蘇教版必修4 3.3 幾個三角恒等式 學(xué)案.docx

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解積化和差、和差化積、萬能公式的推導(dǎo)過程.2.掌握積化和差、和差化積、萬能公式的結(jié)構(gòu)特征.3.能利用所學(xué)三角公式進行三角恒等變換知識點一積化和差與和差化積公式思考1如何用sin()，sin()表示sin cos 和cos sin ？思考2若、，則如何用、表示、？梳理(1)積化和差公式sin cos _.cos sin _.cos cos _.sin sin _.(2)和差化積公式sin sin _.sin sin _.cos cos _.cos cos _.知識點二萬能代換公式思考結(jié)合前面所學(xué)倍角公式，能否用tan表示sin ？梳理萬能公式(1)sin .(2)cos .(3)tan .知識點三半角公式思考1我們知道倍角公式中，“倍角是相對的”，那么對余弦的二倍角公式，若用2替換，結(jié)果怎樣？思考2根據(jù)上述結(jié)果，試用sin ，cos 表示sin ，cos ，tan .思考3利用tan 和倍角公式又能得到tan 與sin ，cos 怎樣的關(guān)系？梳理半角公式(1)sin .(2)cos .(3)tan .特別提醒：(1)半角公式中，根號前面的符號由所在的象限相應(yīng)的三角函數(shù)值的符號確定(2)半角與倍角一樣，也是相對的，即是的半角，而是2的半角類型一積化和差與和差化積公式例1求下列各式的值(1)sin 37.5cos 7.5；(2)sin 20sin 40sin 80；(3)sin 20cos 70sin 10sin 50.反思與感悟在運用積化和差公式時，如果形式為異名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應(yīng)用sin()與sin()的和或差；如果形式為同名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應(yīng)用cos()與cos()的和或差跟蹤訓(xùn)練1化簡：4sin(60)sin sin(60)例2已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值反思與感悟和差化積公式對于三角函數(shù)式的求值、化簡及三角函數(shù)式的恒等變形有著重要的作用，應(yīng)用時要注意只有系數(shù)的絕對值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運用推論化成積的形式，如果是一正弦與一余弦的和或差，可先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后，再運用推論化成積的形式跟蹤訓(xùn)練2求sin220cos250sin 20cos 50的值類型二利用萬能公式化簡求值例3(1)已知cos ，并且180270，求tan 的值；(2)已知5，求3cos 24sin 2的值反思與感悟(1)萬能公式是三角函數(shù)中的重要變形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示為“單角”的正切的有理式的形式(2)萬能公式左右兩邊的角的取值范圍不同，在解三角函數(shù)方程時，要避免漏解跟蹤訓(xùn)練3已知tan3，求sin 22cos2的值類型三三角恒等式的證明例4求證：.反思與感悟證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證對恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法跟蹤訓(xùn)練4證明：tan .1若cos ，(0，)，則cos 的值為_2已知，且cos cos ，則cos()_.3已知sin cos ，450540，則tan _.4化簡：(0)1本節(jié)重點學(xué)習(xí)了積化和差公式、和差化積公式及萬能公式等，一定要清楚這些公式的形式特征同時要理解公式間的關(guān)系，立足于公式推導(dǎo)過程中記憶公式2三角恒等式的證明類型(1)絕對恒等式：證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，通過三角恒等變換，使等式的兩邊化異為同(2)條件恒等式：條件恒等式的證明要認真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)耐緩剑Ｓ么敕?、消元法、兩頭湊法答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1sin()sin()2sin cos ，即sin cos sin()sin()同理得cos sin sin()sin()思考2，.梳理(1)sin()sin()sin()sin()cos()cos()cos()cos()(2)2sin cos2cossin2coscos2sinsin知識點二思考sin 2sin cos ，即sin .知識點三思考1結(jié)果是cos 2cos2112sin2cos2sin2.思考2cos2，cos ，同理sin ，tan .思考3tan，tan .梳理(1)(2)(3)題型探究例1解(1)sin 37.5cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).(2)sin 20sin 40sin 80cos 60cos(20)sin 80sin 80sin 80cos 20sin 80(sin 100sin 60)sin 80sin 80.(3)sin 20cos 70sin 10sin 50sin 90sin(50)cos 60cos(40)sin 50cos 40.跟蹤訓(xùn)練1解原式2sin cos 120cos(2)2sin sin 2sin cos 2sin sin 3sin sin 3.例2解因為cos cos ，所以2sin sin .又因為sin sin ，所以2cos sin .因為sin 0，所以由得tan ，即tan .所以sin().跟蹤訓(xùn)練2解原式(sin 20cos 50)2sin 20cos 50(2sin 30cos 10)2(sin 70sin 30)cos210cos 20cos 20.例3解(1)180270，90135，tan 0.cos ，tan2 4，tan 2.(2)5，5，tan 2.又cos 2，sin 2，3cos 24sin