蘇教版選修44 4．1.3　球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系 學(xué)案.doc

41.3球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p8 1球坐標(biāo)系(1)在空間任取一點(diǎn)o作為極點(diǎn)，從o引兩互相垂直的射線ox和o 作為極軸，再規(guī)定一個(gè)長度單位和射線ox繞o 軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個(gè)球坐標(biāo)系(2)球坐標(biāo)系下點(diǎn)p的表示：設(shè)p為空間一點(diǎn)，用r表示op的長度，表示以o 為始邊，op為終邊的角，表示半平面xo 到半平面po 的角，則有序數(shù)組(r，)就是點(diǎn)p的球坐標(biāo)，這里r是矢徑，相當(dāng)于徑度，稱為余緯度(3)空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)互化公式：x2y2 2r2；xrsin_cos_；yrsin_sin_； rcos_.2柱坐標(biāo)系(1)在極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，增加垂直于此平面的o 軸，可得柱坐標(biāo)系(2)柱坐標(biāo)系下點(diǎn)p的坐標(biāo)：設(shè)p是空間一點(diǎn)，p在過o且垂直于o 軸的平面上的射影為q，取oq，xoq，qp ，那么點(diǎn)p的柱坐標(biāo)為有序?qū)崝?shù)組(， )(3)直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)互化公式：xcos_；ysin_； .對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p9直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的互化例1將點(diǎn)m的直角坐標(biāo)(1,1，)化為球坐標(biāo)思路點(diǎn)撥直接利用互化公式化為球坐標(biāo)精解詳析m的直角坐標(biāo)為(1,1，)，x1，y1， ，r24，tan 1，.由 rcos ，得2cos ，.點(diǎn)m的球坐標(biāo)為.由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時(shí)，可以利用r2x2y2 2，tan ，cos 來求解，需要特別注意的是在求和時(shí)，要先弄清楚點(diǎn)m所在的位置1將點(diǎn)m的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(x，y， )，則有點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(1,1，)2.一個(gè)正三棱柱abca1b1c1的底面邊長和高都等于6，上、下底面中心分別為o1，o.若以o為極點(diǎn)，射線oa為x軸，射線oo1為 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試求三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)解：abc的外接圓的半徑r2，oa1ob1oc14.所以，各頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為a(2，0,0)，b(，3,0)，c(，3,0)，a1(2，0,6)，b1(，3,6)，c1(，3,6)；各頂點(diǎn)的球坐標(biāo)分別為a，b，c，a1，b1，c1.柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2將點(diǎn)m的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)思路點(diǎn)撥利用直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)間的關(guān)系直接求解即可精解詳析由得故點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為.柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化時(shí)，常用2x2y2求，利用tan 求，在求時(shí)，需要特別注意角所在象限3將點(diǎn)m的直角坐標(biāo)(1,1,1)化為柱坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為(， )，則有解之得，.因此，點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為.4設(shè)點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)解：由坐標(biāo)變換公式得：故點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(，1,2)柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的應(yīng)用例3已知點(diǎn)p1的球坐標(biāo)是p1，p2的柱坐標(biāo)是p2，求線段p1p2的長思路點(diǎn)撥先將p1、p2的坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)距離公式求距離精解詳析設(shè)p1的直角坐標(biāo)為p1(x1，y1， 1)，則p1的直角坐標(biāo)為.設(shè)p2的直角坐標(biāo)為p2(x2，y2， 2)，則p2的直角坐標(biāo)為.p1p2.柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)問題可以統(tǒng)一化為直角坐標(biāo)問題來解決，直角坐標(biāo)是溝通柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)的橋梁5已知點(diǎn)m的球坐標(biāo)為，求它的柱坐標(biāo)解：由m的球坐標(biāo)知x4sincos42，y4sinsin2， 4cos2.m的直角坐標(biāo)為(2,2,2)，設(shè)m的柱坐標(biāo)為(， )，2x2y28，2.tan 1，.m的柱坐標(biāo)為.6設(shè)a的柱坐標(biāo)為，求它的球坐標(biāo)解：由題知a的直角坐標(biāo)為(1,1，)設(shè)a的球坐標(biāo)為(r，)，則r2，.又cos ，且0，.故a的球坐標(biāo)為.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p101把下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)，并在球坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)：(1)a(0,2,0)；(2)b(，3,2)；c解：(1)r2，故點(diǎn)a的球坐標(biāo)為.(2)r4，故點(diǎn)b的球坐標(biāo)為.(3)r ，故點(diǎn)c的球坐標(biāo)為.2若點(diǎn)m的柱坐標(biāo)為，試求點(diǎn)m的球坐標(biāo)解：設(shè)m的直角坐標(biāo)為(x，y， )，x2cos，y2sin1， 2.于是由球坐標(biāo)變換公式，得r2，cos ，cos ，從而，故點(diǎn)m的球坐標(biāo)為.3在球坐標(biāo)系中，求兩點(diǎn)p，q的距離解：將p，q兩點(diǎn)的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)：3sincos，3sinsin，3cos，點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為.3sincos，3sinsin，3cos，點(diǎn)q的直角坐標(biāo)為.pq，即p，q的距離為.4一個(gè)正六棱柱的邊長為3，高為4，以其底面中心為極點(diǎn)，經(jīng)過該面一個(gè)頂點(diǎn)的射線為ox軸，下底與上底中心連線所在射線為o 軸建立柱坐標(biāo)系，求其各頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)解：其下底各頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)分別為，上底各頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)分別為(其中 0,1,2,3,4,5)5在球坐標(biāo)系中，下列方程表示什么圖形？(1)r1；(2).解：(1)方程r1表示以原點(diǎn)o為球心，半徑為1的球面；(2)方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，半頂角為的圓錐面，它的軸為 軸6.在柱坐標(biāo)系中，長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為a1(4,0,5)，c1，如圖所示，求此長方體的外接球的體積解：由長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)為a1(4,0,5)，c1，可知oa4，oc6，oo15，則對(duì)角線長為，那么外接球的半徑為，體積為3.7一個(gè)圓形體育館，自正東方向起，按逆時(shí)針方向等分為十六個(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，十六區(qū)，我們?cè)O(shè)圓形體育場第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺(tái)的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置a，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把點(diǎn)a的坐標(biāo)求出來解：以圓形體育場中心o為極點(diǎn)，選取以o為端點(diǎn)且過正東入口的射線ox為極軸，在地面上建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)a與體育場中軸線o 的距離為203 m，極軸ox按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度為2.8 m，因此我們可以用柱坐標(biāo)來表示點(diǎn)a的準(zhǔn)確位置點(diǎn)a的柱坐標(biāo)為.8已知長方體abcda1b1c1d1的底面是邊長為1的正方形，高為，以這個(gè)長方體頂點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線ab，ad，aa1分別