第2章 2.2.1直接證明.docx

2.2.1直接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直接證明的兩種基本方法綜合法和分析法.2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)，會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題.知識(shí)點(diǎn)一綜合法閱讀下列證明過程，回答問題.已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，求證：2x2y2.證明：因?yàn)閤y1，所以2x2y222，故2x2y2成立.思考1本題的條件和結(jié)論分別是什么？答條件：xy1，結(jié)論：2x2y2.思考2本題的證明順序是什么？答從已知條件利用基本不等式到待證結(jié)論.1.綜合法的定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.2.推證過程：.知識(shí)點(diǎn)二分析法證明不等式：22成立.可用下面的方法進(jìn)行.要證明：22，由于20,20.只需證明(2)2(2)2，展開得114114，只需證明67，顯然67成立，22成立.思考上述證明過程從哪里開始？證明思路是什么？答從結(jié)論開始，逐步尋求結(jié)論成立的充分條件，它的思維特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，執(zhí)果索因.1.分析法的定義：從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法.2.推證過程：.類型一綜合法例1在abc中，三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：abc為等邊三角形.證明由于a，b，c成等差數(shù)列，有2bac.由于a，b，c為abc的三個(gè)內(nèi)角，所以abc.由，得b.由a，b，c成等比數(shù)列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，從而ac，所以ac.由，得abc，所以abc為等邊三角形.反思與感悟綜合法的證明步驟如下：(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過程.跟蹤訓(xùn)練1在abc中，證明：bc.證明在abc中，由正弦定理及已知條件得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0，因?yàn)閎clg alg blg c.證明要證lg lg lg lg alg blg c，只需證lg()lg(abc)，只需證abc.因?yàn)閍，b，c為不全相等的正數(shù)，所以0，0，0，且上述三式中等號(hào)不能同時(shí)成立.所以abc成立，所以原不等式成立.反思與感悟當(dāng)已知條件和結(jié)論聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，用結(jié)論反推的方法.跟蹤訓(xùn)練2求證：(a3).證明方法一要證，只需證，只需證()2()2，只需證2a322a32，只需證，只需證02，而02顯然成立，所以 ，所以，所以.類型三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用例3求證：當(dāng)x0時(shí)，sin xx.證明要證x0時(shí)，sin xx，只需證x0時(shí)，sin xx0即可.設(shè)f(x)sin xx，則即證x0時(shí)，f(x)f(0)0.即證x0時(shí)，f(x)的最大值小于或等于0.f(x)sin xx，f(x)cos x1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(x)在0，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)maxf(0)0，sin xx0成立，原不等式成立.反思與感悟在實(shí)際解決問題中，分析法與綜合法往往結(jié)合起來使用，先分析由條件能產(chǎn)生什么結(jié)論，再分析要產(chǎn)生需要的結(jié)論需要什么條件，逐步探求兩者之間的聯(lián)系，尋找解答突破口，確定解題步驟，然后用綜合法寫出解題的過程.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a、b是相異的正數(shù)，求證：關(guān)于x的一元二次方程(a2b2)x24abx2ab0沒有實(shí)數(shù)根.證明要證(a2b2)x24abx2ab0沒有實(shí)數(shù)根，只需證0，(ab)20，8ab(ab)20，該一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.1.命題“對(duì)于任意角，cos4sin4cos 2”的證明過程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”應(yīng)用了_證明.答案綜合法解析證明過程是從條件出發(fā)，利用公式，由演繹推理得到要證明的結(jié)論，是綜合法.2.已知a，b是不相等的正數(shù)，x，y，則x，y的大小關(guān)系是_.答案xx2.3.在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到a為鈍角的結(jié)論，三邊a、b、c應(yīng)滿足的條件為_.答案b2c2a2解析要證a為鈍角，只需證cos a0即可，也就是b2c2a2.4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn3an2(n1,2，)，求證：數(shù)列an是等比數(shù)列.證明因?yàn)閟n3an2(n1,2，)，sn13an12(n2,3，)，所以當(dāng)n2，nn*時(shí)，ansnsn13an3an1，整理，得anan1(n2，nn*).又因?yàn)閟n3an2，令n1，得a13a12，解得a11.所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.1.綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因.2.分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語.3.在實(shí)際證題過程中，分析法與綜合法是統(tǒng)一運(yùn)用的，把分析法和綜合法孤立起來運(yùn)用是脫離實(shí)際的.沒有分析就沒有綜合；沒有綜合也沒有分析.問題僅在于，在構(gòu)建命題的證明路徑時(shí)，有時(shí)分析法居主導(dǎo)地位，綜合法伴隨著它；有時(shí)卻剛剛相反，是綜合法居主導(dǎo)地位，而分析法伴隨著它.一、填空題1.下列表述：綜合法是由因?qū)Ч?；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是間接證明法，其中正確的語句有_.答案解析由分析法，綜合法的定義知正確.2.如果abab，則實(shí)數(shù)a，b滿足的條件是_.答案不相等的正數(shù)解析ababa()b()()(ab)()2()0a，b是不相等的正數(shù).3.a、b為abc的內(nèi)角，ab是sin asin b的_條件.答案充要解析由正弦定理，又a、b為三角形的內(nèi)角，sin a0，sin b0，sin asin b2rsin a2rsin babab.4.已知a、b、c滿足cba，且ac0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是_(只填序號(hào)).abac；c(ba)0；cb2ab2；ac(ac)0.答案解析abac(不等式的可乘性)，故成立.當(dāng)b0時(shí)，不成立.5.已知f(x)()x，實(shí)數(shù)a，br，af()，bf()，cf()，則a，b，c大小關(guān)系是_.答案acb解析，且f(x)是減函數(shù)，則abc.6.已知a、b、x、yr且，xy，則與的大小關(guān)系為_.答案解析要知與的大小，只需看x(yb)與y(xa)的大小.即xb與ya大小，而，xy且x、y、a、br，ab，yx，xbay，.7.已知x0，y0，且1，則xy的最大值為_.答案3解析12 .xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x，y2時(shí)等號(hào)成立.8.已知f(x)是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值等于_.答案1解析函數(shù)的定義域?yàn)閞，函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，即0.a1.也可根據(jù)奇函數(shù)的定義f(x)f(x)恒成立.即，即恒成立.即2aa2x12x12，a1.9.在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蝍bcd滿足條件_時(shí)，有a1cb1d1(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形).答案abcd為正方形(abcd為菱形，或acbd等)解析只要使bd平面aa1c1c即可.10.已知、為實(shí)數(shù)，給出下列三個(gè)判斷： 0；|5；|2，|2，以其中的兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是_.答案解析由0知、同號(hào)，由知|45.二、解答題11.已知abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，且2cos 2b8cos b50，求證：abc為正三角形.證明2cos 2b8cos b50，4cos2b8cos b30，cos b或cos b(舍去).又b(0，180)，b60.a，b，c成等差數(shù)列，2bac，cos b，ac，又b60，abc為正三角形.12.若1x1，1y1，求證：()21.證明要證明()21，只需證明(xy)2(1xy)2，即x2y22xy12xyx2y2，只需證明x2y21x2y20，只需證明(y21)(1x2)0.(*)因?yàn)?x1，1y1，所以x21，y21.從而(*)式顯然成立，所以()20時(shí)，欲證原不等式成立，只需證(acbd)2(a2b2)(c2d2).即證a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2.即證2abcdb2c2a2d2，即證0(bcad)2.因?yàn)閍，b，c，dr，所以上式恒成立.故原不