數(shù)學(xué)物理方法姚端正CH9作業(yè)解答.pdf

1 數(shù)理方法數(shù)理方法 CH9 作業(yè)題解答作業(yè)題解答 P170 習(xí)題習(xí)題 9 1 2 求下列函數(shù)的 Fourier 變換 2 2 x e 0 解 xdxedxxixedxeeeF xxxixx cos sin cos 2222 上式虛部被積函數(shù)是奇函數(shù) 積分結(jié)果為零 故只剩實部 根據(jù)教材 P91 積分公式 a ebxdxe a b ax 4 2 2 cos 上式積分結(jié)果為 4 2 e 3 0 cos sin 22 xx 解 sin cos sin cos 2222 2 xiFxFxixFeF xi 而 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4 4 xdeedxedxeeeF xi i i xxi xixixi 記 2 x 上式為 2 xi eF dee i i 2 2 4 1 由教材P90積分公式 4 2 i ix edxe 得 2 xi eF 44 4 4 22 i i i eee 比較上式兩邊的實部和虛部 得到 44 cos cos 2 2 xF 44 sin sin 2 2 xF 7 設(shè)rzyxr v 222 v 2 3 2 2 2 1 證明 1 2 4 1 r F 2 22 4 1 r e r F 0 證明 1 可從右邊推得左邊 dddedeF riri sin 1 2 44 2 1 4 2cos 0 2 00 23232 1 v vv rr d r r d ri ee dxde riri rxi 1 2 2sin211 000 1 1 2 其中記x cos 倒數(shù)第 2 步用了教材 P90 的積分公式 2 sin 0 dx x x 證明 2 可從左邊推至右邊 drddree r rdee r e r F ririr rr sin 11 1 2cos 0 2 00 v vv 記x cos 則 rdre ri ee drre r dxedxdrree r e r F rrr riri rxirxir 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2222 0 44 sin 4 drre r 上式最后一步積分由連續(xù)兩次應(yīng)用分部積分法即可求得 P175 習(xí)題 9 2 6 求解熱傳導(dǎo)方程 xxt uau 2 0 2 1 0 1 0 2 2 xxu txuau xxt 對定解問題 1 2 式中各項以 x為變量進行 Fourier 變換 記 tudxetxutxuF xi 1 1 22 dxexxF xi 則 1 2 式化為 4 0 3 0 22 u tua dt tud 滿足初始條件 4 式的方程 3 的解為 5 22 ta etu 下面求 5 式的逆變換 6 1 2222 1211tata eFxeFtuFtxu xdedeeeF taxitata cos 1 2 1 0 1 222222 由教材P91 積分公式 a ebxdxe a b ax 4 0 2 2 2 1 cos 上式積分結(jié)果為 4 ta x ta x ta e tata eeF 2 2 2 2 22 4 2 4 1 2 1 2 11 代入 6 式 并代入卷積定義式 得 dxe ta eFxtxu ta ta 1 2 1 1 2 4 12 2 2 22 dedxe ta tata 2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 2 12 2 2 2 4 22 4 dedxxe ta tata 4 4 1 2 1 4 2 1 2 2 3 2 22 ta ta tax ta 12 22