蘇教版選修45 5.2.1 含有絕對(duì)值的不等式的解法 學(xué)案.doc

5.2.1 含有絕對(duì)值的不等式的解法自主整理1.|x|的幾何意義是_.2.含有絕對(duì)值的不等式的解法(同解性).(1)|x|a(2)|x|a3.|ax+b|c(c0),|ax+b|c(c0)型不等式的解法.(1)|ax+b|c(c0)型不等式的解法是:先化為不等式組_,再進(jìn)一步利用不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集.(2)|ax+b|c(c0)型不等式的解法是:先化為不等式_或_,再利用不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集.4.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法.解法一:可以利用絕對(duì)值不等式的_.解法二:利用分類討論的思想,以絕對(duì)值的_為分界點(diǎn),將數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間,然后確定各個(gè)絕對(duì)值中的多項(xiàng)式的_,進(jìn)而去掉_.高手筆記1.解含有絕對(duì)值的不等式的總體思路是將含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解,轉(zhuǎn)化的依據(jù)為同解性,對(duì)同解性應(yīng)理解為|x|中的x可以是任何有意義的數(shù)學(xué)式子f(x),掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是關(guān)鍵.2.數(shù)形結(jié)合是解絕對(duì)值不等式的另一重要途徑,為此,要熟練掌握絕對(duì)值的幾何意義.3.分類討論的思想方法在解含有絕對(duì)值的不等式時(shí)經(jīng)常用到,應(yīng)注意“分界點(diǎn)”的討論,做到不重不漏.4.解不等式每一步變形要依據(jù)不等式的性質(zhì),進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,保證所求結(jié)果為原不等式的解集.名師解惑幾個(gè)特殊的含有絕對(duì)值的不等式的區(qū)別及參數(shù)a的解法.(1)|x-4|-|x-3|a有解,則a的取值范圍是_;(2)|x-4|-|x-3|a的解集為r,則a的取值范圍是_;(3)|x-4|+|x-3|a的解集為,則a的取值范圍是_;(4)|x-4|+|x-3|a的解集為r,則a的取值范圍是_.剖析:處理以上問題,可以與函數(shù)y=|x-4|-|x-3|和y=|x-4|+|x-3|的最值(值域)等聯(lián)系起 .而求這兩個(gè)函數(shù)的最值(值域)所用的方法可以是畫數(shù)軸數(shù)形結(jié)合,也可以分類討論求出. 函數(shù)y=|x-4|-|x-3|的值域?yàn)?1,1,函數(shù)y=|x-4|+|x-3|1,(1)|x-4|-|x-3|a有解,a1.(2)|x-4|-|x-3|a的解集為r,即|x-4|-|x-3|a恒成立,等價(jià)于a|x-4|-|x-3|min=-1.a-1.(3)|x-4|+|x-3|a的解集為,即不存在x使不等式成立,a1.(4)|x-4|+|x-3|a的解集為r,即不等式恒成立,等價(jià)于|x-4|+|x-3|mina,即a1.講練互動(dòng)【例1】解不等式:2|3x-1|4.分析:可以利用|ax+b|c型和|ax+b|c型不等式的解法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,或者利用數(shù)形結(jié)合法.解:原不等式等價(jià)于-1x-或1x.原不等式的解集為x|-1x-或1x.綠色通道 本題題型為“公式型”,即轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式或不等式組求解,并在數(shù)軸上取交集.變式訓(xùn)練1.求不等式4|3x-2|8的解集.解:原不等式等價(jià)于43x-28或-83x-2-4,解之,得2x或-2x-.原不等式的解集為x|2x或-2x-.【例2】求不等式|5x-x2|6的解集.分析:可以利用|x|a的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后解一元二次不等式,取交集可得結(jié)果.解:原不等式等價(jià)于|x2-5x|6,即-6x2-5x6,由得x3或x2,由得-1x6.原不等式的解集為x|x3或x2x|-1x6=x|-1x2或3x6.綠色通道 將不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組,從而解出.變式訓(xùn)練2.解不等式|x2-2x|3.解:由|x2-2x|3得-3x2-2x3,由知(x-1)2+20恒成立;由得-1x3.原不等式組的解集為x|-1x3.【例3】解不等式|x+2|+|x-3|8.分析:本題可以用分段討論法或數(shù)形結(jié)合法求解.對(duì)于形如y=|x+a|+|x+b|的等式,可以看作分段函數(shù).解法一:設(shè)數(shù)軸上與-2,3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為a、b,那么a、b兩點(diǎn)間的距離為5,因此區(qū)間-2,3內(nèi)的數(shù)都不是不等式的解.設(shè)在a點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)a1到a、b兩點(diǎn)的距離之和為8,a1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x.-x-2+3-x=8,得x=-.同理,設(shè)b點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)b1,到a、b兩點(diǎn)的距離之和為8,b1對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x,x+2+x-3=8.x=.從數(shù)軸上可看到,點(diǎn)a1、b1之間的點(diǎn)到a、b距離之和都小于8,點(diǎn)a1的左邊或點(diǎn)b1的右邊的任何點(diǎn)到a、b距離之和都大于8,原不等式的解集為(-,-,+).解法二:當(dāng)x-2時(shí),原不等式可化為-(x+2)-(x-3)8,得x-;當(dāng)-2x3時(shí),原不等式可化為(x+2)-(x-3)8,不成立;當(dāng)x3,原不等式可化為(x+2)+(x-3)8,得x.綜上,原不等式的解集為x|x-或x.綠色通道 用數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是找到一些特殊的點(diǎn)a、b、a1、b1;用分段討論要做到不重不漏,注意端點(diǎn)是否適合.變式訓(xùn)練3.解不等式|x+1|+|x|7.解法一:數(shù)軸上與-1,0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為a、b,兩點(diǎn)間的距離為1.由圖可知,線段ab上的點(diǎn)的坐標(biāo)不適合不等式.設(shè)a點(diǎn)的左邊一點(diǎn)a1的坐標(biāo)為x,滿足-1-x+(-x)=7,得x=-4.同理,設(shè)b點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)b1的坐標(biāo)為x,滿足x-(-1)+x=7,得x=3.點(diǎn)a1的左邊或點(diǎn)b1的右邊的任何點(diǎn)到a、b距離之和都大于7.原不等式的解集為(-,-4)(3,+).解法二:當(dāng)x-1時(shí),原不等式等價(jià)于-1-x-x7,即x-4.當(dāng)-1x0時(shí),原不等式等價(jià)于x+1-x7不成立.當(dāng)x0時(shí),原不等式等價(jià)于x+1+x7,x3.綜上,原不等式的解集為(-,-4)(3,+).【例4】解不等式|x+3|-|2x-1|+1.分析:本題含有兩個(gè)絕對(duì)值號(hào),可根據(jù)各絕對(duì)值的零點(diǎn)分段討論.解:當(dāng)x-3時(shí),原不等式化為-x-3+2x-1+1,即x10,x-3.當(dāng)-3x時(shí),原不等式化為x+3+(2x-1)+1,即x-,-3x-.當(dāng)x時(shí),原不等式化為x+3-(2x-1)+1,即x2,x2.綜上,原不等式的解集為x|x-3x|-3x-x|x2=x|x-或x2.綠色通道 對(duì)于含有多個(gè)絕對(duì)值號(hào)的絕對(duì)值不等式,常常根據(jù)各絕對(duì)值的零點(diǎn)進(jìn)行分段討論,最后再求并集,分段時(shí)注意做到不重不漏.變式訓(xùn)練4.解不等式|2x+1|+|3x-2|2x+5.解:當(dāng)x-時(shí),原不等式等價(jià)于-2x-1-(3x-2)2x+5,即x-,-x-.當(dāng)-x時(shí),原不等式等價(jià)于2x+1-(3x-2)2x+5,即x-,-x.當(dāng)x時(shí),原不等式等價(jià)于2x+1+3x-22x+5,即x2,x2.綜上,原不等式的解集為x|-x-x|-xx|x2=x|-x2.5.(2007高考寧夏卷,22c)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|.(1)解不等式f(x)2;(2)求函數(shù)y=f(x)的最小值.解:(1)令y=|2x+1|-|x-4|,則y=作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象,它與直線y=2的交點(diǎn)為(-7,2)和(,2).所以|2x+1|-|x-4|2的解集為(-,-7)(,+).(2)由函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象可知,當(dāng)x=-時(shí),y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-.教材鏈接p7思考1.你能總結(jié)出解不等式|x-a|+|x-b|c(ab)的基本思路嗎?進(jìn)一步地,如何解|x-a|+|x-b|c呢?答:解這兩個(gè)不等式都有兩種方法:(1)數(shù)形結(jié)合法;(2)分段討論法.(1)數(shù)形結(jié)合法:在數(shù)軸上找到以a、b為坐標(biāo)的點(diǎn)a、b,則a、b間的距離為b-a,則數(shù)軸上任意一點(diǎn)p到a、b兩點(diǎn)的距離之和都大于等于b-a,即|pa|+|pb|ab|=b-a.當(dāng)b-ac時(shí),|x-a|+|x-b|c的解集為r,|x-a|+|x-b|c的解集為.當(dāng)b-ac時(shí),可在a的左邊找到一點(diǎn)a1,使|a1a|+|a1b|=c,在b的右邊也