大學(xué)經(jīng)典課件之高等數(shù)學(xué)——8-2偏導(dǎo)數(shù).pdf

第八章第八章 第二節(jié)第二節(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 定義 定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 000 yxP的某一鄰的某一鄰域域 內(nèi)有定義 將內(nèi)有定義 將y固定為固定為 0 y 給 給 0 x以增量以增量x 相應(yīng)地函 數(shù)有增量 相應(yīng)地函 數(shù)有增量 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算 0000 yxfyxxfz x 若極限若極限 x yxfyxxf x lim 0000 0 存在 則稱此極限為函數(shù)存在 則稱此極限為函數(shù) yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00 yx處對(duì)處對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù) 記為 的偏導(dǎo)數(shù) 記為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z 00 yxf x 或或 可定義函數(shù)可定義函數(shù) yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00 yx處對(duì) 處對(duì) y的偏 導(dǎo)數(shù) 定義為 的偏 導(dǎo)數(shù) 定義為 同理同理 y yxfyyxf y lim 0000 0 記為記為 0 0 yy xx y z 0 0 yy xx y f 0 0 yy xx y z 或或 00 yxf y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果函數(shù) 如果函數(shù) yxfz 在區(qū)域 在區(qū)域 D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) yx處 對(duì) 處 對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 x y的 函數(shù) 它就稱為函數(shù) 的 函數(shù) 它就稱為函數(shù) yxfz 對(duì)自變量 對(duì)自變量 x的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 x z x f x z 或 或 yxf x 同理可以定義函數(shù) 同理可以定義函數(shù) yxfz 對(duì)自變量對(duì)自變量y的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 y z y f y z 或 或 yxf y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如在處如在處 zyxfu zyx lim 0 x zyxfzyxxf zyxf x x lim 0 y zyxfzyyxf zyxf y y lim 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1例 1 求 求 22 3yxyxz 在點(diǎn) 在點(diǎn) 2 1 處的 偏導(dǎo)數(shù) 處的 偏導(dǎo)數(shù) 解解 x z 32yx y z 23yx 2 1 y x x z 82312 2 1 y x y z 72213 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2 例2 設(shè) 設(shè) y xz 1 0 xx 求證 求證 z y z xx z y x 2 ln 1 證證 x z 1 y yx y z ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx 2z 原結(jié)論成立 原結(jié)論成立 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 3例 3 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV R為常數(shù) 求證 為常數(shù) 求證 1 p T T V V p 證證 V RT p 2 V RT V p p RT V p R T V R pV T R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V 1 pV RT 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) x u 是一個(gè)整體記號(hào) 不能拆分 是一個(gè)整體記號(hào) 不能拆分 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 求分界點(diǎn) 不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用 定義求 求分界點(diǎn) 不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用 定義求 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 0 0 0 0 22 的偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) 的偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) yxf yx yx yx xy yxf 例 4 解 例 4 解 0 0 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx 222 22 2 yx xyxyxy yxf x 222 22 yx xyy 222 22 2 yx xyyyxx yxf y 222 22 yx yxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 0 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx按定義可知 按定義可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx xyy yxf x 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx yxx yxf y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即即 yxf在在 0 0 點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在 但 點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在 但 例4說(shuō)明 例4說(shuō)明 多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在并不能 保證此函數(shù)在這一點(diǎn)是連續(xù)的 多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在并不能 保證此函數(shù)在這一點(diǎn)是連續(xù)的 即即 yxf在在 0 0 點(diǎn)不連續(xù) 點(diǎn)不連續(xù) 0 0 2 1 lim lim 22 2 0 0 0 f xx x yxf xyxyxyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù) 多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù) 連續(xù)連續(xù) 例 5例 5 設(shè) 設(shè) 其它 或 其它 或 1 2 00 yyxx yxf 0 00 yx 顯然顯然 yxf在在 00 yx 處不連續(xù) 但 處不連續(xù) 但 0 00 yxfx 0 00 yxf y 偏導(dǎo)數(shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x z y 0 yxfz M x z x yxfyxxf x lim 0000 0 M x z 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 z f x y 0 yy yxfz L L 得曲線得曲線 tan 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 y y0 0000 y x M y z 同理 同理 M Tx 固定 固定 y y0 復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim z f x y L 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx x z y 0 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim M y z 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 z f x y 0 0 xx y xfz L 得曲線得曲線 tan 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx Ty x z y 0 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 函數(shù)函數(shù) yxfz 的二階偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù)為 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 三 高階偏導(dǎo)數(shù)三 高階偏導(dǎo)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) 例如 例如 z f x y 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為 3 3 2 2 x z x z x z f x y 關(guān)于 關(guān)于 x 的 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) 再關(guān)于 階偏導(dǎo)數(shù) 再關(guān)于 y 的一階的一階 y yx z n n 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為 1 1 n n x z 定義 定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 例 6 例 6 設(shè)設(shè)13 323 xyxyyxz 求求 2 2 x z xy z 2 yx z 2 2 2 y z 及 及 3 3 x z 解解 x z 33 322 yyyx y z 92 23 xxyyx 2 2 x z 6 2 xy 2 2 y z 182 3 xyx 3 3 x z 6 2 y xy z 2 196 22 yyx yx z 2 196 22 yyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7例 7 設(shè)設(shè)byeu ax cos 求二階偏導(dǎo)數(shù) 求二階偏導(dǎo)數(shù) 解解 cosbyae x u ax sinbybe y u ax cos 2 2 2 byea x u ax cos 2 2 2 byeb y u ax sin 2 byabe yx u ax sin 2 byabe xy u ax 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 問(wèn)題 問(wèn)題 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 0 0 0 0 0 22 3 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) yxf yx yx yx yx yxf 例 8 解 例 8 解 0 0 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) yx 222 3222 2 3 yx yxxyxyx yxf x 23 222 4 22 2 yx yx yx yx 2 222 23 22 3 yx yx yx x yxf y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 0 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) yx按定義可知 按定義可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y y fyf f xx y xy 0 0 0 lim 0 0 0 0 x fxf f yy x yx 0 0 0 lim 0 0 0 1 0 0 0 0 yxxy ff 顯然顯然 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 問(wèn)題 問(wèn)題 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等 證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明1 說(shuō)明1 例如 對(duì)三元函數(shù) 例如 對(duì)三元函數(shù) u f x y z zyxfzyxfzyxf yxzxzyzyx 說(shuō)明2 說(shuō)明2 本定理對(duì) 本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立 函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo) 數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立 函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo) 數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序 zyxfzyxfzyxf xyzzxyyzx 因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 在點(diǎn) x y z 連續(xù)時(shí) 有 而初等 連續(xù)時(shí) 有 而初等 例 9 例 9 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 22 ln yxyxu 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 y u x u 解解 ln 2 1 ln 2222 yxyx Q 22 yx x x u 22 yx y y u 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù) 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u 2 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 2 2 2 2 y u x u 0 222 22 222 22 yx yx yx xy 四 內(nèi)容小結(jié)四 內(nèi)容小結(jié) 1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義 記號(hào) 幾何意義定義 記號(hào) 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān) 2 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法2 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求分段點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)要用定義去求 求分段點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)要用定義去求 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法 與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí) 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序 逐次求導(dǎo)法 與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí) 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題7 2 P69 1 1 3 6 7 3 4 6 7 1 3 8 第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x u uf 備用題備用題設(shè)設(shè) ufz 方程方程 uu x y tdtp 確定確定 u 是是 x y 的函數(shù)的函數(shù) 可微其中可微其中uuf utp 連續(xù) 且連續(xù) 且 1 u 求求