 并聯(lián)分解法（對角標準型/約旦標準型特征值標準型）（一）若SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點互異，則可求得對角標準型的模型。當系統(tǒng)的極點互異時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母寫成因式相乘形式寫成部分分式其中，為待定系數(shù)，其值為選擇狀態(tài)變量為（畫圖示意狀態(tài)變量的取法） 即 對上式拉氏反變換，得即 寫成矩陣形式 式中，系數(shù)矩陣A為對角陣。對角線上的元素是傳遞函數(shù)G（s）的極點，即系統(tǒng)的特征值。b陣是元素全為1的n1矩陣。求對角標準型模型的輸出方程中c的結(jié)構對上式拉氏反變換，得如果系統(tǒng)的狀態(tài)方程的A陣是對角陣，表示系統(tǒng)的各個變量之間是解耦的。多變量的系統(tǒng)解耦是復雜系統(tǒng)實現(xiàn)精確控制的關鍵問題，關于如何實現(xiàn)解耦控制將在第五章討論。系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構圖如圖所示。例： 設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對角標準型的轉(zhuǎn)換解：將用部分分式展開從而可得的極點為互異的，求待定系數(shù)得對角標準型的轉(zhuǎn)換為 （二）對SISO系統(tǒng)式，當其有重特征值時，可以得到約當標準型的狀態(tài)空間模型。此時模型的系數(shù)矩陣A中與重特征值對應的那些子塊都是與這些特征值相對應的約當塊，即設系統(tǒng)具有一個重特征值，其重數(shù)為j，而其余為互異的特征值，記為，則傳遞函數(shù)可以用部分分式展開成式中，待定系數(shù)對應的是重極點的待定系數(shù)，其值為其余互異根的待定系數(shù)求法同前。畫圖示意狀態(tài)變量的取法：例： 設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求系統(tǒng)對約當準型的狀態(tài)空間模型解：從已知系統(tǒng)地傳