北師大必修3第一章 4.1、4.2（教案）.docx

41平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差42標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握各種基本數(shù)字特征的概念、意義以及它們各自的特點(diǎn).2.要重視數(shù)據(jù)的計(jì)算，體會統(tǒng)計(jì)思想知識點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(3)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，那么(x1x2xn)稱為這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)2三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長方形的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，但是有偏差；(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)知識點(diǎn)二標(biāo)準(zhǔn)差、方差1標(biāo)準(zhǔn)差(1)平均距離與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)xi到的距離是|xi|(i1,2，n)，則用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s (2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的步驟求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；求每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi(i1,2，n)；求(xi)2(i1,2，n)；求s2(x1)2(x2)2(xn)2；求s，即為標(biāo)準(zhǔn)差2方差標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中，xi(i1,2，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單運(yùn)用例1某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5 000元提升到20 000元，董事長的工資從5 500元提升到30 000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法解(1)平均數(shù)是：1 5001 5005912 091(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(2)新的平均數(shù)是1 5001 5001 7883 288(元)，新的中位數(shù)是：1 500元，新的眾數(shù)是1 500元(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平反思與感悟1.眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問題.2.在求平均數(shù)時(shí)，可采用新數(shù)據(jù)法，即當(dāng)所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的左右擺動時(shí)，用簡化公式：a.跟蹤訓(xùn)練1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)解在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表格里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(1.5021.6031.901)1.69(m)答17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75 m，1.70 m,1.69 m.題型二平均數(shù)和方差的運(yùn)用例2甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)兩臺機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又ss，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定反思與感悟1.極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述(1)極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，它反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感(2)方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度通常用標(biāo)準(zhǔn)差，即樣本方差的算術(shù)平方根，是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離2在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，質(zhì)量越穩(wěn)定跟蹤訓(xùn)練2某化肥廠有甲、乙兩個(gè)車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位：kg)：甲：10210199981039899乙：110 115 90 85 75 115 110(1)這種抽樣方法是哪一種方法？(2)試計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差，并說明哪個(gè)車間產(chǎn)品比較穩(wěn)定解(1)采用的抽樣方法是：系統(tǒng)抽樣(2)甲(10210199981039899)100；乙(110115908575115110)100；x(102100)2(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99100)2(4114941)3.43；s(110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110100)2(100225100225625225100)228.57.所以ss，故甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定題型三數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3在一次科技知識競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080，乙(5046047016802901210012)4 00080.s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss，甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組好些(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分其中，甲組成績在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成績在80分以上(包括80分)的有26人從這一角度看，甲組的成績較好(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于等于90分的有20人，乙組成績大于等于90分的有24人，所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人從這一角度看，乙組的成績較好反思與感悟要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)：甲254625.3225.4525.3925.36253425.4225.4525.3825.42253925.4325.3925.4025.44254025.4225.3525.4125.39乙254025.4325.4425.4825.48254725.4925.4925.3625.34253325.4325.4325.3225.47253125.3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后3位)解用計(jì)算器計(jì)算可得甲25.405，乙25.406；s甲0.037，s乙0.068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm)，差異很??；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸比乙的穩(wěn)定程度高得多于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些分類討論思想例4某班有四個(gè)學(xué)習(xí)小組，各小組人數(shù)分別為10,10，x,8，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分析由于x未知，因此中位數(shù)不確定，需討論解該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1010x8)(28x)，中位數(shù)是這4個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列后處在最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)(1)當(dāng)x8時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閤,8,10,10，中位數(shù)是9，由(28x)9，得x8，符合題意，此時(shí)中位數(shù)是9；(2)當(dāng)8x10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，x,10,10，中位數(shù)是(x10)，由(28x)(10x)，得x8，與8x10矛盾，舍去；(3)當(dāng)x10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?,10,10，x，中位數(shù)是10，由(28x)10，得x12，符合題意，此時(shí)中位數(shù)是10.綜上所述，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9或10.解后反思當(dāng)題目中含有參數(shù)，且參數(shù)的不同取值影響求解結(jié)果時(shí)，需對參數(shù)的取值分類討論1下列選項(xiàng)中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()a平均數(shù) b中位數(shù)c方差 d眾數(shù)答案c解析由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度2一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于()a21 b22 c20 d23答案a解析根據(jù)題意知，中位數(shù)22，則x21.3一次選拔運(yùn)動員的測試中，測得7名選手中的身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示記錄的平均身高為177 cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，則x等于()a5 b6 c7 d8答案d解析由題意知，101103x8977，解得x8.4已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_答案0.1解析 5.1，則方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.5某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為_；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_答案(1)7(2)2解析(1)7.(