蘇教版選修23 1.3 組 合(二) 學(xué)案.docx

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題.2.能解決有限制條件的組合問題.來源:中國教&育出%版網(wǎng)#知識(shí)點(diǎn)一組合的有關(guān)概念www.zz&st#ep.co*m一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù)，用符號(hào)c表示其公式為中國教育%出版網(wǎng)#*c(n，mn*，mn)特別地cc1.思考1滿足什么條件的兩個(gè)組合是相同的組合？答如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管它們的順序如何，就是相同的組合，否則就是兩個(gè)不相同的組合(即使只有一個(gè)元素不同)思考2組合數(shù)公式的兩種形式在應(yīng)用中如何選擇？答在具體選擇公式時(shí)要根據(jù)題目的特點(diǎn)正確選擇公式c常用于n為具體自然數(shù)的題目一般偏向于組合數(shù)的計(jì)算公式c常用于n為字母的題目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的證明來源#:*zzstep&.com知識(shí)點(diǎn)二組合應(yīng)用題的解法1無限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答www#.zzst%e*2有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有：直接法、間接法可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類題型一分組、分配問題例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：中國*教%育#出版&網(wǎng)(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；w*ww.zzstep.%co#m(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.解(1)先從6本書中選2本給甲，有c種選法；再從其余的4本中選2本給乙，有c種選法；最后從余下的2本書中選2本給丙，有c種選法；所以分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有ccc90(種).(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有ccc種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有a種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得：cccxa，所以x15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.(3)這是“不均勻分組”問題，一共有ccc60種方法.(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有ccca360種方法.(5)可以分為三類情況：“2.2.2型”即(1)中的分配情況，有ccc90種方法；“1.2.3型”即(4)中的分配情況，有ccca360種方法；“1.1.4型”，有ca90種方法.所以一共有9036090540種方法.反思與感悟“分組”與“分配”問題的解法：(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！；完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配.跟蹤訓(xùn)練1有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)，中國*#教育出&版網(wǎng)(1)共有多少種放法？(2)恰有1個(gè)盒不放球，有多少種放法？(3)恰有1個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？(4)恰有2個(gè)盒內(nèi)不放球，有多少種放法？解(1)一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每個(gè)球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步計(jì)數(shù)原理知，放法共有44256(種).www.zzs%t#(2)為保證“恰有1個(gè)盒子不放球”，先從4個(gè)盒子中任意拿去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2,1,1的三組，有c種分法；然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球，2個(gè)盒子，全排列即可.由分步計(jì)數(shù)原理知，共有放法ccca144(種).(3)“恰有1個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的3個(gè)盒子放剩下的2個(gè)球，而每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外3個(gè)盒子中恰有1個(gè)空盒.因此，“恰有1個(gè)盒子放2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒子不放球”是一樣的，故也有144種放法.(4)先從4個(gè)盒子中任意拿走2個(gè)，有c種拿法，問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，2個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”，從放球數(shù)目看，可分為(3,1)，(2,2)兩類：第1類，可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有cc種放法；第2類，有c種放法.因此共有ccc14(種).由分步計(jì)數(shù)原理得“恰有2個(gè)盒子不放球”的放法有c1484(種).題型二與幾何圖形有關(guān)的組合問題例2已知平面平面，在內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).來&%源:中教網(wǎng)(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)上述三棱錐中最多可以有多少個(gè)不同的體積？解(1)所作出的平面有三類：內(nèi)1點(diǎn)，內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，有cc個(gè).來&源:中教#*網(wǎng)內(nèi)2點(diǎn)，內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，有cc個(gè).，本身，有2個(gè).故所作的平面最多有cccc298(個(gè))，所以最多可作98個(gè)不同的平面.(2)所作的三棱錐有三類：中國*教&育出版網(wǎng)內(nèi)1點(diǎn)，內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，有cc個(gè).來*源:中%教#網(wǎng)內(nèi)2點(diǎn)，內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，有cc個(gè).內(nèi)3點(diǎn)，內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，有cc個(gè).最多可作出的三棱錐有：cccccc194(個(gè)).所以最多可構(gòu)成194個(gè)三棱錐.中*國教&%育#出版網(wǎng)(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高的情況下三棱錐體積才能相等.體積不相同的三棱錐最多有cccc114(個(gè))，所以最多有114個(gè)體積不同的三棱錐.中%國教育*出&版網(wǎng)反思與感悟解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，要善于利用幾何圖形的性質(zhì)和特征，充分挖掘圖形的隱含條件，轉(zhuǎn)化為有限制條件的組合問題.跟蹤訓(xùn)練2在mon的邊om上有5個(gè)異于點(diǎn)o的點(diǎn)，在邊on上有4個(gè)異于點(diǎn)o的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)(含o)為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？來%#&源*:中教網(wǎng)解方法一(直接法)分幾種情況考慮：o為頂點(diǎn)的三角形中，必須另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在om、on上，所以有cc個(gè)，o不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在om上，一個(gè)頂點(diǎn)在on上的有cc個(gè)，一個(gè)頂點(diǎn)在om上，兩個(gè)頂點(diǎn)在on上的有cc個(gè).因?yàn)檫@是分類問題，所以用分類計(jì)數(shù)原理，共有cccccc541045690(個(gè))三角形.中國教育出版*網(wǎng)&方法二也可以這樣考慮，把o看成是om邊上的點(diǎn)，先從om上的6個(gè)點(diǎn)(含o)中取兩點(diǎn)，on上的4點(diǎn)(不含o)中取一點(diǎn)，可得cc個(gè)三角形，再從om上的5點(diǎn)(不含o)中取一點(diǎn)，從on上的4點(diǎn)(不含o)中取兩點(diǎn)，可得cc個(gè)三角形，所以共有cccc1545690(個(gè))三角形.方法三(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問題，從10個(gè)不同元素中任取三個(gè)的組合數(shù)是c，但從om上的6個(gè)點(diǎn)(含o)中任取三點(diǎn)不能得到三角形，從on上的5個(gè)點(diǎn)(含o)中任取3點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到(ccc)個(gè)三角形，即ccc120201090(個(gè))三角形.題型三排列、組合的綜合應(yīng)用例3有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表.解(1)先選后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有cccc種，后排有a種，共(cccc)a5 400(種).(2)除去該女生后，先取后排，有ca840(種).(3)先選后排，但先安排該男生，有cca3 360(種).(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有c種，再安排該男生有c種，余下的3人全排有a種，共cca360(種).來源:中%#國教育出版&網(wǎng)反思與感悟解決有關(guān)排列與組合的綜合應(yīng)用問題尤其應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)審清題意，區(qū)分哪是排列，哪是組合；(2)往往綜合問題會(huì)有多個(gè)限制條件，應(yīng)認(rèn)真分析確定分類還是分步.跟蹤訓(xùn)練3有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？解方法一從0和1這個(gè)特殊情況考慮，可分三類：第1類：取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有c種方法；0可在后兩位，有c種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有c種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時(shí)可得不同的三位數(shù)有ccc22個(gè).來源:中國&教育出*版網(wǎng)第2類：取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)c22a個(gè).第3類：0和1都不取，有不同的三位數(shù)c23a個(gè).綜上所述，不同的三位數(shù)共有ccc22c22ac23a432(個(gè)).方法二任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)c23a個(gè)，其中0在百位的有c22a個(gè)，這是不合題意的，故不同的三位數(shù)共有c23ac22a432(個(gè)).中國%教育&出版網(wǎng)1.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_.答案72解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3，5；分為兩步：先從1，3，5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有c，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到a，則滿足條件的五位數(shù)有ca72.2.某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有_種.答案25解析分3類完成：男生甲參加，女生乙不參加，有c種選法；男生甲不參加，女生乙參加，有c種選法；兩人都不參加，有c種選法.所以共有2cc25種不同的選派方案.3.某學(xué)校開設(shè)a類選修課3門，b類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答).答案30解析分兩類，a類選修課2門，b類選修課1門，或者a類選修課1門，b類選修課2門，因此，共有cccc30種選法.4.