矩形單元和節(jié)點(diǎn)三角形單元ppt課件.ppt

第4章平面問(wèn)題高精度單元 矩形單元討論 單元位移模式 單元應(yīng)力 應(yīng)變 單元?jiǎng)偠染仃?面積坐標(biāo) 簡(jiǎn)單三角形單元缺點(diǎn) 提高有限元求解精度的途徑 高精度單元的原理 單元位移模式 4 1提高有限元求解精度的途徑 三節(jié)點(diǎn)三角形單元精度低 收斂慢 在單元內(nèi)不能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化 這是因?yàn)樵搯卧挥?個(gè)節(jié)點(diǎn) 單元自由度少 單元位移模式只能是線性函數(shù) 描述單元內(nèi)位移變化的能力差 第一個(gè)途徑是對(duì)某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格加密 依靠單元的收斂性提高求解精度 第二個(gè)途徑是對(duì)一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸 采用高精度單元以提高求解精度 一 簡(jiǎn)單三角形單元的缺點(diǎn) 二 提高有限元求解精度的途徑 途徑 主要是增加單元的節(jié)點(diǎn)數(shù) 三 建立高精度單元的原理和途徑 原理 提高單元位移模式多項(xiàng)式的階次 從而增強(qiáng)單元擬合局部區(qū)域位移 應(yīng)力變化的能力 對(duì)平面問(wèn)題 先考慮采用4節(jié)點(diǎn)矩形單元和6節(jié)點(diǎn)三角形單元 4 1提高有限元求解精度的途徑 4 2矩形單元 一 矩形單元及其位移模式 矩形單元邊長(zhǎng)分別為2a 2b 取4個(gè)頂點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) 不失一般性地假設(shè)矩形的2個(gè)對(duì)稱軸分別為x y軸 每節(jié)點(diǎn)2個(gè)位移分量 因此單元共8個(gè)自由度 單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)為k l m n 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為 單元內(nèi)位移多項(xiàng)式設(shè)4項(xiàng) 為雙線性多項(xiàng)式 寫成矩陣形式為 其中為形函數(shù)矩陣 4 2矩形單元 通過(guò)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移代入 把廣義坐標(biāo) 多項(xiàng)式系數(shù) 代換為節(jié)點(diǎn)位移分量后得到插值形式的位移函數(shù) 各形函數(shù)為 形函數(shù)矩陣 4 2矩形單元 由于邊界平行于坐標(biāo)軸 矩形單元位移模式沿單元邊界 x y方向 都是線性變化 沿其他方向則按2次函數(shù)變化 稱為 雙線性 位移函數(shù) 由于單元位移在單元邊界上線性變化 而單元之間的公共邊界上有2個(gè)公共節(jié)點(diǎn) 所以單元邊界間的位移是連續(xù)的 單元滿足協(xié)調(diào)性條件 和簡(jiǎn)單三角形單元一樣 矩形單元位移模式中包含了完全一次多項(xiàng)式 所以滿足完備性條件 因此矩形單元的收斂性得到保證 顯然 上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì) 4 2矩形單元 二 單元應(yīng)變和應(yīng)力 形函數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)微分算子矩陣作用后得到3 8應(yīng)變矩陣 單元位移模式代入平面問(wèn)題幾何方程 4 2矩形單元 由平面問(wèn)題物理方程 應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系 得到 對(duì)于矩形單元 其單元上應(yīng)力 應(yīng)變不再是常數(shù) 而是一定程度上呈線性變化 即 x方向正應(yīng)變 正應(yīng)力隨y坐標(biāo)線性變化 y方向正應(yīng)變和正應(yīng)力隨x坐標(biāo)線性變化 因此 在一定條件下 精度會(huì)高一階 4 2矩形單元 三 矩形單元?jiǎng)偠染仃?矩形單元?jiǎng)偠染仃噷?dǎo)出的原理和方法同簡(jiǎn)單三角形單元 計(jì)算式如下 可以通過(guò)積分計(jì)算出精確的剛度矩陣元素 見(jiàn)P51 4 2矩形單元 四 矩形單元討論 4節(jié)點(diǎn)矩形單元采用了雙線性位移模式 應(yīng)力基本上沿坐標(biāo)軸呈線性變化 因而精度比3節(jié)點(diǎn)三角形單元高 由于位移模式在單元邊界上線性變化 并且根據(jù)單元公共邊界上兩個(gè)共同節(jié)點(diǎn)位移插值得到 單元的協(xié)調(diào)性得到滿足 同時(shí)也滿足完備性 因此單元是收斂的 單元要求兩對(duì)邊平行于坐標(biāo)軸 因而不能模擬復(fù)雜幾何邊界 單元網(wǎng)格疏密不能過(guò)渡 這是矩形單元的固有缺點(diǎn) 矩形單元可以與3節(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)合使用 如果突破幾何上的限制 成為任意方位的任意四邊形單元 便可成為實(shí)用的單元 4 2矩形單元 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 6節(jié)點(diǎn)三角形單元 三角形單元天然具有很好的幾何適應(yīng)性 如果增加三角形單元位移模式多項(xiàng)式的階數(shù) 就能成為實(shí)用的單元 考慮圖示6節(jié)點(diǎn)三角形單元 單元每邊中點(diǎn)設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn) 則單元有12個(gè)自由度 因此位移模式恰好取完全二次多項(xiàng)式 一 單元概述 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 顯然單元滿足完備性要求 由于該位移模式?jīng)Q定了單元邊界上位移呈二次拋物線分布 相鄰單元公共邊界上有三個(gè)公共節(jié)點(diǎn) 正好能夠保證相鄰單元在邊界上位移的連續(xù)性 因而是協(xié)調(diào)元 單元滿足收斂條件 該單元應(yīng)變 應(yīng)力隨坐標(biāo)完全呈線性變化 屬于高精度單元 進(jìn)行廣義坐標(biāo)代換后位移模式仍可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式 但是 采取如前面3節(jié)點(diǎn)單元建立形函數(shù)的辦法過(guò)于復(fù)雜 下面介紹用三角形單元的面積坐標(biāo)描述單元位移模式和形函數(shù)的方法 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 三角形單元上的面積坐標(biāo) 面積坐標(biāo)的定義如圖所示 三角形中任意一點(diǎn)的位置用三個(gè)參數(shù)來(lái)表示 稱為面積坐標(biāo) 面積坐標(biāo) Li Lj Lm 定義為三個(gè)比值 二 面積坐標(biāo)下6節(jié)點(diǎn)三角形單元分析 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 因此 單元內(nèi)任一點(diǎn)的面積坐標(biāo)滿足關(guān)系 Li Lj Lm 1即3個(gè)面積坐標(biāo)只有2個(gè)面積坐標(biāo)是獨(dú)立的 面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間有確定的變換關(guān)系 因此 對(duì)三角形單元的描述完全可以用面積坐標(biāo)進(jìn)行 直角坐標(biāo)表示面積坐標(biāo) 不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系 顯然 面積坐標(biāo)與3節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)完全相同 矩陣形式 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 面積坐標(biāo)表示直角坐標(biāo) 不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系 矩陣形式 4 36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡(jiǎn)介 利用上面變換式 三角形單元上的任何多項(xiàng)式函數(shù)可以方便地在兩種坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換 面積坐標(biāo)的各種形式冪函數(shù)在三角形上的積分有很簡(jiǎn)便的計(jì)算公式 面積坐標(biāo)表示的6節(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù) 根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造出用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)如下 不難驗(yàn)證 上述6個(gè)形函數(shù)滿足形函數(shù)的