大學(xué)經(jīng)典課件之高等數(shù)學(xué)——8-2偏導(dǎo)數(shù).pdf

第八章第八章 第二節(jié)第二節(jié) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 定義 定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yxfz 在點在點 000 yxP的某一鄰的某一鄰域域 內(nèi)有定義 將內(nèi)有定義 將y固定為固定為 0 y 給 給 0 x以增量以增量x 相應(yīng)地函 數(shù)有增量 相應(yīng)地函 數(shù)有增量 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計算 0000 yxfyxxfz x 若極限若極限 x yxfyxxf x lim 0000 0 存在 則稱此極限為函數(shù)存在 則稱此極限為函數(shù) yxfz 在點在點 00 yx處對處對x 的偏導(dǎo)數(shù) 記為 的偏導(dǎo)數(shù) 記為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z 00 yxf x 或或 可定義函數(shù)可定義函數(shù) yxfz 在點在點 00 yx處對 處對 y的偏 導(dǎo)數(shù) 定義為 的偏 導(dǎo)數(shù) 定義為 同理同理 y yxfyyxf y lim 0000 0 記為記為 0 0 yy xx y z 0 0 yy xx y f 0 0 yy xx y z 或或 00 yxf y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果函數(shù) 如果函數(shù) yxfz 在區(qū)域 在區(qū)域 D內(nèi)任一點內(nèi)任一點 yx處 對 處 對 x的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 的偏導(dǎo)數(shù)都存在 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是 x y的 函數(shù) 它就稱為函數(shù) 的 函數(shù) 它就稱為函數(shù) yxfz 對自變量 對自變量 x的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 x z x f x z 或 或 yxf x 同理可以定義函數(shù) 同理可以定義函數(shù) yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 的偏導(dǎo) 數(shù) 記作 y z y f y z 或 或 yxf y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如在處如在處 zyxfu zyx lim 0 x zyxfzyxxf zyxf x x lim 0 y zyxfzyyxf zyxf y y lim 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1例 1 求 求 22 3yxyxz 在點 在點 2 1 處的 偏導(dǎo)數(shù) 處的 偏導(dǎo)數(shù) 解解 x z 32yx y z 23yx 2 1 y x x z 82312 2 1 y x y z 72213 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2 例2 設(shè) 設(shè) y xz 1 0 xx 求證 求證 z y z xx z y x 2 ln 1 證證 x z 1 y yx y z ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx 2z 原結(jié)論成立 原結(jié)論成立 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3例 3 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV R為常數(shù) 求證 為常數(shù) 求證 1 p T T V V p 證證 V RT p 2 V RT V p p RT V p R T V R pV T R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V 1 pV RT 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) x u 是一個整體記號 不能拆分 是一個整體記號 不能拆分 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明 求分界點 不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用 定義求 求分界點 不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用 定義求 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 0 0 0 0 22 的偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) 的偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) yxf yx yx yx xy yxf 例 4 解 例 4 解 0 0 時當(dāng)時當(dāng) yx 222 22 2 yx xyxyxy yxf x 222 22 yx xyy 222 22 2 yx xyyyxx yxf y 222 22 yx yxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 0 時當(dāng)時當(dāng) yx按定義可知 按定義可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx xyy yxf x 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx yxx yxf y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即即 yxf在在 0 0 點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在 但 點的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在 但 例4說明 例4說明 多元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)都存在并不能 保證此函數(shù)在這一點是連續(xù)的 多元函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)都存在并不能 保證此函數(shù)在這一點是連續(xù)的 即即 yxf在在 0 0 點不連續(xù) 點不連續(xù) 0 0 2 1 lim lim 22 2 0 0 0 f xx x yxf xyxyxyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)連續(xù) 多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)連續(xù) 連續(xù)連續(xù) 例 5例 5 設(shè) 設(shè) 其它 或 其它 或 1 2 00 yyxx yxf 0 00 yx 顯然顯然 yxf在在 00 yx 處不連續(xù) 但 處不連續(xù) 但 0 00 yxfx 0 00 yxf y 偏導(dǎo)數(shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x z y 0 yxfz M x z x yxfyxxf x lim 0000 0 M x z 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 z f x y 0 yy yxfz L L 得曲線得曲線 tan 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 y y0 0000 y x M y z 同理 同理 M Tx 固定 固定 y y0 復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim z f x y L 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx x z y 0 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim M y z 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 z f x y 0 0 xx y xfz L 得曲線得曲線 tan 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx Ty x z y 0 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 函數(shù)函數(shù) yxfz 的二階偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù)為 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 三 高階偏導(dǎo)數(shù)三 高階偏導(dǎo)數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) 例如 例如 z f x y 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為 3 3 2 2 x z x z x z f x y 關(guān)于 關(guān)于 x 的 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) 再關(guān)于 階偏導(dǎo)數(shù) 再關(guān)于 y 的一階的一階 y yx z n n 1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為 1 1 n n x z 定義 定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) 例 6 例 6 設(shè)設(shè)13 323 xyxyyxz 求求 2 2 x z xy z 2 yx z 2 2 2 y z 及 及 3 3 x z 解解 x z 33 322 yyyx y z 92 23 xxyyx 2 2 x z 6 2 xy 2 2 y z 182 3 xyx 3 3 x z 6 2 y xy z 2 196 22 yyx yx z 2 196 22 yyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 7例 7 設(shè)設(shè)byeu ax cos 求二階偏導(dǎo)數(shù) 求二階偏導(dǎo)數(shù) 解解 cosbyae x u ax sinbybe y u ax cos 2 2 2 byea x u ax cos 2 2 2 byeb y u ax sin 2 byabe yx u ax sin 2 byabe xy u ax 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 問題 問題 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎 0 0 0 0 0 22 3 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)求 設(shè) yxf yx yx yx yx yxf 例 8 解 例 8 解 0 0 時當(dāng)時當(dāng) yx 222 3222 2 3 yx yxxyxyx yxf x 23 222 4 22 2 yx yx yx yx 2 222 23 22 3 yx yx yx x yxf y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 0 時當(dāng) 時當(dāng) yx按定義可知 按定義可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y y fyf f xx y xy 0 0 0 lim 0 0 0 0 x fxf f yy x yx 0 0 0 lim 0 0 0 1 0 0 0 0 yxxy ff 顯然顯然 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 問題 問題 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等 證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明1 說明1 例如 對三元函數(shù) 例如 對三元函數(shù) u f x y z zyxfzyxfzyxf yxzxzyzyx 說明2 說明2 本定理對 本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立 函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo) 數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立 函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo) 數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序 zyxfzyxfzyxf xyzzxyyzx 因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù) 在點 在點 x y z 連續(xù)時 有 而初等 連續(xù)時 有 而初等 例 9 例 9 驗證函數(shù)驗證函數(shù) 22 ln yxyxu 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 y u x u 解解 ln 2 1 ln 2222 yxyx Q 22 yx x x u 22 yx y y u 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù) 滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u 2 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 2 2 2 2 y u x u 0 222 22 222 22 yx yx yx xy 四 內(nèi)容小結(jié)四 內(nèi)容小結(jié) 1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義 記號 幾何意義定義 記號 幾何意義 函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在此點連續(xù) 函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)與求導(dǎo)順序無關(guān) 2 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法2 偏導(dǎo)數(shù)的計算方法 求分段點處偏導(dǎo)數(shù)要用定義去求 求分段點處偏導(dǎo)數(shù)要用定義去求 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法 與求導(dǎo)順序無關(guān)時 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序 逐次求導(dǎo)法 與求導(dǎo)順序無關(guān)時 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題7 2 P69 1 1 3 6 7 3 4 6 7 1 3 8 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x u uf 備用題備用題設(shè)設(shè) ufz 方程方程 uu x y tdtp 確定確定 u 是是 x y 的函數(shù)的函數(shù) 可微其中可微其中uuf utp 連續(xù) 且連續(xù) 且 1 u 求求