華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)教材(六年級(jí)上)第05講長方體和正方體.doc

本系列共 14 講第五講 長方體和正方體. 文檔貢獻(xiàn)者：winner_d1975長方體和正方體在立體圖形中是較為簡(jiǎn)單的，也是我們較為熟悉的立體圖形如下圖，長方體共有六個(gè)面（每個(gè)面都是長方形），八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱。在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等（疊放在一起能夠 完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形兩個(gè)全等圖形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊也相等）長方體的表面積和體積的計(jì)算公式是： 長方體的表面積：S 長方體2（abbcac）； 長方體的體積：V 長方體abc正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形如果它的棱長為 a，那么：23S正方體 =6 a，V正方體 = a例 1 有一個(gè)長方體，它的底面是一個(gè)正方形，它的表面積是 190 平方厘米，如果用一個(gè)平行于底面的平面將它截成兩個(gè)長方體，則兩個(gè)長方體表面積的和 為 240 平方厘米，求原來長方體的體積解：設(shè)原來長方體的底面邊長為 a 厘米，高為 h 厘米，則它被截成兩個(gè)長方體后，兩個(gè)截面的面積和為 2 a2 平方厘米，而這也就是原長方體被截成兩個(gè)長方體的表面積的和比原長方體的表面積所增加的數(shù)值，因此，根據(jù)題意有：1902 a2 240，可知， a2 25，故 a5（ 厘 米 ）又因?yàn)?2 a2 4ah190，解得h = 190 2 25 =7（厘米）4 5所以，原來長方體的體積為：V a2 h257175（立方厘米）例 2 如下圖，一個(gè)邊長為 3a 厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)截口是邊長為 a 厘米的正方形的長方體（都和對(duì)面打 通）如果這個(gè)鏤空的物體的表面積為 2592 平方厘米，試求正方形截口的邊長。解：原來正方體的表面積為：63a3a69 a2 （平方厘米）六個(gè)邊長為 a 的小正方形的面積為：6aa6 a2 （平方厘米）；挖成的每個(gè)長方體空洞的側(cè)面積為：3aa412 a2 （平方厘米）；三個(gè)長方體空洞重疊部分的校長為 a 的小正方體空洞的表面積為：aa44 a2 （平方厘米）根據(jù)題意：69 a2 6 a2 3（12 a2 4 a2 ）2592，化簡(jiǎn)得：54 a2 6 a2 24 a2 2592，解得 a2 36（平方厘米），故 a6 厘米 即正方形截口的邊長為 6 厘米例 3 有一些相同尺寸的正方體積木，準(zhǔn)備在積木的各面上粘貼游戲所需的 字母和數(shù)目字但全部積木的表面總面積不夠用，還需增加一倍，請(qǐng)你想辦法，在不另添積木的情況下，把積木的各面面積的總和增加一倍。解：把每一塊積木鋸三次，鋸成 8 塊小立方體（如上圖）這樣，每鋸一次 便得到兩個(gè)大截面，使表面積增加 1 （倍），鋸三次使截面增加 3 1 =1（ 倍 ），33因此全部小積木的表面總面積就比原積木表面總面積增加了一倍。例 4 有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別為 4 米、3 米、2 米 ，把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水中，兩個(gè)水池的水面分別升高了 4 厘米 和 11 厘米如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池中，大水池水面將升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的體積就是投入水中的碎石體積。 沉入中、小水池中的碎石的體積分別是：330.040.36 立方米，220.110.44 立方米 它們的和是：0.360.440.8 立方米 把它們都沉入大池里，大池水面升高部分水的體積也應(yīng)當(dāng)是 0.8 立 方 米 ，而大池的底面面積是 4416 平方米，所以，大水池的水面升高：0.816=5（厘米）例 5 下圖是正方體的展開圖之一，當(dāng)用它組成立方體時(shí)，圖中的哪一邊與 帶記號(hào)的邊相接觸呢？解：對(duì)于這個(gè)問題，考慮將各面拼湊成正方體是一種方法，但如只考慮邊的連接會(huì)更簡(jiǎn)潔：首先和 G 連接，其次 H 和 I 連接，且 X、Y、Z 三點(diǎn)重合為 正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，因此與連接的是 K 邊例 6 下圖是正方體的 11 種展開圖和 2 種偽裝圖（即它們不是正方體的展開 圖）請(qǐng)你指出偽裝圖是哪兩個(gè)？解：無論哪一個(gè)圖中都有六個(gè)小正方形，都好像有道理，但當(dāng)我們把相鄰 兩邊逐一拼合后，不能變成正方體的是（10）和（12），這兩個(gè)圖形，都是有五 面在拼合時(shí)不成問題，但是最后一面總是擠在外面而成不了正方體例 7 如下面的各圖中均有若干個(gè)六面體，每小題圖中的幾個(gè)六面體上 A、B、 C、D、E、F 六個(gè)字母的排列順序完全相同（即每個(gè)小題中六面體上刻字母的方 式是完全一樣的）試判斷各小題的圖中 A、B、C 三個(gè)字母的對(duì)面依次是哪幾個(gè)字母？解 ：（ 1）由圖中可知，A 與 B、C、E、F 都相鄰，故 A 的對(duì)面是 D。E、F 的 位置可按右手關(guān)系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右圖所示，讓四指方 向從 A 轉(zhuǎn)動(dòng)而指向 F，此時(shí)大拇指正好指向 E（向上）。如果，判斷為 F 在 C 對(duì) 面，由（1）中左圖所示，讓四指的方向從 A 向 F，此時(shí)大拇指指向 B，與（1） 中右圖矛盾，故 F 在 B 的對(duì)面，E 在 C 的對(duì)面。（2）（6）按 A、B、C 順序給出對(duì)面的字母：（2）E、D、F；（ 3）F、E、D；（ 4）D、F、E；（5）E、D、F；（ 6）F、E、D例 8 有一塊正方體的蛋糕用刀子將它一刀切成兩半，為了使切口成正六 邊形，應(yīng)該怎樣切呢？解：一般地，按照平常習(xí)慣的切法切下去，得到的切口成為上圖中（1）的正方 形或者像（2）、（ 3）那樣的長方形如果斜切下去時(shí)樣子就不一樣了，比如像（4）那樣，以打算切的頂點(diǎn)作一方，將不相鄰的某一邊的中點(diǎn)作另一方，沿它的連接線來切，切口變成菱形如果再進(jìn)一步，連接相鄰邊的中點(diǎn)，沿著它的連線來切，如上圖中（5）所 示，因?yàn)榍锌诘母鬟叾际沁B接邊和邊的中點(diǎn)的直線，所以長度都相等，相鄰邊 夾角也相等，邊數(shù)是六，故是正六邊形。習(xí)題五一、填空題：1一塊矩形紙板，長 8 厘米，寬 6 厘米，把它折成底面為正方形的長方體的側(cè)面，則這個(gè)長方體的底面面積為平方厘米2有一個(gè)棱長為 6 厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長是 2 厘米的正方體若干塊，表面積增加了平方厘米3把一根 2 米長的方木鋸成兩段，表面積增加 288 平方厘米，原來這根方木的體積是立方厘米4把棱長為 a 厘米的兩個(gè)正方體拼成一個(gè)長方體，長方體的表面積是5把棱長 1 厘米的正方體 2100 個(gè)，堆成一個(gè)實(shí)心的長方體，它的高是 10厘米，長和寬都大于高，這個(gè)長方體的長與寬的和是厘米二、選擇題：1一個(gè)正方體的體積是 343 立方厘米，它的全面積是平方厘米（A）42 （B）196 （C）294 （D）3922把棱長為 3 分米的正方體鋸成兩個(gè)長方體，這兩個(gè)長方體表面積的和是平方分米（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不對(duì)3如下圖，一個(gè)木制的正方體的棱長為 2 分米，每個(gè)面的正中有一個(gè)正方 形的孔通到對(duì)邊，邊長為 1 分米，孔的各棱平行于正方體相對(duì)的棱，那么這個(gè)鏤空幾何體的總表面積的平方分米數(shù)是（A）24 （B）30 （C）36 （D）424如下頁圖立方體的每個(gè)角都被切下去（圖中僅畫了兩個(gè)）問所得到的幾何體有條棱？（A）24（B）30 （C）36 （D）425立方體各面上的數(shù)字是連續(xù)的整數(shù)（如圖）如果每對(duì)對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和相等，那么，這三對(duì)數(shù)的和是。（A）75 （B）76 （C）78 （D）81 三、解答題：1一個(gè)木盒從外面量長 10 厘米，寬 8 厘米，高 5 厘米，木板厚 1 厘米問做這個(gè)木盒最少需要 1 厘米厚的木板多少平方厘米？這個(gè)木盒的容積是多 少立方厘米？2將一個(gè)長 9 厘米，寬 8 厘米，高 3 厘米的長方體木塊鋸成若干個(gè)小正方 體（鋸痕寬度忽略不計(jì)），然后再拼成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的表面積 3一個(gè)邊長為 6 厘米的正方體鐵盒裝滿了水，將水倒入一個(gè)長 9 厘米，寬8 厘米的長方形水槽內(nèi)，若鐵皮厚度不計(jì)，求水深4把 19 個(gè)邊長為 2 厘米的正方體重疊起來，作成如下圖那樣的組合形體， 求這個(gè)組合形體的表面積5將表面積為 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔鑄成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗）求這個(gè)大正方體的體積和表面積6用字母標(biāo)出一個(gè)正方體的各面，下圖中是三個(gè)不同方位的這一個(gè)正方體 ， 問字母 A、B、C 的對(duì)面是什么字母？7下圖是一個(gè)正方體及其兩個(gè)展開圖這個(gè)正方體還有九種不同的展開圖（下圖