蘇教版選修44 4.4.4　平擺線與圓的漸開線 學(xué)案.doc

4.4.4平擺線與圓的漸開線1了解平擺線、圓的漸開線的生成過程，能導(dǎo)出它們的參數(shù)方程2在欣賞曲線美的同時，體會參數(shù)方程在曲線研究中的地位3體會“參數(shù)”思想在處理較為復(fù)雜問題時的優(yōu)越性基礎(chǔ)初探1平擺線(1)如圖447所示，假設(shè)a為圓心，圓周上的定點為p，開始時位于o處，圓(半徑為r)在直線上滾動時，點p繞圓心做圓周運動，轉(zhuǎn)過(弧度)角后，圓與直線相切于b，線段ob的長等于的長，即obr.這就是圓周上的定點p在圓a沿直線滾動過程中滿足的幾何條件我們把點p的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線圖447(2)以定直線為x軸，點o為原點建立直角坐標(biāo)系，則定點p(x，y)的參數(shù)方程為(為參數(shù))2圓的漸開線有一條鋼絲緊箍在一個半徑為r的圓盤上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開鋼絲，并使撒開的部分成為圓盤的切線，我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓思考探究1用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？【提示】用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參其中關(guān)鍵是選參，若題目沒有明確要求化為普通方程(或需判斷曲線的形狀和位置)，則可以用曲線的參數(shù)方程作為答案2圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？【提示】根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)是指繩子外端運動時，半徑ob相對于ox轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的aob即是角.顯然點p由參數(shù)惟一確定在我們解決有關(guān)問題時可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡單質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_擺線已知一個圓的擺線過一定點(1,0)，請寫出該擺線的參數(shù)方程【自主解答】根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式(為參數(shù))可知，只需求出其中的r，也就是說，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來確定，因此只需把點(1,0)代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式令r(1cos )0可得cos 1，所以2k(kz)代入可得xr(2ksin 2k)1.所以r.又根據(jù)實際情況可知r是圓的半徑，故r0.所以，應(yīng)有k0且kz，即kn.所以，所求擺線的參數(shù)方程是(其中為參數(shù)，kn)再練一題1已知一個圓的平擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該平擺線的參數(shù)方程【解】令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kz)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因為x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kn)易知，當(dāng)k1時，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).圓的漸開線已知圓的漸開線的參數(shù)方程(為參數(shù))求出該漸開線的基圓的方程，當(dāng)參數(shù)取時，求對應(yīng)曲線上點的坐標(biāo)【思路探究】由圓的漸開線的參數(shù)方程形式可得r3，把代入即得對應(yīng)的坐標(biāo)【自主解答】，半徑為3.此漸開線的基圓方程為x2y29.把代入?yún)?shù)方程得即曲線上點的坐標(biāo)為(，3)圓的漸開線參數(shù)方程其中為參數(shù)再練一題2已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上兩點a、b對應(yīng)的參數(shù)分別是和，求a、b兩點的距離【導(dǎo)學(xué)號：98990038】【解】根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(為參數(shù))，分別把和代入，可得a、b兩點的坐標(biāo)分別為a(，)，b(，1)那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得a、b兩點的距離為ab.即a、b兩點之間的距離為.1若某圓的漸開線方程是(為參數(shù))，則此圓的方程是_，對應(yīng)0的點的坐標(biāo)是_，對應(yīng)的點是_【解析】圓的方程為x2y21，0的點的坐標(biāo)是(1,0)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(，1)【答案】x2y21(1,0)(，1)2擺線(02)與直線y1交點的直角坐標(biāo)為_【導(dǎo)學(xué)號：98990039】【解析】當(dāng)y1時，有2(1cos )1，cos ，又02，或，當(dāng)時，x；當(dāng)時，x.【答案】(，1)，(，1)3如圖448，abcd是邊長為1的正方形，曲線aefgh叫做“正方形的漸開線”，其中弧ae、ef、fg、gh的圓心依次按b、c、d、a循環(huán)，它們依次相連接，則曲線aefgh長是_圖448【解析】2 ，相加得5.【答案】54已知一個圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))那么圓的平擺線方程中與參數(shù)對應(yīng)的點a與點b之間的距離為_【解析】根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑