蘇教版選修23 1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題 學(xué)案.docVIP

_1.4計(jì)數(shù)應(yīng)用題排列問(wèn)題例13個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排(1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開(kāi)，有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？(5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？思路點(diǎn)撥本題涉及限制條件，要優(yōu)先考慮有條件限制的元素或位置，相鄰問(wèn)題可采用捆綁法，不相鄰問(wèn)題可采用插空法精解詳析(1)(捆綁法)因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個(gè)整體，這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素，排成一排有a種不同排法對(duì)于其中的每一種排法，3個(gè)女生之間又有a種不同的排法，因此共有aa4 320種不同的排法(2)(插空法)要保證女生全分開(kāi)，可先把5個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空，這樣共有4個(gè)空，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有6個(gè)位置，再把3個(gè)女生插入這6個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰由于5個(gè)男生排成一排有a種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述6個(gè)位置中選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生插入有a種方法，因此共有aa14 400種不同的排法(3)法一：(特殊位置優(yōu)先法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有a種不同排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有a種排法，所以共有aa14 400種不同的排法法二：(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有a種不同的排法，從中扣除女生排在首位的aa種排法和女生排在末位的aa種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有aa種不同的排法，所以共有a2aaaa14 400種不同的排法法三：(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)讓3個(gè)女生排入，有a種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置又都有a種不同的排法，所以共有aa14 400種不同的排法(4)法一：因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排?，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有aa種不同的排法；如果首位排女生，有a種排法，這時(shí)末位就只能排男生，這樣可有aaa種不同的排法因此共有aaaaa36 000種不同的排法法二：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有a種排法，從中扣去兩端都是女生的排法有aa種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有aaa36 000種不同的排法(5)(順序固定問(wèn)題)因?yàn)?人排隊(duì)，其中兩人順序固定，共有20 160種不同的排法一點(diǎn)通(1)排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)位置，某個(gè)位置只能放某些元素等要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí)，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡)(2)對(duì)于某些特殊問(wèn)題，可采取相對(duì)固定的特殊方法，如相鄰問(wèn)題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問(wèn)題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中1(四川高考改編)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種解析：當(dāng)最左端排甲時(shí)，不同的排法共有a種；當(dāng)最左端排乙時(shí)，甲只能排在中間四個(gè)位置之一，則不同的排法共有ca種故不同的排法共有aca924216種答案：2162用5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中有且僅有一個(gè)奇數(shù)夾在兩個(gè)偶數(shù)之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)種解析：符合題意的五位數(shù)有aca233236.答案：363某天某班的課程表要排入數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育六門(mén)課程，如果第一節(jié)不排體育，第六節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一節(jié)課和第六節(jié)課的情況進(jìn)行分類；第一節(jié)課排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課排體育，共有a種排法；第一節(jié)課排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課不排體育，共有aa種排法；第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課排體育，共有aa種排法；第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第六節(jié)課不排體育，共有aa種排法由分類加法計(jì)數(shù)原理，所求的不同排法共有a2aaaa504(種)法二：(排除法)不考慮受限條件下的排法有a種，其中包括數(shù)學(xué)課在第六節(jié)的排法有a種，體育課在第一節(jié)的排法有a種，但上面兩種排法中同時(shí)含有數(shù)學(xué)課在第六節(jié)，體育課在第一節(jié)的情形有a種故所求的不同排法有a2aa504(種).分配問(wèn)題例2某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷，現(xiàn)要選派劃左舷的3人，劃右舷的3人，共6人參加比賽，則不同的選派方法有多少種？思路點(diǎn)撥既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷是特殊元素，可以從他們的參與情況入手分類討論精解詳析選派的3名會(huì)劃左舷的選手中，沒(méi)有既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的選手時(shí)，選派方法有cc種選派方法；選派的3名會(huì)劃左舷的選手中，有一人是既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的選手時(shí)，選派方法有ccc種選派方法；選派的3名會(huì)劃左舷的選手中，有兩人是既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的選手時(shí)，選派方法有cc種選派方法故共有ccccccc20601292種選派方法一點(diǎn)通(1)解決簡(jiǎn)單的分配問(wèn)題的一般思路是先選取，后分配(2)如果涉及的元素有限制條件，則一般以特殊元素，特殊位置為分類標(biāo)準(zhǔn)4將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)解析：分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有a種，所以滿足條件的分配方案有a36種答案：365將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有_種解析：先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有cc12種安排方案答案：126有9本不同的課外書(shū)，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本解：(1)分3步完成：第1步，從9本不同的書(shū)中，任取4本分給甲，有c種方法；第2步，從余下的5本書(shū)中，任取3本給乙，有c種方法；第3步，把剩下的書(shū)給丙有c種方法所以，共有不同的分法為ccc1 260種(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三組有ccc種方法；第2步，將分成的三組書(shū)分給甲、乙、丙三個(gè)人，有a種方法所以，共有ccca7 560種.排列組合的綜合應(yīng)用例3從1到9的9個(gè)數(shù)中取3個(gè)偶數(shù)和4個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：(1)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？(4)在(1)中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？思路點(diǎn)撥排數(shù)問(wèn)題和站隊(duì)問(wèn)題是排列、組合中的兩類典型問(wèn)題，其解決的思路相似，需考慮特殊元素、特殊位置、相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題等的處理方法精解詳析(1)分步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有c種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有c種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有a種情況，所以符合題意的七位數(shù)有cca100 800(個(gè))(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有ccaa14 400(個(gè))(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有ccaaa5 760(個(gè))(4)上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空，共有ccaa28 800(個(gè))一點(diǎn)通解決排列、組合綜合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：(1)按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步；(2)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類解決時(shí)通常從三個(gè)途徑考慮：以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列或組合數(shù)7將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有_種解析：標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有c種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有a種方法，共有ca18種答案：188某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲乙兩人至少有一人參加當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為_(kāi)解析：若甲乙同時(shí)參加，則可以先從剩余的5人中選出2人，先排此兩人，再將甲乙兩人插入其中即可，則共有caa種不同的發(fā)言順序；若甲乙兩人只有一人參加，則共有cca種不同的發(fā)言順序，綜合可得不同的發(fā)言順序有caacca600種答案：6009某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進(jìn)行檢測(cè)，直到4件次品全部測(cè)出為止若次品恰好在第6次檢測(cè)時(shí)被全部選出，則這樣的檢測(cè)方案有多少種？解：?jiǎn)栴}相當(dāng)于從9件產(chǎn)品中取出6件的一個(gè)排列，第6位為次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有4種方法，再?gòu)?件正品中取2件，有c種方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有a種方法，所以檢測(cè)方案種數(shù)為4ca4 800.解決排列組合問(wèn)題的常用方法(1)位置分析法：以位置為主，特殊(受限)的位置優(yōu)先考慮有兩個(gè)以上的約束條件時(shí)，往往是考慮一個(gè)條件的同時(shí)，也要兼顧其他條件考慮兩個(gè)條件之間是否有影響(2)元素分析法：以元素為主，先滿足特殊(受限)元素的要求，再處理其他元素有兩個(gè)以上的約束條件時(shí)，往往是考慮一個(gè)元素的同時(shí)，也要兼顧其他元素(3)間