2017版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件文新人教A版.pptx

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 極值 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 在某個(gè)區(qū)間 a b 內(nèi) 如果f x 0 那么函數(shù)y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 如果f x 0 那么函數(shù)y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 2 函數(shù)極值的概念 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當(dāng)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí) 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程的根 檢查f x 的方程的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個(gè)根處取得 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)根處取得 3 極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) 極大值 極小值統(tǒng)稱為極值 f x 0 f x 0 極大值 極小值 利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題 1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 函數(shù)f x x2 2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為 答案 0 1 2 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 函數(shù)f x x3 ax在 1 上是增函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析f x 3x2 a 則3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 且a 3時(shí) f x 不恒為0 答案 3 有關(guān)極值的兩個(gè)易混點(diǎn) 極值點(diǎn) 取極值條件 3 極值點(diǎn)是f x 取得極值時(shí)的x值 函數(shù)f x x3 3x2的極小值點(diǎn)是 解析f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 0或x 2 當(dāng)0 x 2時(shí)f x 0 當(dāng)x 2時(shí) f x 0 所以x 2是f x 極小值點(diǎn) 答案2 4 f x0 0是函數(shù)f x 在x x0處有極值的必要不充分條件 若函數(shù)f x x2 alnx在x 1時(shí)取得極值 則a 答案 2 知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值及在實(shí)際生活中的應(yīng)用 1 函數(shù)的最值 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 在 a b 上必有最大值與 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小值 f b 為函數(shù)的 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 3 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步驟如下 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 將f x 的各極值與比較 其中最大的一個(gè)是最大值 最小的一個(gè)是最小值 最小值 最大值 f a f b 2 解決優(yōu)化問題的基本思路 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 5 若為閉區(qū)間 可直接比較函數(shù)值 若為閉區(qū)間注意 利用函數(shù)單調(diào)性求解 函數(shù)f x x3 12x 8在 0 3 上的最小值為 解析f x 3x2 12 由f x 0得x 2 又f 0 8 f 2 8 f 3 1 所以f x 最小值為 8 答案 8 突破利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 1 求函數(shù)f x 的定義域 2 求導(dǎo)函數(shù)f x 3 在定義域內(nèi)解不等式f x 0和f x 0 若不等式中帶有參數(shù)時(shí) 可對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論 4 確定函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法 1 可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào) 實(shí)際上就是在該區(qū)間上f x 0 或f x 0 f x 在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 恒成立 然后分離參數(shù) 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題 從而獲得參數(shù)的取值范圍 2 可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 實(shí)際上就是f x 0 或f x 0 在該區(qū)間上存在解集 這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題 3 若已知f x 在區(qū)間I上的單調(diào)性 區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí) 可先求出f x 的單調(diào)區(qū)間 令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集 從而可求出參數(shù)的取值范圍 例1 已知函數(shù)f x ex ax 1 1 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 是否存在a 使f x 在 2 3 上為減函數(shù) 若存在 求出a的取值范圍 若不存在 請(qǐng)說明理由 解f x ex a 1 若a 0 則f x ex a 0 即f x 在R上單調(diào)遞增 若a 0 ex a 0 ex a x lna 因此當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間為R 當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間是 lna 2 f x ex a 0在 2 3 上恒成立 a ex在x 2 3 上恒成立 又 2 x 3 e 2 ex e3 只需a e3 當(dāng)a e3時(shí) f x ex e3在x 2 3 上 f x 0 即f x 在 2 3 上為減函數(shù) a e3 故存在實(shí)數(shù)a e3 使f x 在 2 3 上為減函數(shù) 點(diǎn)評(píng) 1 利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性 2 已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題 3 f x 為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x a b 都有f x 0且在 a b 內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f x 0 應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略 否則漏解 導(dǎo)數(shù)與極值 最值 的求解方略 求函數(shù)f x 極值的步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導(dǎo)數(shù)f x 3 解方程f x 0 求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根 4 列表檢驗(yàn)f x 在f x 0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么f x 在x0處取極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在x0處取極小值 若遇極值點(diǎn)含參數(shù)不能比較大小時(shí) 則需分類討論 求函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的最值的方法 1 若函數(shù)在區(qū)間 a b 上單調(diào)遞增或遞減 f a 與f b 一個(gè)為最大值 一個(gè)為最小值 2 若函數(shù)在閉區(qū)間 a b 內(nèi)有極值 要先求出 a b 上的極值 與f a f b 比較 最大的是最大值 最小的是最小值 可列表完成 1 求f x 在區(qū)間 1 上的極小值和極大值點(diǎn) 2 求f x 在 1 e e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 上的最大值 點(diǎn)評(píng) 求極值 最值時(shí) 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時(shí) 要討論參數(shù)的大小 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題突破方略 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法 1 證明f x g x x a b 可以構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 如果F x 0 則F x 在 a b 上是增函數(shù) 同時(shí)若F a 0 由增函數(shù)的定義可知 x a b 時(shí) 有F x 0 即證明了f x g x 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值 各類不等式與函數(shù)最值關(guān)系如下 注 上述的大于 小于改為不小于 不大于 相應(yīng)的與最值對(duì)應(yīng)關(guān)系的不等式也改變 如果函數(shù)沒有最值 則上述結(jié)果可以用函數(shù)值域相應(yīng)的端點(diǎn)值表述 例3 設(shè)函數(shù)f x x ax2 blnx 曲線y f x 過P 1 0 且在P點(diǎn)處的切線斜率為2 1 求a b的值 2 證明 f x 2x 2 當(dāng)00 當(dāng)x 1時(shí) g x 0時(shí) g x 0 即f x 2x 2 點(diǎn)評(píng) 1 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式f x g x 成立的一般步驟 第一步 構(gòu)造h x f x g x 第二步 求h x 第三步 判斷h x 的單調(diào)性 第四步 確定h x 的最小值 第五步 證明h x min 0成立 第六步 得出所證結(jié)論 2 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面 也是高考的一個(gè)新熱點(diǎn) 其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 判斷區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與0的關(guān)系 實(shí)際就是利用求導(dǎo)的方法去研究函數(shù)的單調(diào)性 并通過單調(diào)性證明不等式 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根 函數(shù)的零點(diǎn)和圖象交點(diǎn)問題 是高考題的典型題型 該類問題一般可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值 變化趨勢(shì)等 根據(jù)題目要求 畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律 然后分析觀察 列出相應(yīng)不等式 或方程 求解 要注意轉(zhuǎn)化與化歸 函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論思想的應(yīng)用 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 2 若函數(shù)f x 的圖象與函數(shù)g x 的圖象在區(qū)間 0 e2 上有公共點(diǎn) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 答題模板 第一步 確定函數(shù)定義域并