2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題四不等式證明的五大方法課件理.pptx

專題四不等式證明的五大方法 不等式的證明是數(shù)學(xué)中一類廣泛的問題 在高考中占有重要位置 下面就不等式的證明方法作簡要介紹 方法一 綜合法 思路點撥 1 思路1 作差比較 思路2 構(gòu)造對稱不等式 例1 2015吉林省長春市高三質(zhì)檢 1 已知a b都是正數(shù) 且a b 求證 a3 b3 a2b ab2 證明 1 法一 a3 b3 a2b ab2 a b a b 2 因為a b都是正數(shù) 所以a b 0 又因為a b 所以 a b 2 0 于是 a b a b 2 0 即 a3 b3 a2b ab2 0所以a3 b3 a2b ab2 法二因為a b為正數(shù)且a b 所以a3 ab2 2a2b b3 a2b 2ab2 兩不等式相加整理即得所證不等式 思路點撥 2 構(gòu)造對稱不等式 方法總結(jié)綜合法是證明不等式的最基本方法 其關(guān)鍵是利用實數(shù)的性質(zhì) 不等式的性質(zhì) 已知的不等式等 根據(jù)已知條件進行推理 推導(dǎo)出所要證明的不等式 在綜合法中有兩個方法值得注意 1 比較法 作差比較 作商比較 2 構(gòu)造輪換對稱不等式 即如果不等式中的字母相互交換 不等式不變的不等式叫做輪換對稱不等式 該類不等式可以考慮構(gòu)造對稱不等式加以證明 方法二 分析法 例2 2015陜西寶雞九校聯(lián)考 若實數(shù)x y z滿足x2 4y2 z2 3 求證 x 2y z 3 思路點撥 根據(jù)分析法的推理形式進行證明 證明 要證 x 2y z 3 只需證明 x 2y z 2 32 只需證明x2 4y2 z2 4xy 4yz 2xz 9 因為x2 4y2 z2 3 只需證明4xy 4yz 2xz 6 又因為x2 4y2 z2 3 只需證明4xy 4yz 2xz 2x2 8y2 2z2 只需證明2x2 8y2 2z2 4xy 4yz 2xz 0 只需證明x2 4xy 4y2 4y2 4yz z2 z2 2xz x2 0 即 x 2y 2 2y z 2 z x 2 0 該不等式顯然成立 所以原不等式成立 方法總結(jié)分析法是證明已知條件簡單 結(jié)論較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明題的有效方法 使用分析法證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì) 已知不等式等 從結(jié)論出發(fā)導(dǎo)出已知條件中的不等式 已知的不等式 明顯的數(shù)學(xué)事實 方法三 放縮法 思路點撥 1 使用正弦定理把求證目標(biāo)化為三角函數(shù)的不等式 2 已知a2 b2 1 x2 y2 4 求證 ax by 2 思路點撥 2 三角換元后 利用三角函數(shù)的有界性放縮 方法總結(jié)一些含有三角函數(shù)的不等式 或者通過換元能夠化為三角函數(shù)的不等式 可以根據(jù)正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的有界性進行放縮 思路點撥 利用基本不等式和已知條件 通過使用基本不等式放縮完成證明 證明 1 因為 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 3 a2 b2 c2 9 所以 a b c 3 所以a b c 3 方法總結(jié)證明過程中利用均值不等式等重要不等式進行放縮是證明不等式的基本方法之一 這也是重要不等式的主要應(yīng)用領(lǐng)域 方法總結(jié)使用不等式的性質(zhì)放縮不等式中項 使之能夠產(chǎn)生裂項相消的部分是證明與正整數(shù)的和式有關(guān)的不等式的基本思考途徑 方法四 反證法 方法總結(jié)反證法對已知條件較少 結(jié)論情況較多 或者結(jié)論是否定形式給出 結(jié)論是唯一性等命題的證明非常有效 方法五 導(dǎo)數(shù)法 構(gòu)造函數(shù)法 思路點撥 1 利用x y的大小關(guān)系 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的證明 3 2015福建省高中畢業(yè)班質(zhì)檢 已知函數(shù)f x ex x m m 1 證明 函數(shù)f x 有兩個零點x1 x2且x1 x2 0 思路點撥 3 有零點的證明 利用函數(shù)的單調(diào)性和零點定理進行證明 x1 x2 0 即x1 x2 只要構(gòu)造一個函數(shù) 證明該函數(shù)的單調(diào)性 即可根據(jù)函數(shù)值的不等關(guān)系確定上述變量間的不等關(guān)系 方法總結(jié)函數(shù)的單調(diào)性可以比較一個范圍內(nèi)的函數(shù)值與某個函數(shù)值的大小關(guān)系 也可以根據(jù)函數(shù)值的大小比較自變量的大小 通過構(gòu)造函數(shù) 研究函數(shù)的單調(diào)性得出不等式是函數(shù)類不等式證明最基本的方法 類型2 函數(shù)最值法 例8 2015黑龍江省大慶市二模 已知函數(shù)f x x 2 ex 求證 對任意x1 x2 0 2 都有 f x1 f x2 e 思路點撥 只要證明f x max f x min e即可 證明 1 f x x 1 ex f x 在 0 1 單調(diào)遞減 在 1 2 單調(diào)遞增 所以f x min f 1 e f 0 f 2 2 0 故f x max f 2 0 所以f x max f x min e 所以對任意x1 x2 0 2 都有 f x1 f x2 e 方法總結(jié)最值方法是證明不等式 求不等式恒成立時參數(shù)范圍的基本方法之一 基本思想是把不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值之間的關(guān)系 方法總結(jié)對于與和式有關(guān)的正整數(shù)的不等式 特別是其中含有自然對數(shù)和指數(shù)的不等式 可考慮先證明一個關(guān)于實數(shù)的不等式 再對該實數(shù)不等式中的自變量賦予正整數(shù)值得出不等式的方法進行證明 該類試題具有很大的靈活性 解題中需要根據(jù)所證不等式的特點確定需要構(gòu)造的合理不等式 2 2015廣東省茂名市高三二模 已知函數(shù)f x lnx 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 為函數(shù)圖象上不同的兩點 線段AB的中點為C x0 y0 直線AB的斜率為k 證明 k f x0 方法總結(jié)證明函數(shù)問題中雙變量不等式的最基本的方法是把其化為單變量不等式 化解的方法主要有 1 利用函數(shù)單調(diào)性 固定其中一個變量為常數(shù) 讓另一個