蘇教版必修2 1.2.1平面的基本性質(zhì) 教案.doc

1.2.1平面的基本性質(zhì)從容說(shuō)課立體幾何課程是初等幾何教育的內(nèi)容之一，是以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計(jì)算以及它們的應(yīng)用為研究對(duì)象，以演繹法為研究方法.通過(guò)立體幾何的教學(xué)，可以使學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù).平面的基本性質(zhì)是通過(guò)三條公理及其重要推論來(lái)刻畫的，通過(guò)這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升到分析思維，使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間.本課是以平面的概念和三條公理為主要內(nèi)容，前面已經(jīng)對(duì)空間幾何體有了一定的了解，教學(xué)時(shí)可以借助棱柱、圓柱等幾何模型通過(guò)實(shí)物操作，以類比的方式抽象出“平面”的概念，并運(yùn)用正遷移規(guī)律，將直線的無(wú)限延伸性類比于平面的無(wú)限延展性，突破教學(xué)難點(diǎn).對(duì)于用字母表示點(diǎn)、直線、平面三者間的關(guān)系的教學(xué)，應(yīng)指明是借用了集合語(yǔ)句，并用列表法將這些關(guān)系歸類，以便作為初學(xué)者的學(xué)生便于比較、記憶和運(yùn)用.對(duì)于平面基本性質(zhì)的三條公理的教學(xué)，因?yàn)槠涫恰肮怼保瑹o(wú)需證明，教學(xué)中可以以系列設(shè)問(wèn)結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證.其中對(duì)于公理1的教學(xué)應(yīng)以直線的“直”和“無(wú)限延伸”來(lái)刻畫平面的“平”和“無(wú)限延展”，同時(shí)應(yīng)該明確它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法;對(duì)于公理2的教學(xué)要抓住平面在空間的無(wú)限延展特征來(lái)講，同時(shí)應(yīng)該明確公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法;對(duì)于公理3的教學(xué)應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”.通過(guò)三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解，同時(shí)應(yīng)該明確公理3是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法.對(duì)于公理中的“有且只有一個(gè)”的含義要分兩部分理解，“有”說(shuō)明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論證.另外，也可從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀形象，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解，并通過(guò)系列設(shè)問(wèn)，幫助學(xué)生漸次展開思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作用.教學(xué)重點(diǎn)1.空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系的文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言表示.2.平面的基本性質(zhì)的三條公理及其作用.3.公理3中“有且只有一個(gè)”的含義的理解.教學(xué)難點(diǎn)1.平面的無(wú)限延展性的理解.2.符號(hào)語(yǔ)言的正確使用.3.對(duì)于公理3中“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、棱柱、圓柱等幾何模型、打印好的作業(yè).課時(shí)安排1課時(shí)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.了解平面的概念,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言表示空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.2.了解平面的基本性質(zhì)的三條公理，并能用其解釋一些生活中的具體問(wèn)題.3.通過(guò)由模型示范抽象出“平面”概念以及到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)學(xué)生觀察能力與空間想象能力.4.通過(guò)對(duì)三個(gè)公理的文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的互譯，培養(yǎng)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言水平.二、過(guò)程與方法1.通過(guò)師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的互相交流，使學(xué)生習(xí)慣于共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn).2.通過(guò)通俗意義上的平面到數(shù)學(xué)意義上的平面的學(xué)習(xí)，了解具體與抽象、特殊與一般的辯證關(guān)系，由點(diǎn)、直線、平面間內(nèi)在的聯(lián)系逐漸形成“事物總是運(yùn)動(dòng)變化”的辯證觀點(diǎn).三、情感態(tài)度與價(jià)值觀借助模型和實(shí)物來(lái)說(shuō)明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，通過(guò)三條公理的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀點(diǎn)，培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課(多媒體播放平靜的湖面、廣闊的草原、大漠裊裊炊煙升起的畫面，兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖就固定一扇門的圖片、車旁只安裝一只撐腳停放的圖片，組織學(xué)生欣賞，并顯示如下問(wèn)題)問(wèn)題1:平靜的湖面、廣闊的草原、大漠裊裊炊煙升起的畫面會(huì)給你留下怎樣的印象?問(wèn)題2:用兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖就可以固定一扇門、有的自行車旁只安裝一只撐腳等生活現(xiàn)象的理論依據(jù)是什么?問(wèn)題3:如何形象直觀地在紙上表示平面?如何表示點(diǎn)與直線、直線與平面的位置關(guān)系?(組織學(xué)生思考)師要解決以上問(wèn)題，需要掌握一定的立體幾何知識(shí)，這就是我們后面將要學(xué)習(xí)的知識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，我們先來(lái)研究它們的基礎(chǔ)知識(shí).(引入新課，書寫課題平面的基本性質(zhì))推進(jìn)新課(一)平面的概念、記法及表示師在剛才欣賞的圖片中，我們發(fā)現(xiàn)平靜的湖面、廣闊的草原、大漠裊裊炊煙升起的畫面這些生活畫面都會(huì)給我們以平面的形象.我們可以從中抽象出一個(gè)幾何概念，那就是平面.(師介紹平面的概念、表示、以及記法)1.平面的概念:平面是現(xiàn)實(shí)世界存在著的客觀事物形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念.2.平面的圖形表示通常畫平行四邊形來(lái)表示平面如圖(1)，并把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng).當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮部分的線段畫成虛線或不畫如圖(2)，也可用其他平面圖形(例如三角形、圓等)表示平面. (1) (2)(師投影顯示以上圖形，并演示畫法，生同步訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的作圖基本功)師我們已經(jīng)明確了平面的概念，也能很容易地畫平面的圖形，那么如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示它們呢?(生思考，師介紹平面的符號(hào)表示)3.平面的符號(hào)表示平面通常用希臘字母、來(lái)表示,也可以用表示平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來(lái)表示.師我們知道，從集合的角度來(lái)說(shuō)，直線可以看作是點(diǎn)的集合，平面可以看作是一系列直線的集合，那么，在空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系如何用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言來(lái)表示呢?(生思考，師生共同探究空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號(hào)、圖形表示)師如何用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言來(lái)表示空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系?(師展示長(zhǎng)方體模型，組織學(xué)生觀察、探究空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系)師請(qǐng)同學(xué)們觀察右圖所示的長(zhǎng)方體，完成如下表格.(師生共同討論完成)空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示:位置關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)p在直線ab上pab點(diǎn)c不在直線ab上cab點(diǎn)m在平面ac內(nèi)m平面ac點(diǎn)a1不在平面ac內(nèi)a1 平面ac直線ab與直線bc交于點(diǎn)babbc=b直線ab在平面ac內(nèi)ab平面ac直線aa1不在平面ac內(nèi)aa1平面ac【例1】 已知命題:10個(gè)平面重疊起來(lái)，要比5個(gè)平面重疊起來(lái)厚;有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50 m，寬是20 m;黑板面是平面;平面是絕對(duì)的平，沒(méi)有大小、沒(méi)有厚度，可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中正確的命題是_.(師多媒體顯示，生討論完成)師命題:平面是沒(méi)有厚度，當(dāng)兩個(gè)平面重合時(shí)只能看作是一個(gè)平面;命題:平面是無(wú)限延展的，因此平面沒(méi)有長(zhǎng)和寬;命題:黑板只是平面的一部分，不能認(rèn)為它就是數(shù)學(xué)中所研究的平面;命題所描述的正是我們數(shù)學(xué)中所研究的平面的概念.故正確的命題只有.師直線是沒(méi)有長(zhǎng)短、粗細(xì)且無(wú)限延伸的;平面是沒(méi)有邊界，沒(méi)有厚薄之分，沒(méi)有質(zhì)量，沒(méi)有任何物理的、化學(xué)的屬性的抽象的概念.它是把三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形的主要媒介，在空間問(wèn)題中平面化的過(guò)程具有重要的橋梁作用.【例2】 (1)一條直線可以將平面分成兩個(gè)部分，那么一個(gè)平面可以將空間分成幾個(gè)部分呢?(2)兩個(gè)平面可以將空間分成幾個(gè)部分呢?(多媒體顯示，師組織學(xué)生思考完成，并分別用圖形表示)(二)平面的三個(gè)基本性質(zhì)師平面都有哪些基本性質(zhì)呢?我們就來(lái)通過(guò)生活實(shí)例來(lái)探究一下平面的基本性質(zhì).請(qǐng)同學(xué)們拿出你的一枝筆，如果把桌面看作一個(gè)平面，把你的筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使你的筆所代表的直線上所有點(diǎn)都能在桌面上?(生嘗試探究，討論交流，抽象出公理1)公理1:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).(師組織學(xué)生將公理1分別用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表示出來(lái))如圖,.合作探究:公理1說(shuō)明了什么?它可以幫助我們解決哪些幾何問(wèn)題?(師生共同探究交流得出如下結(jié)論)知識(shí)拓展:公理1說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過(guò)直線的“直”來(lái)刻畫平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.師請(qǐng)同學(xué)們拿起一本書，把書本的一個(gè)角放在桌面上，如果我們分別把書本和桌面都看作一個(gè)平面的話，試問(wèn)這兩個(gè)平面是否就只有這一個(gè)公共點(diǎn)，如果還有其他公共點(diǎn)的話，它們和這個(gè)公共點(diǎn)有什么關(guān)系?(生討論交流，師結(jié)合學(xué)生的討論及時(shí)歸納總結(jié)抽象出公理2)公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.師請(qǐng)用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示公理2，并在教室內(nèi)尋找符合公理2的空間模型.(生討論完成，師板書公理2的符號(hào)語(yǔ)言表示式).師公理2說(shuō)明了空間中的什么問(wèn)題?它可以幫助我們解決哪些幾何問(wèn)題?(生思考，師適當(dāng)提示)師公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了在空間確定兩個(gè)平面交線的一種方法.師為什么當(dāng)一個(gè)人在學(xué)會(huì)走路之前總會(huì)有一段爬行的人生經(jīng)歷，同時(shí)也有一段拄著拐杖的人生歷程?在爬行與拄拐杖這兩件事情中是否隱含著什么數(shù)學(xué)理論呢?(生思考，師解釋，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并由此抽象出公理3)師由于小孩小的時(shí)候，小腦還沒(méi)有發(fā)育好，身體平衡能力還很差，不能很平穩(wěn)的用雙腳直立并行走，所以借助于一只手和兩個(gè)膝蓋來(lái)確定一個(gè)平面或用兩只手和一個(gè)膝蓋來(lái)支撐一個(gè)平面，來(lái)使身體在爬行過(guò)程中保持平衡.在老了的時(shí)候，身體的平衡能力也會(huì)下降，借助于拐杖來(lái)支起一個(gè)平面保持身體在行走過(guò)程中的平衡，這和自行車要裝一個(gè)撐腳的道理一樣，你能說(shuō)出其中的道理嗎?生可以，那就是三點(diǎn)確定一個(gè)平面.師回答得很好，你對(duì)你的回答還有要補(bǔ)充的嗎?(生思考)師不知同學(xué)們有沒(méi)有留意，自行車的撐腳一般都安裝在自行車的什么地方?生安裝在自行車的側(cè)面.師為什么不安裝在與自行車的后輪在同一直線的某一個(gè)地方呢?生那樣自行車就撐不起來(lái)了.師那么我們應(yīng)該怎樣完善剛才的結(jié)論呢?(生交流，抽象出公理3并用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示公理3，強(qiáng)調(diào)公理中的“不在同一條直線上”)公理3:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.師1.如何理解公理3中的“有且只有一個(gè)”?2.公理3總結(jié)了空間中怎樣的規(guī)律?它可以幫助我們解決哪些問(wèn)題?(師生討論交流，得出如下結(jié)論)師對(duì)于公理3中“有且只有一個(gè)”的含義:“有”是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一.不能僅用“只有一個(gè)”來(lái)替代“有且只有一個(gè)”，否則就沒(méi)有表達(dá)出存在性的含義.公理3提供了空間確定平面的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要途徑，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分利用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法.【例3】 下列敘述中正確的是()a.因?yàn)閜, q,所以pqb.因?yàn)閜, q,所以=pqc.因?yàn)閍b, cab,dab,所以cdd.因?yàn)閍b, ab,所以a()且b()(多媒體顯示，生討論完成)師直線可以看作是點(diǎn)的集合,平面可以看作是直線的集合，故點(diǎn)和直線之間只能用“、”表示，而不能用“、”表示，直線和平面之間只能用“、”表示，而不能用“、”表示.解析:本題主要考查點(diǎn)與直線的關(guān)系、點(diǎn)與平面的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系的符號(hào)表示以及對(duì)公理1、公理2的理解情況.命題a:pq表示錯(cuò)誤，直線和平面之間只能用“、”表示，而不能用“、”表示.命題b:線段pq也可以只是兩個(gè)端點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，其余的點(diǎn)均不在這兩個(gè)平面內(nèi).命題c:cd表示錯(cuò)誤.直線和平面之間只能用“、”表示，而不能用“、”表示.命題d:符合公理2,所以正確.(三)目標(biāo)檢測(cè)課本第23頁(yè)練習(xí).課堂小結(jié)(師組織學(xué)生圍繞以下三個(gè)問(wèn)題對(duì)本課進(jìn)行總結(jié))1.平面的概念、表示及記法.2.空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的圖形及符號(hào)表示.3.平面的三條性質(zhì)及用途.公理1為證明直線在平面內(nèi)提供了依據(jù).沒(méi)有特別說(shuō)明的“兩個(gè)平面”，以后均指不重合的兩個(gè)平面.兩個(gè)不重合的平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線.公理2為證明若干點(diǎn)共線提供了一條新的途徑.公理3中，“有且只有一個(gè)”的含義:“有”是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一.不能僅用“只有一個(gè)”來(lái)替代“有且只有一個(gè)”，否則就沒(méi)有表達(dá)出存在性的含義.布置作業(yè)課本第28頁(yè)習(xí)題1.2(1)第1、2、3題.板書設(shè)計(jì)1.2.1平面的基本性質(zhì)平面的圖形表示和符號(hào)表示平面的三條性質(zhì)例題解析與學(xué)生訓(xùn)練課堂小結(jié)與布置作業(yè)活動(dòng)與探究1.空間的三個(gè)平面可以將空間分成幾部分?四個(gè)平面呢?試分別制作模型加以說(shuō)明.2.列舉、搜集生活中與平面的三條性質(zhì)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題并用三個(gè)公理加以解釋.參考答案:1.當(dāng)三個(gè)平面平行時(shí)可以將空間分成四部分；當(dāng)其中兩個(gè)平面平行第三個(gè)平面和它們都相交時(shí)可以將空間分成六部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且只有一條交線時(shí)也可以將空間分成六部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且有三條交線時(shí)可以將空間分成七部分或八部分（圖略）2.略.習(xí)題詳解課本第28頁(yè)習(xí)題1.2(1)解答1.當(dāng)它們不交于同一點(diǎn)時(shí)，共面;當(dāng)它們交于同一點(diǎn)時(shí)，可能共面也可能不共面.2.不一定.當(dāng)四個(gè)交點(diǎn)不共面時(shí)，所得圖形就不是平面圖形.3.略.4.空間不共面的四個(gè)點(diǎn)能確定四個(gè)平面.5.由這三條直線中的任意兩條所確定的平面共有2個(gè).6.不能.因?yàn)閍d1和bb1是異面直線.7.如圖，在線段ad上取一點(diǎn)m，使am=a1e1,在線段ab上取一點(diǎn)n，使an=a1f1,連結(jié)me1、nf1,則四邊形aa1e1m、anf1a1均為平行四邊形.me1aa1,nf1aa1.me1nf1，從而四邊形mnf1e1為平行四邊mne1f1.又am=ce,cf=an,rtamnrtcef.mn=ef.同理可證me=nf,四邊形mnfe為平行四邊形.mn?ef.e1f1ef.8.解:如圖，連結(jié)bd,b1d1.e、f分別是cd、bc的中點(diǎn)，可得efbd.又bdb1d1,efb1d1.則ad1b1就是異面直線ad1和ef所成的角.又ab1=b1d1=ad1,ab1d1是等邊三角形.異面直線ad1和ef所成的角為60.9.ac、bd一定是異面直線.若ac、bd可以確定一個(gè)平面，則ab、cd共面，與已知矛盾.10.延長(zhǎng)c1m和cb交于p，延長(zhǎng)a1m和ab交于q，則直線pq就是平面a1c1m與平面abcd的交線.11.不一定是異面直線，可以借助于正方體的棱長(zhǎng)來(lái)解釋.12.(1)由e、f分別是ab、bc的中點(diǎn)，得efac，且ef=ac,同理ghac，且gh=ac，efgh,即四邊形為平行四邊形.(2)由已知得eh=bd,ef=ac,bd=ac,所以eh=ef.由(1)得四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形.(3)當(dāng)ac和bd垂直，且ac=bd時(shí),四邊形efgh是正方形.13.如圖,三棱錐abcd中，e、g分別是bc、ab的中點(diǎn),f在cd上,h在ad上,且有.求證:ef、gh、bd交于一點(diǎn).分析:要證明ef、gh、bd交于一點(diǎn)，可以先證明ef和bd交于一點(diǎn)，再證明ef和bd的交點(diǎn)在gh上，或證明gh過(guò)ef和bd的交點(diǎn).證明:連結(jié)fh、eg，,fhac，且fh=ac.又e、g分別是bc、ab的中點(diǎn),geac,ge=ac.于是gehf且gehf.四邊形eghf是梯形.gh與ef延長(zhǎng)線必相交，記其交點(diǎn)為p.pgh,gh平面abd,p平面abd.同理可證p平面bcd.平面abd平面bcd=bd,pbd.ef、gh、bd交于一點(diǎn).點(diǎn)評(píng):本題在證明過(guò)程中，先運(yùn)用題中已知條件證明gh、ef相交于點(diǎn)p，再找出兩個(gè)分別過(guò)這兩條直線且交線為bd的相交平面，進(jìn)而證明該點(diǎn)在交線上.這是我們證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用策略.證明點(diǎn)共線問(wèn)題時(shí)，可以先確定其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明其他直線過(guò)該點(diǎn)或該點(diǎn)在其他直線上。14.m、n、k三點(diǎn)共線.證明:因?yàn)閝p與bc的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)m,pq平面pqr,bc平面bcd，所以m平面pqr,m平面bcd.所以m在平面pqr與平面bcd的交線l上.同理可證n、k也在l上，所以m、n、k三點(diǎn)