湖南省岳陽縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案+第一講+力和平衡.doc

湖南省岳陽縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案第一講 力和平衡知識要點：力學(xué)中常見的幾種力。摩擦力。彈性力。胡克定律。萬有引力定律。均勻球殼對殼內(nèi)和殼外質(zhì)點的引力公式（不要求導(dǎo)出）。共點力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。物體平衡的種類。物體相對于地球靜止或勻速直線運(yùn)動的狀態(tài)叫平衡；物體與物體之間的相互作用稱之為力；物體受力都要發(fā)生形變，在研究力對物體的運(yùn)動效應(yīng)之前，可把物體簡化為各點間距離保持不變的剛體。研究平衡系統(tǒng)的主要任務(wù)是：首先把平衡物體從其所在位置隔離出來，用力取代其它物體(或場)對它的作用，把它簡化為受力的平衡剛體；其次，研究作用在平衡剛體上的平衡力系，從基本的二力平衡原理出發(fā)，運(yùn)用矢量方法，導(dǎo)出它所滿足的平衡條件；然后針對具體問題，直接運(yùn)用相應(yīng)力系的平衡條件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，求出物體所受的全部未知力或平衡的幾何位置。一、矢量的運(yùn)算1、加法a b表達(dá)： + = 。名詞：為“和矢量”。法則：平行四邊形法則。如圖所示。和矢量大小：c = ，其中a為和的夾角。和矢量方向：在、之間，和夾角= arcsin2、減法表達(dá)： = 。名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。法則：三角形法則。如圖所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數(shù)時量的時量，即是差矢量。q 差矢量大?。篴 = ，其中為和的夾角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。對于曲線上矢量的合成也同樣可以進(jìn)行。如：已知質(zhì)點做勻速率圓周運(yùn)動，半徑為R ，周期為T ，求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。ABORvAvAvBv1v2vAvC解析：如圖所示，A到B點對應(yīng)T的過程，A到C點對應(yīng)T的過程。這三點的速度矢量分別設(shè)為、和。根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個差矢量 = ，= ，根據(jù)三角形法則，它們在圖中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然： = = = ，且： = = ， = 2= 所以：= = = ，= = = 。觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動是不是勻變速運(yùn)動？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 叉乘表達(dá)： = 名詞：稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。叉積的大?。篶 = absin，其中為和的夾角。意義：的大小對應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖所示。顯然，但有：= 點乘表達(dá)： = c名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標(biāo)量。點積的大?。篶 = abcos，其中為和的夾角。如功的定義為：W=FScosq二、力、剛體、五個靜力學(xué)公理1、力物體間的相互作用，是物體產(chǎn)生加速度和形變原因。力系是作用在物體上的一群力，根據(jù)其力的作用線在空間的幾何位置關(guān)系，分為空間、平面、匯交、平衡力系等。FF在研究力對剛體的運(yùn)動效應(yīng)時，由力的等效原理可知，力對剛體是滑移矢量，作用點沿力的作用線滑移。如如圖所示。注：力可沿一個剛體滑移，但不可從一個剛體滑移到另一個剛體上，也不要在一個變形體上滑移。2、剛體不因力的作用而發(fā)生形變的物體就叫做剛體。剛體是一種理想化的力學(xué)模型，實際生活中，當(dāng)物體因受力作用而發(fā)生形變足夠小時，以至忽略這種形變即不影響問題的正確解決，又能使解決的過程在為簡化，這時就能把該物體當(dāng)成剛體處理。3、五個靜力學(xué)公理二力平衡公理兩個力平衡的充分必要條件是：此二力作用于同一個剛體上，并且等大、反向、在同一條直線上。請注意，一定要：共物、等大、反向、同直線這四個條件缺一不可。增減平衡力系公理在作用于剛體的任何一個力系上，增加或減去一組平衡力系，原力系對物體的外效應(yīng)仍然不變。力的平衡四邊形定則用一個力等效地代替兩個或幾個力對物體的共同作用叫力的合成，將一個力化為等效的兩個或幾個力，叫力的分解。力的合成與力的分解遵循平行四邊形定則。牛頓第三定律兩個物體間的相互作用力，總是大小相等，方向相反，并且作用在同一條直線上。剛化公理如果可變形體在已知力系的作用下處于平衡狀態(tài)，則可將此受力物體看作剛體，其平衡不受影響。比如，彈簧就是常見一種典型的可變形物，當(dāng)它的兩端受到壓力(或拉力)時就會發(fā)生壓縮(或拉伸)形變，所加的這一對力等大、反向、共軸線時，彈簧必定穩(wěn)定在相應(yīng)的壓縮(或拉伸)狀態(tài)，并保持這種形變量不變，好象成了新形狀的剛體。彈簧秤就是憑借這種相應(yīng)的穩(wěn)定性來測力和示數(shù)的。三、幾種常見的力1、重力GG=mg，方向豎直向下。注意：豎直向下是指與當(dāng)?shù)氐撵o止水平面垂直的方向，也稱鉛垂線方向。實際上，重力是地球地物體引力的一個分力，另一個分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力。2、彈力N直接接觸的物體，在發(fā)生彈性形變時出現(xiàn)的力稱為彈力，方向和接觸面法線方向相同，作用點在兩個物體的接觸處。在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力與彈簧的形變(伸長量或壓縮量)成正比：F=-kx式中k為彈簧的勁度系數(shù)，由彈簧本身性質(zhì)決定(如匝數(shù)、材料及彈簧的幾何尺寸等)，負(fù)號表示彈簧彈力的方向與形變x的方向相反，彈簧伸長時x取正。3、摩擦力f摩擦力分為靜摩擦力和滑動摩擦力。是一個物體在另一個物體表面有相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢時，所產(chǎn)生的阻礙相對運(yùn)動或相對趨勢的力，方向沿接觸面的切線且阻礙相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢。滑動摩擦力的計算式：f=mN。其中N是正壓力，m是動摩擦因數(shù)，由接觸面的情況和材料決定。靜摩擦力的大小是可變的，范圍在0ffm之間。式中fm為最大靜摩擦力，fm=msN, m是最大靜摩擦力系數(shù)，略大于m，在沒有特別說明的情況下可以認(rèn)為相等。ajfmFFNfmNGjGsinj摩擦角：令摩擦系數(shù)m等于某一角j的正切值，即m=tanj，這個角j稱為摩擦角。在臨界摩擦(將要發(fā)生滑動)狀態(tài)下，fm/N=ms=tanj。若用fk表示滑動摩擦力，N表示正壓力，則滑動摩擦角為：j=arctan(fk/N)支持面作用下物體的沿接觸面法線方向的彈力N與最大靜摩擦力fm的合力F(簡稱全反力)與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角，如圖所示。右圖中，當(dāng)fm=Gsinj，即mGcosj=Gsinj時，m=tanj，此時j就是摩擦角。通常情況下，靜摩擦力f未達(dá)到最大值，即fsmsN，即fs/Nmstanj，因此接觸面反作用于物體的全反力F的作用線與面法線的夾角a=arctanfs/N，不能大于摩擦角，即aj，這可作為判斷物體不發(fā)生滑動的條件?！纠?】如圖所示，小木塊和水平地面之間的動摩擦因數(shù)為m，用一個與水平方面成多大角度的力拉著小木塊做勻速直線運(yùn)動最省力？Fa解析：NNABC【例2】如圖所示，兩塊固定的木板A、B之間夾著一塊長方體木塊C，C重6N，A、B對C的壓力大小都是N=10N，今對C施加一個外力F，將C從兩板間水平拉出，求F的大小和方向。已知C與A、B之間的滑動摩擦因數(shù)為0.4。解析：答案：大小為10N，方向與水平方向夾tan-10.75小結(jié)：涉及到二維或三維情況下的相對運(yùn)動，常用方法是根據(jù)相對運(yùn)動方向與滑動摩擦力方向相反的結(jié)論確定滑動摩擦力方向。wOOFm【例3】如圖所示，有一半徑為r的圓柱繞豎直軸OO以角速度w勻速轉(zhuǎn)動，如果用力F把質(zhì)量為m的物體壓在圓柱側(cè)面，能使物體以速度v勻速下滑，求物體m與圓柱面之間的滑動摩擦系數(shù)？(已知物體m在水平方向受光滑擋板的作用使之不能隨圓柱一起轉(zhuǎn)動)解析：v0【例4】一個質(zhì)量為m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平行長直圓柱上，如圖所示。鋼件的重心與兩柱等距，兩柱的軸線在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件與圓柱間的動摩擦因數(shù)為m=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線作轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動，角速度為w=40rad/s。若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為v0=0.050m/s的勻速運(yùn)動，推力是多大？設(shè)鋼件左右受光滑導(dǎo)槽限制(圖中未畫出)不發(fā)生橫向運(yùn)動。解析：四、共點力作用下物體平衡1、力的運(yùn)算法則所有的矢量都遵循平行四邊形定則。力的三角形定則：兩個矢量相加將兩個力首尾相連，連接剩余的兩個端點的線段表示合力的大小，合力的方向由第一個矢量的始端指向第二個矢量的末端；兩個矢量相減，將這兩個力的始端平移在一起，連接剩余的兩個端點的線段即為兩個力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被減矢量。2、平行力的合成與分解同向平行力的合成：兩個平行力FA和FB相距AB，則合力F的大小為FA+FB，作用點C滿足FAAC=FBBC的關(guān)系。反向平行力的合成：兩個大小不同的反向平行力FA和FB相距AB，則合力F的大小為FA-FB(FAFB)，作用點滿足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點力作用下物體平衡條件平衡條件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，F(xiàn)y=04、三力匯交原理若一個物體受三個非平行力而處于平衡狀態(tài)，則這三個力必為共點力。解決三力平衡問題常用的方法有：正交分解法；合成與分解法；相似三角形法；正弦定律法；圖解法等。SMN【例5】兩根長度相等的輕繩，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點，M、N兩點間的距離為S，如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為Tm，則每根繩長度不得短于多少？解析：【例6】如圖所示，一輕桿兩端固定兩個小球A和B，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m，輕繩長為L，求平衡時OA、OB分別為多長？(不計繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解析：qBAC 【例7】如圖所示，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，靜止在光滑的半球形容器中，設(shè)桿與水平方向的夾角為q，則容器在A點和B點給桿的支持力各多大？解析：參考答案：NAmgtanq；NB=Rr123【例8】如圖所示，三個相同的光滑圓柱體，半徑為r，堆放在光滑的圓柱面內(nèi)，試求下面兩個圓柱體不致分開時，圓柱面的半徑R應(yīng)滿足的條件。解析：答案：R(1+)r【例9】如圖所示，半徑為R的剛性球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長為2pa，a=R/2，繩圈的勁度系數(shù)為k，將繩圈從球的正上方輕放到球上，使其水平停留在某個靜力平衡位置，考慮重力，忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時繩圈長為2pb，b=a，求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示，g為重力加速度)O(2)設(shè)k=，求繩圈的最后平衡位置及長度。解析：答案：k= 2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩，記為M=FL。單位為：“牛米”。一般規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)。力矩的進(jìn)一步理解：力矩也是力使物體繞某點(軸)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的能量。力對點之矩是矢量如圖所示，力F對O點之矩，用矢量M0(F)表示，圖中r表示力F的作用點A的位置矢量，這個力矩矢量的大小為：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向：略力對軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講，力對軸之矩是一個沿軸向的矢量，在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性，把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線與軸相垂直時，邊力線作軸的垂直平面，如圖所示，力F對軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正。2、力偶由兩個等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個力，也是一個基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，這種轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小，由構(gòu)成該力偶的兩個力對某點(軸)之力矩和力偶矩M來量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件：M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點叫重心。計算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力對合力作用點的合力矩為零，則合力作用點為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=，yc=O1OO2【例10】如圖所示，飛輪重1500N，由實驗測得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點處，若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔，剩余部分重心將移動軸心O1，試求鉆去部分的重力。(答案：24N)解析：【例11】一個質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺階的旁邊，臺階的高度h是圓柱體半徑r的一半，如圖所示，圓柱體與臺階接觸處（如圖中P點）是粗糙的，現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開始以P為軸向臺階上滾動，求：OrAPh(1)所施力的最小值；(2)臺階對圓柱體的作用力的大小。參考答案：(1)2.45102N；(2)4.32102NAOECDO【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點A到球心O的距離為L，若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析：ABOab小結(jié)：由力矩平衡關(guān)系處理問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇，通常選擇未知又不需要求的力的作用點所在的軸為轉(zhuǎn)軸，這樣減小方程中未知量個數(shù)，簡化運(yùn)算?！纠?3】有一個水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面，其軸線通過O點，槽內(nèi)放著兩個半徑均為r的光滑圓柱體A、B，如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB，且r=R/3，求圓柱體A、B平衡時，OA線與豎直線間的夾角a是多少？解析：答案：a=tan-1【例14】如圖所示，一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長度相等，兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且不計鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi))，可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內(nèi)？試說明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg，BC棒的質(zhì)量為m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：【例15】如圖所示，一個半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為m），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解析：這是一個典型的力矩平衡的例題。答案： 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個完全相同的剛性長條薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的重量均可以不計，現(xiàn)將此六個薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起A6的距離，求此薄片A6B6中點所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析：答案：P=【例17】某水果店，所用的秤是量程為10kg的吊盤式桿秤?，F(xiàn)有一較大西瓜，超過此秤的量程。店員甲找到另一秤砣，與此桿秤秤砣完全相同，把它與原秤砣結(jié)在一起作為秤砣進(jìn)行稱量。平衡時，雙砣位于6.5kg刻度處，他將刻度乘以2得13kg，作為此西瓜的質(zhì)量，賣給顧客，店員乙對這種稱量結(jié)果表示懷疑，為了檢驗，他取另一西瓜，用單秤砣正常稱量得8kg，用店員甲的雙秤砣去稱量，示數(shù)為3kg，乘以2得6kg。這證明店員甲的辦法是不可靠的。試問，店員甲賣給顧客的那個西瓜實際質(zhì)量是多大？(9屆預(yù)賽試題)解析： 六、一般物體的平衡 穩(wěn)度1、物體平衡的種類可分為三種：(1)穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡，處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能增加。(2)不穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時，有一個力或力矩使它的偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡，處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時一般是勢能減小。(3)隨遇平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它能夠在新的位置上再次平衡，這樣的平衡叫隨遇平衡。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時勢能一般不變。2、浮體平衡的穩(wěn)定性WFAGWFBGB(a)(b)浮在流體表面的浮體，所受浮力與重力大小相等、方向相反，處于平衡狀態(tài)，浮體平衡的穩(wěn)定性，將因所受擾動方式的不同而異。顯然，浮體對鉛垂方向的擾動，其平衡是穩(wěn)定的，對水平方向的擾動，其平衡是隨遇的。浮體對于過質(zhì)心的水平對稱軸的旋轉(zhuǎn)擾動，其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定，以浮于水面的般體為例：當(dāng)船體向右傾斜(即船體繞過質(zhì)心的水平對稱軸轉(zhuǎn)動一小角度)時，其浮心B將向右偏離，浮力FB與重力W構(gòu)成一對力偶，力偶矩將促使船體恢復(fù)到原來的方位，如圖a所示?？梢姶w對這種擾動，其平衡是穩(wěn)定的。但如果船體重心G太高，船體傾斜所造成的力偶也可能促使傾斜加劇，這時船體的平衡就是不穩(wěn)定的，如圖b所示。3、穩(wěn)度123物體穩(wěn)定的程度。一般來講，使一個物體的平衡遭到破壞所需要的能量越多，這個平衡的穩(wěn)度就越高?！纠?8】如圖所示，三個直徑為重力相同的圓柱體垛在起，問圓柱體之間摩擦因數(shù)m最小為何值時，它們才不會滾散？(已知圓柱體與地面及圓柱體之間的摩擦因數(shù)相同)解析：【例19】用一根細(xì)線豎直懸掛一根長為L的均勻細(xì)木桿，置于水桶內(nèi)水平面上方，如圖所示，當(dāng)水桶緩慢上提時，細(xì)桿逐漸浸入水中，當(dāng)木桿浸入水中超過一定深度L時，木桿開始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象，求L。已知木桿的密度為r，水的密度為r0。解析：【例20】邊長為a的均勻立方體，對稱地放在一個半徑為r的圓柱面頂部，如圖所示。假設(shè)靜摩擦系數(shù)足夠大，足以阻止立方體下滑，試證物體穩(wěn)定的平衡條件為ra/2。rarCqqO解析：Lm1m2ABABFh【例21】用兩個“爬犁”(雪撬)在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為m、長為L的均勻橫梁，簡化示意圖如圖所示，每個爬犁的上端A與被運(yùn)送的橫梁端頭固連，下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸面積很小，一水平牽引力F作用于前爬犁，作用點到雪地的距離用h表示，已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為m1，后爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為m2。問要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動，h應(yīng)滿足什么條件？水平牽引力F應(yīng)多大？設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計。Ff1N1f2N2L解析：【例22】如圖所示，杯中盛有密度均勻的混合液體，其密度為，經(jīng)過一段時間后變?yōu)槊芏确謩e為1和2的(1FB)，作用點滿足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點力作用下物體平衡條件平衡條件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，F(xiàn)y=04、三力匯交原理(受三力平衡的物體，三力若不平行，則必共點)若一個物體受三個非平行力而處于平衡狀態(tài)，則這三個力必為共點力。解決三力平衡問題常用的方法有：正交分解法；合成與分解法；相似三角形法；正弦定理法；圖解法等。SMN【例5】兩根長度相等的輕繩，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點，M、N兩點間的距離為S，如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為Tm，則每根繩長度不得短于多少？解析：選物體m為研究對象，受力如圖所示，設(shè)拉力T與豎直方向夾角為q，由平衡條件有2Tcosq=mg，由圖中幾何關(guān)系看出：cosq=，由此得：T=又因為TTm，所以Tm整理得：L【例6】如圖所示，一輕桿兩端固定兩個小球A和B，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m，輕繩長為L，求平衡時OA、OB分別為多長？(不計繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解法一：相似三角形法分別對A、B作出受力圖，由圖上可見，利用相似三角形法有：=，=又因為A、B由同一根輕繩相連，所以TA=TB，且繩子長度一定，有：OA+OB=L聯(lián)立解得：OA=L/5，OB=4L/5解法二：轉(zhuǎn)軸物體平衡法4mgL1=mgL2，故L1:L2=1:4其余同上。解法三：質(zhì)心法?！纠?】如圖所示，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，靜止在光滑的半球形容器中，設(shè)桿與水平方向的夾角為q，則容器在A點和B點給桿的支持力各多大？qBACqBGCNANBq90-2qA解析：正弦定理法。如圖所示，先受力分析，然后找出角度的關(guān)系，由正弦定理有：=解得：NAmgtanq；NB=【例8】如圖所示，三個相同的光滑圓柱體，半徑為r，堆放在光滑的圓柱面內(nèi)，試求下面兩個圓柱體不致分開時，圓柱面的半徑R應(yīng)滿足的條件。解析：設(shè)球1受到下面圓柱面的彈力為N2，球2受到底下圓柱面的彈力為N1，且N1與豎直方向夾角為a，要使2、3兩球剛好不分開的條件是這兩球無彈力。選球1為對象，由受力圖有：Rr123mg=2N2cos30，得N2=選球2為對象，由平衡條件得：N1sina=sin30mgra23N1N2N1cosa=mg+cos30消去N1得：tana=，sina=由幾何關(guān)系看出：=得：R=(1+)r，即球2、3不分開的條件是R(1+)r=6.3rO【例9】如圖所示，半徑為R的剛性球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長為2pa，a=R/2，繩圈的勁度系數(shù)為k，將繩圈從球的正上方輕放到球上，使其水平停留在某個靜力平衡位置，考慮重力，忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時繩圈長為2pb，b=a，求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示，g為重力加速度)(2)設(shè)k=，求繩圈的最后平衡位置及長度。解析：(1)設(shè)平衡時繩圈位于球面上對應(yīng)于緯度為q的緯度線上，繩中張力為T，選擇一微元段L為對象，對應(yīng)頂角為q，質(zhì)量為m，如圖所示，如圖所示FTTq故F=2Tsin()；m=由圖可知，對微元分析知：Nsinq=F，mg=NcosqOmgNF故T=因為q0，上式簡化得：T=對彈性繩滿足胡克定律，T=2k(b-a)T=2k()a=kR()ORqx由幾何知識有：sinq=b/R=，tanq=1因此 k=(2)當(dāng)k=時，由(1)的結(jié)論T=及T=2k(x-a)得tanq=2sinq-1變形得：sinq=2sinqcosq-cosq，得：sin22q=1+2sinqcosq因為0sin(2q)1，故上式無解，表明此時彈性繩已落在桌面上，這時繩長為原長2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩，記為M=FL。單位為：“牛米”。一般規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)。力矩的進(jìn)一步理解：力矩也是力使物體繞某點(軸)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的能量。力對點之矩是矢量如圖所示，力F對O點之矩，用矢量M0(F)表示，圖中r表示力F的作用點A的位置矢量，這個力矩矢量的大小為：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向：略力對軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講，力對軸之矩是一個沿軸向的矢量，在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性，把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線與軸相垂直時，邊力線作軸的垂直平面，如圖所示，力F對軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正。2、力偶由兩個等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個力，也是一個基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，這種轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小，由構(gòu)成該力偶的兩個力對某點(軸)之力矩和力偶矩M來量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件：M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點叫重心。計算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力對合力作用點的合力矩為零，則合力作用點為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=，yc=O1OO2x1x2【例10】如圖所示，飛輪重1500N，由實驗測得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點處，若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔，剩余部分重心將移動軸心O1，試求鉆去部分的重力。解析：補(bǔ)償法，設(shè)鉆去部分重力為G，離中心O的距離為x2，O1離O的距離為x1，若把鉆去部分補(bǔ)起來，則系統(tǒng)總重力在O處，故有(1500-G)x1=Gx2，得G=24N注：本題亦可把鉆去的部分看成是一個順時針方向的力矩和一個逆時針方向的力矩疊加而成，當(dāng)兩個力矩去處理，比較方法?！纠?1】一個質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺階的旁邊，臺階的高度h是圓柱體半徑r的一半，如圖所示，圓柱體與臺階接觸處（如圖中P點）是粗糙的，現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開始以P為軸向臺階上滾動，求：(1)所施力的最小值；(2)臺階對圓柱體的作用力的大小。OrAPh解析：(1)連接AP，作A作AP的垂線，即為最小力的方向?？傻米钚×?.45102N；(2)方法很多。法一：小球受力三力作用，由SFx=0，SFx=0可求出法二：由三力匯交原理可知，臺對球的作用力一定過A點，而F又平行于P與最低點連線，可在一個直角三角形中求出力的大小為4.32102N【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點A到球心O的距離為L，若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析：選懸點A為轉(zhuǎn)軸，從A向CO作垂線交于CO于O點，系統(tǒng)受拉力TAD和TAC作用且過懸點，力矩為零，由力矩平衡條件得：AOECDOm1m2m1gOO=m2gCO又在三角形中有：OO=LsinqOC=R-OO=R-Lsinq三式解得：sinq=即q=arcsin小結(jié)：由力矩平衡關(guān)系處理問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇，通常選擇未知又不需要求的力的作用點所在的軸為轉(zhuǎn)軸，這樣減小方程中未知量個數(shù)，簡化運(yùn)算。ABOab【例13】有一個水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面，其軸線通過O點，槽內(nèi)放著兩個半徑均為r的光滑圓柱體A、B，如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB，且r=R/3，求圓柱體A、B平衡時，OA線與豎直線間的夾角a是多少？解析：對本題常用的處理方法是分別隔離A、B兩物體，各自利用共點力作用下物體的平衡條件求得。不過，這樣處理比較繁瑣，如把A、B兩物看成一個整體，它相當(dāng)于繞過大圓柱圓心的水平軸轉(zhuǎn)動。由于大圓柱面對兩球的彈力均指向轉(zhuǎn)軸，故這兩個力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，從而能方便地求得問題的解。設(shè)OA、OB連線分別與豎直線夾a、b角，以過O點的水平線為軸，對系統(tǒng)有：mAg(R-r)sina=mBg(R-r)sinb又因為OA=OB=AB=2r所以a+b=60解得：a=tan-1【例14】如圖所示，一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長度相等，兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且不計鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi))，可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內(nèi)？試說明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg，BC棒的質(zhì)量為m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：(1)選兩棒整體分析，受重力m1g和m2g作用，它們對A軸有順時針方向的力矩，因此，在C端施加的力F方向不能指向AC豎直線的左方，對BC棒而言，受重力m2g作用，以B為軸，產(chǎn)生逆時針方向力矩，故力F方向只能在BC棒的左上方。綜合二者分析知力F的方向只能在ACB的范圍內(nèi)斜向右上方，棒才可能平衡。(2)設(shè)力F的方向與AC夾角為a，每棒長為L，由力矩平衡條件：ABCFxFyFa對整體選A為軸，則有(m1+m2)g=Fsina對BC棒選B為軸，有：m2g=FLsin(45-a)代入數(shù)據(jù)，求得：F=19N，方向為a=arcsin0.395。小結(jié)：在求力矩時，如遇力臂不易找時，可以將力分解，求出各分力的力矩后再求合力矩。合力矩與分力矩的關(guān)系是：合力矩等于各分力矩對轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。FRLO【例15】如圖所示，一個半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為m），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解析：這是一個典型的力矩平衡的例題。以球和桿為對象，研究其對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動平衡，設(shè)木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相對滑動，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn)=f，(可推出G的表達(dá)式)。同理，木板插進(jìn)去時，球體和木板之間的摩擦f= = F。解得：F= 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個完全相同的剛性長條薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的重量均可以不計，現(xiàn)將此六個薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片中點的距離等于它與小突起A6的距離，求此薄片A6B6中點所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析：設(shè)所求的壓力P1=P(向下)，并設(shè)任一小突起Ai，對其下