江蘇省南京市2014屆高三考前沖刺訓(xùn)練(南京市教研室)_數(shù)學(xué)_Word版含答案.doc

南京市2014屆高三數(shù)學(xué)綜合題一、填空題1已知函數(shù)ysinx(0)在區(qū)間0，上為增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(3，0)對稱，則的取值集合為【答案】，1【提示】由題意知，即，其中kZ，則k或k 或k1【說明】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性及對稱性）三角函數(shù)除關(guān)注求最值外，也適當(dāng)關(guān)注其圖象的特征，如周期性、對稱性、單調(diào)性等2如圖：梯形ABCD中，AB/CD，AB6，ADDC2，若12，則DABC【答案】0【提示】以，為基底，則，則2248cosBAD1212，所以cosBAD，則BAD60o，則()()2440【說明】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化思想另本題還可通過建立平面直角坐標系將向量“坐標化”來解決向量問題突出基底法和坐標法，但要關(guān)注基底的選擇與坐標系位置選擇的合理性，兩種方法之間的選擇3設(shè) 、為空間任意兩個不重合的平面，則：必存在直線l與兩平面 、均平行； 必存在直線l與兩平面 、均垂直；必存在平面與兩平面 、均平行； 必存在平面與兩平面 、均垂直其中正確的是_（填寫正確命題序號）【答案】【提示】當(dāng)兩平面相交時，不存在直線與它們均垂直，也不存在平面與它們均平行（否則兩平面平行）【說明】本題考查學(xué)生空間線面，面面位置關(guān)系及空間想象能力 4圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為2的扇形，則圓錐的體積是_【答案】【提示】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知，且2rl2，解得l2，r，所以圓錐高h1，則體積Vr2h【說明】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖及體積的計算 5設(shè)圓x2y22的切線l與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點A，B當(dāng)線段AB的長度最小值時，切線l的方程為_【答案】xy20【說明】本題考查直線與圓相切問題和最值問題6已知雙曲線1(a0，b0)的離心率等于2，它的右準線過拋物線y2=4x的焦點，則雙曲線的方程為 【答案】1 【解析】本題主要考查了雙曲線、拋物線中一些基本量的意義及求法7在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1、C2、C3依次為y2log2x、ylog2x、yklog2x(k為常數(shù)，0k1)曲線C1上的點A在第一象限，過A分別作x軸、y軸的平行線交曲線C2分別于點B、D，過點B作y軸的平行線交曲線C3于點C若四邊形ABCD為矩形，則k的值是_ 【答案】【提示】設(shè)A(t，2 log2t)(t1)，則B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，則有l(wèi)og2t2k log2t，由于log2t0，故2k1，即k【說明】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖像及簡單的對數(shù)方程注意點坐標之間的關(guān)系是建立方程的依據(jù) *8已知實數(shù)a、b、c滿足條件0ac2b1，且2a2b21c，則的取值范圍是_【答案】，【提示】由2a2b21c得2ac2bc2，由0ac2b1得0(ac)2(bc)1，于是有12(ac)2(bc)2，即12設(shè)x2bc，y2ac，則有xy2，x2y2x2，x0，y0，yx在平面直角坐標系xOy中作出點(x，y)所表示的平面區(qū)域，并設(shè)yxt如圖，當(dāng)直線yxt與曲線yx2相切時，t最小此時令y2x1，解得x，于是y，所以tmin當(dāng)直線過點A時，t最大由解得A(，)，所以tmax因此的取值范圍是，【說明】本題含三個變量，解題時要注意通過換元減少變量的個數(shù)利用消元、換元等方法進行減元的思想是近年高考填空題中難點和熱點，對于層次很好的學(xué)校值得關(guān)注9已知四數(shù)a1，a2，a3，a4依次成等比數(shù)列，且公比q不為1將此數(shù)列刪去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列， 則正數(shù)q的取值集合是 【答案】，【提示】因為公比q不為1，所以不能刪去a1，a4設(shè)an的公差為d，則 若刪去a2，則由2a3a1a4得2a1qa1a1q，即2q1q，整理得q(q1)(q1)(q1)又q1，則可得 qq1，又q0解得q； 若刪去a3，則由2a2a1a4得2a1qa1a1q，即2q1q，整理得q(q1)(q1)q1又q1，則可得q(q1)1，又q0解得 q綜上所述，q【說明】本題主要考查等差數(shù)列等差中項的概念及等比數(shù)列中基本量的運算*10數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bnanan1an2 (nN*)，設(shè)Sn為bn的前n項和若a12a50，則當(dāng)Sn取得最大值時n的值等于_【答案】16【提示】設(shè)an的公差為d，由a12a50得 a1d，d0，所以an(n)d，從而可知1n16時，an0， n17時，an0從而b1b2b140b17b18，b 15a15a16a170，b16a16a17a180，故S14S13S1，S14S15，S15S16因為a15d0，a18d0，所以a15a18ddd0，所以b15b16a16a17(a15a18)0，所以S16S14，故Sn中S16最大【說明】利用等差數(shù)列及等差數(shù)列的基本性質(zhì)是解題基本策略此題借助了求等差數(shù)列前項和最值的方法，所以在關(guān)注方法時，也要關(guān)注形成方法的過程和數(shù)學(xué)思想二、解答題11三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，且sinB (1)若cosA，求sinC的值； (2)若b，sinA3sinC，求三角形ABC的面積解 (1)由sinB，兩邊平方得2sin2B3cosB，即2(1cos2B)3cosB，解得cosB或cosB2(舍去)又B為三角形內(nèi)角，則B因為cosA，且A為三角形內(nèi)角，則sinA，故sinCsin(BA)sin(A) cosAsinA (2)解法一因為sinA3sinC，由正弦定理可得a3c由余弦定理知：b2 a2c22accosB，則79c2c23c2，解得c1，則a3面積SacsinB 解法二 由sinA3sinC得sin(CB)3sinC，即sin(C)3sinC，則sinCcosC3sinC，即cosCsinC，故可得tanC又C為三角形的內(nèi)角，則sinC由正弦定理知，則c1又sinA3sinC，故面積SbcsinA【說明】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和差公式及正、余弦定理，具有一定的綜合性12三角形ABC中，三內(nèi)角為A、B、C，a(cosA，sinA)，b(cosB，sinB)，c(1，1) (1)若ac1，求角A的大??； (2)若a/b，求當(dāng)AB取最大時，A的值解 (1)accosAsinA2cos(A)1，則cos(A)因為A(0，)，則A(，)，則A，則A (2)因為a/b，所以cosAsinBsinAcosB，則tanA3tanB由于A、B為三角形內(nèi)角，則A、B只能均為銳角，即tanA0，tanB0tan(AB) ，當(dāng)且僅當(dāng)3tanB時，B取“”號又AB(，)，則AB的最大值為，此時A所以，當(dāng)AB的最大時，A【說明】本題第一問考查向量數(shù)量積的坐標運算，兩角和差公式及已知三角函數(shù)值求角問題；第二問考查平面向量平行的條件及兩角差的正切公式，利用基本不等式求最值 AEDCB13如圖，六面體ABCDE中，面DBC面ABC，AE面ABC (1)求證：AE /面DBC； (2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC證明 (1)過點D作DOBC，O為垂足 因為面DBC面ABC，又面DBC面ABCBC，DO 面DBC， 所以DO面ABC 又AE面ABC，則AE/DO 又AE 面DBC，DO 面DBC，故AE / 面DBC (2)由（1）知DO面ABC，AB面ABC，所以DOAB 又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，則AB面DBC 因為DC 面DBC，所以ABDC 又BDCD，ABDBB，AB，DB面ABD，則DC面ABD 又AD 面ABD，故可得ADDC【說明】本題第(1)問考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的性質(zhì)定理及線面平行的判定定理；第(2)問通過線面垂直證線線垂直問題14如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ACC1是邊長為2的菱形，A1AC60o在面ABC中，AB2，BC4，M為BC的中點，過A1，B1，M三點的平面交AC于點N (1)求證：N為AC中點； (2)平面A1B1MN平面A1ACC1解 (1)由題意，平面ABC/平面A1B1C1，平面A1B1M與平面ABC交于直線MN，與平面A1B1C1交于直線A1B1，所以MN/ A1B1因為AB/ A1B1，所以MN/AB，所以BCA1B1C1MNA因為M為AB的中點，所以1，所以N為AC中點 (2)因為四邊形A1ACC1是邊長為2的菱形，A1AC60o 在三角形A1AN中，AN1，AA12，由余弦定理得A1N， 故A1A2AN2A1N2，從而可得A1NA90o，即A1NAC在三角形ABC中，AB2，AC2，BC4，則BC2AB2AC2，從而可得BAC=90o，即ABAC又MN/AB，則ACMN因為MNA1NN，MN 面A1B1MN，A1N面A1B1MN，所以AC平面A1B1MN 又AC平面A1ACC1，所以平面A1B1MN平面A1ACC1【說明】本題考查面面平行的性質(zhì)定理，線面垂直及面面垂直的判定定理，綜合考查空間想象及邏輯推理能力立體幾何中線面平行、面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理要適當(dāng)關(guān)注，不成為重點，但也不要成為盲點關(guān)注以算代證的方法15某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入的x萬元之間滿足：y與(ax)和x2的乘積成正比；x(0，其中m是常數(shù)若x時，ya3 (1)求產(chǎn)品增加值y關(guān)于x的表達式； (2)求產(chǎn)品增加值y的最大值及相應(yīng)的x的值解：(1)設(shè)yf(x)k(ax)x2，因為當(dāng)x時，ya3，所以k8，所以f(x)8(ax)x2 ，x(0， (2)因為f(x)24x216ax，令f(x)0，則x0(舍)，x 當(dāng)，即m1時，當(dāng)x(0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，當(dāng)x(，)時，f(x)0，所以f(x)在(，)上是減函數(shù)，所以ymaxf()a3；當(dāng)，即0m1時，當(dāng)x(0，)時，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)， 所以ymaxf()a3， 綜上，當(dāng)m1時，投入萬元，最大增加值a3當(dāng)0m1時，投入萬元，最大增加值a3 【說明】適當(dāng)關(guān)注建模容易，解模難的應(yīng)用題，如本題需要對解模過程進行分類討論16如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為設(shè)S的眼睛距地面的距離按米 (1) 求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度； (2) 立柱的頂端有一長2米的彩桿MN繞其中點O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)攝影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由解 (1) 如圖，作SC垂直O(jiān)B于C，則CSB30，ASB60又SA，故在RtSAB中，可求得BA3，即攝影者到立柱的水平距離為3米 由SC3，CSO30，在RtSCO中，可求得OC 因為BCSA，故OB2，即立柱高為2米. (2) 方法一：連結(jié)SM，SN，設(shè)ONa，OMb在SON和SOM中，得a2b226cosMSN 又MSN(0，)， 則MSN故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面 方法二提示:設(shè)MOS，建立cosMSN關(guān)于的關(guān)系式，求出cosMSN最小值為，從而得到MSN方法三提示:假設(shè)MSN，設(shè)ONa，OMb，聯(lián)立a2b226和a2b2ab4消元，判斷方程是否有解方法四提示：計算過S點作圓O(1為半徑)的兩切線夾角大于60o也可合理建系【說明】第(1)問主要考查了對圖形的認識；第(2)問突出應(yīng)用題中變量的選擇，方法的選擇另外應(yīng)用題中除求解函數(shù)最值問題外，也考慮涉及方程的解、不等式等問題，如方法三17為了迎接青奧會，南京將在主干道統(tǒng)一安裝某種新型節(jié)能路燈，該路燈由燈柱和支架組成在如圖所 示的直角坐標系中，支架ACB是拋物線y22x的一部分，燈柱CD經(jīng)過該拋物線的焦點F且與路面垂直，其中C在拋物線上，B為拋物線的頂點，DH表示道路路面，BFDH，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線與拋物線在A處的切線垂直安裝時要求錐形燈罩的頂?shù)綗糁木嚯x是1.5米，燈罩的軸線正好通過道路路面的中線(1)求燈罩軸線所在的直線方程；(2)若路寬為10米，求燈柱的高yxABFDHC解：(1)由題意知，BF，則xA1.52，代入y22x得yA2，故A(2，2)設(shè)點A處的切線方程為y2k(x2)，代入拋物線方程y22x消去x，得ky22y44k0則44k(44k)0，解得k故燈罩軸線的斜率為2，其方程為y22(x2)，即y2x6（2）由于路寬為10，則當(dāng)x時，y5，從而FD5又CF1，則CD6答：燈柱的高為6米. 【說明】本題改編自必修2(P92)例5，考查學(xué)生綜合應(yīng)用函數(shù)、不等式知識解決實際問題的能力解析幾何應(yīng)用題不需重點訓(xùn)練，但也需要學(xué)生適當(dāng)了解和關(guān)注18如圖，在RtABC中，A為直角，AB邊所在直線的方程為x3y60，點T(1，1)在直線AC上，斜邊中點為M(2，0) (1)求BC邊所在直線的方程；xyOABCTM (2)若動圓P過點N(2，0)，且與RtABC的外接圓相交所得公共弦長為4，求動圓P中半徑最小的圓方程解 (1)因為AB邊所在直線的方程為x3y60，AC與AB垂直，所以直線AC的斜率為3故AC邊所在直線的方程為y13(x1)，即3xy20 設(shè)C為(x0，3x02)，因為M為BC中點，所以B(4x0，3x02) 點B代入x3y60，解得x0，所以C(，) 所以BC所在直線方程為：x7y20 (2)因為RtABC斜邊中點為M(2，0)，所以M為RtABC外接圓的圓心 又AM2，從而RtABC外接圓的方程為(x2)2y28 設(shè)P(a，b)，因為動圓P過點N，所以該圓的半徑r，圓方程為(xa)2(yb)2r2 由于P與M相交，則公共弦所在直線的方程m為：(42a)x2bya2b2r240因為公共弦長為4，r2，所以M(2，0)到m的距離d2，即2，化簡得b23a24a，所以r 當(dāng)a0時，r最小值為2，此時b0，圓的方程為x2y24【說明】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓有關(guān)知識，考查圓與圓位置關(guān)系及弦長的求法及函數(shù)最值求法19如圖，平行四邊形AMBN的周長為8，點M，N的坐標分別為(，0)，(，0) (1)求點A，B所在的曲線L方程； (2) 過 L上點C(2，0)的直線l與L交于另一點D，與y軸交于點E，且l/OA求證：為定值解 (1)因為四邊形AMBN是平行四邊形，周長為8OxyAMNB所以兩點A，B到M，N的距離之和均為42，可知所求曲線為橢圓由橢圓定義可知，a2，c，b1曲線L方程為y21（y0） (2)由已知可知直線l的斜率存在因為直線l過點C(2，0)，設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入曲線方程y21(y0)，并整理得(14k2)x216k2x16k240因為點C(2，0)在曲線上，則D(，)，E(0，2k)，所以CD，CE2 因為OA/l，所以設(shè)OA的方程為ykx ，代入曲線方程，并整理得(14k2)x24所以x，yA2，所以O(shè)A2，化簡得2，所以為定值【說明】本題考查用定義法求橢圓方程知識及直線與橢圓相交的有關(guān)線段的計算與證明20如圖，在直角坐標系xOy中，橢圓E：1(ab0)的焦距為2，且過點(，) (1)求橢圓E的方程； (2)若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M (i)設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值； *(ii)設(shè)過點M垂直于PB的直線為m求證：直線m過定點，并求出定點的坐標.解：(1)由題意得2c2 ，所以c1，又1消去a可得2b45b230，解得b23或b2(舍去)，則a24，所以橢圓E的方程為1 (2)(i)設(shè)P(x1，y1)(y10)，M(2，y0)，則k1，k2，因為A，P，M三點共線，所以y0， 則k1k2因為P(x1，y1)在橢圓上，所以y(4x)，則k1k2為定值(ii)方法一：直線BP的斜率為k2，直線m的斜率為km，則直線m的方程為yy0(x2)， 即y(x2)y0(x2)(x2)(x2)(x1)，所以直線m過定點(1，0) 方法二：直線BP的斜率為k2，直線m的斜率為km，則直線m的方程為y(x2)， 若P為(0，)，則m的方程為yx，若P為(0，)，則m的方程為yx，兩直線方程聯(lián)立解得Q(1，0)因為kMQk21，所以Q在過M且與BP垂直的直線上，所以直線m過定點(1，0) 【說明】考查橢圓方程的求法及直線與橢圓中的一些定值、定點問題其中定點問題可以考慮先從特殊情況入手，找到定點再證明21已知函數(shù)f(x)(a，b，為實常數(shù)) (1)若1，a1 當(dāng)b1時，求函數(shù)f(x)的圖象在點(，f()處的切線方程； 當(dāng)b0時，求函數(shù)f(x)在，上的最大值 * (2)若1，ba，求證：不等式f(x)1的解集構(gòu)成的區(qū)間長度D為定值解 (1)當(dāng)b1時，f(x)，則f (x)，可得f ()4，又f()2，故所求切線方程為y24(x)，即4xy100 當(dāng)1時，f(x)， 則f (x) 因為b0，則b10 ，且b 故當(dāng)bx時，f (x)0，f(x)在(b，)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x時，f (x)0，f(x)在(，)單調(diào)遞減 ()當(dāng)，即b時，f(x)在，單調(diào)遞減，所以f(x)maxf()； ()當(dāng)，即b0時，f(x)maxf() 綜上所述，f(x)max (2) f(x)1即1(*)當(dāng)xb時，xa0，xb0，此時解集為空集當(dāng)axb時，不等式(*)可化為 (xa)(xb)(xa)(xb)，展開并整理得，x2(ab2)x(abab)0，設(shè)g (x)x2(ab2)x(abab)，因為(ab)40，所以g (x)有兩不同的零點，設(shè)為x1，x2(x1x2)，又g (a)ba0，g (b)ab0，且ba，因此bx1ax2，所以當(dāng)axb時，不等式x2(ab2)x(abab)0的解為bxx1當(dāng)xa時，不等式(*)可化為 (xa)(xb)(xa)(xb)，展開并整理得，x2(ab2)x(abab)0，由知，此時不等式的解為axx2綜上所述，f(x)1的解構(gòu)成的區(qū)間為(b，x1(a，x2，其長度為(x1b)(x2a)x1x2abab2ab2故不等式f(x)1的解集構(gòu)成的區(qū)間長度D為定值2【說明】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論思想、解一元二次不等式其中第(2)問涉及不?？嫉慕庖辉尾坏仁椒诸愑懻搯栴}，注意比較a、b與兩根的大小 22已知函數(shù)f (x)lnx(x0) (1)求函數(shù)g (x)f (x)x1的極值； *(2)求函數(shù)h(x)f (x)|xa|(a為實常數(shù))的單調(diào)區(qū)間； *(3)若不等式(x21)f (x)k(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)g (x)lnxx1，g(x)1，當(dāng)0x1時，g(x)0；當(dāng)x1時，g(x)0，可得g (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故g (x)有極大值為g (1)0，無極小值 (2)h(x)lnx|xa|當(dāng)a0時，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此時h(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，h(x) 當(dāng)xa時，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此時h(x)在(a，)上單調(diào)遞增； 當(dāng)0xa時，h(x)lnxxa，h(x)1 當(dāng)0a1時，h(x)0恒成立，此時h(x)在(0，a)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a1時，當(dāng)0x1時h(x)0，當(dāng)1xa時h(x)0，所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，a)上單調(diào)遞減 綜上，當(dāng)a1時，h(x)的增區(qū)間為(0，)，無減區(qū)間； 當(dāng)a1時，h(x)增區(qū)間為(0，1)，(a，)；減區(qū)間為(1，a) (3)不等式(x21)f (x)k(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立，即(x21)lnxk(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立當(dāng)0x1時，x210；lnx0，則(x21)lnx0；當(dāng)x1時，x210；lnx0，則(x21)lnx0因此當(dāng)x0時，(x21)lnx0恒成立又當(dāng)k0時，k(x1)20，故當(dāng)k0時，(x21)lnxk(x1)2恒成立下面討論k0的情形當(dāng)x0且x1時，(x21)lnxk(x1)2(x21)lnx設(shè)h(x)lnx( x0且x1)，h(x)記4(1k)244(k22k)當(dāng)0，即0k2時，h(x)0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，)上單調(diào)遞增于是當(dāng)0x1時，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2當(dāng)x1時，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2又當(dāng)x1時，(x21)lnxk(x1)2因此當(dāng)0k2時，(x21)lnxk(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立當(dāng)0，即k2時，設(shè)x22(1k)x10的兩個不等實根分別為x1，x2(x1x2)函數(shù)(x)x22(1k)x1圖像的對稱軸為xk11，又(1)42k0，于是x11k1x2故當(dāng)x(1，k1)時，(x)0，即h(x)0，從而h(x)在(1，k1)在單調(diào)遞減；而當(dāng)x(1，k1)時，h(x)h(1)0，此時x210，于是(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2，因此當(dāng)k2時，(x21)lnxk(x1)2對一切正實數(shù)x不恒成立綜上，當(dāng)(x21)f (x)k(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立時，k2，即k的取值范圍是(，2【說明】本題以函數(shù)的最值為載體考查分類討論思想第三問比較難，兩個注意：適當(dāng)變形后研究函數(shù)h(x)；當(dāng)k2時，區(qū)間(1，k1)是如何找到的 23已知函數(shù)f (x)sinxxcosx的導(dǎo)函數(shù)為f (x)(1)求證：f (x)在(0，)上為增函數(shù)；(2)若存在x(0，)，使得f(x)x2x成立，求實數(shù)的取值范圍；*(3)設(shè)F(x)f(x)2cosx，曲線yF(x)上存在不同的三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1x2x3，且x1，x2，x3(0，)，比較直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小，并證明解 (1)證明：f(x)xsinx， 當(dāng)x(0，)時，sinx0，所以f(x)0恒成立，所以f (x) 在(0，)上單調(diào)遞增(2)因為f(x)x2x，所以xsinxx2x當(dāng)0x時，sinxx設(shè)(x)sinxx，x(0，)，則(x)cosx當(dāng)0x時，(x)0；當(dāng)x時，(x)0于是 (x)在(0，)上單調(diào)遞增，在 (，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)0x時，(x)maxg ()因此(3)由題意知只要判斷的大小首先證明：F(x2)由于x2x3，因此只要證：F(x3)F(x2)(x3x2) F(x2)設(shè)函數(shù)G(x)F(x)F(x2)(xx2) F(x2)( x2x)，因為F(x)xcosxsinxf(x)，所以G(x)F(x)F(x2)f (x2)f (x)，由（1）知f(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以G(x)0 則G(x)在(x2，)上單調(diào)遞減，又xx2，故G(x)G(x2)0而x2x3，則G(x3)0，即F(x3)F(x2)(x3x2) F(x2)0，即F(x3)F(x2)(x3x2) F(x2)從而F(x2)得證同理可以證明：F(x2)因此有，即直線AB的斜率大于直線BC的斜率【說明】本題以三角函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及分類討論思想，適時結(jié)合形分析其中第三問找一個中間量F(x2)，難度稍大 24已知數(shù)集Aa1，a2，an(0a1a2an，n2，nN*)具有性質(zhì)P：i，j(1ijn)，aiaj與ajai兩數(shù)中至少有一個屬于A(1)分別判斷數(shù)集1，2，3，4是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(2)證明：a10；*(3)證明：當(dāng)n5時，a1，a2，a3，a4，a5成等差數(shù)列證明 (1)由于44與44均不屬于數(shù)集1，2，3，4，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)P(2)因為Aa1，a2，an具有性質(zhì)P，所以anan與anan中至少有一個屬于A，又ananan，所以ananA，所以ananA，即0A，又a10，a20，所以a10；(3)當(dāng) n5時，取j5，當(dāng)i2時，aia5a5，由A具有性質(zhì)P，a5aiA，又i1時，a5a1A，所以a5aiA，i1，2，3，4，5因為0a1a2a3a4a5，所以a5a1a5a2a5a3a5a4a5a50，則a5a1a5，a5a2a4, a5a3a3，從而可得a2a4a5，a52a3，故a2a42a3，即0a4a3a3a2a3，又因為a3a4a2a4a5，所以a3a4A，則a4a3A，則有a4a3a2a2a1又因為a5a4a2a2a1，所以a5a4a4a3a3a2a2a1a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首項為0，公差為a2的等差數(shù)列【說明】本題主要考查集合、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力，本題是數(shù)列與不等式的綜合題對于復(fù)雜的數(shù)列問題，我們往往可以從特殊情況入手，找到解題的突破口25設(shè)MN*，正項數(shù)列an的前項積為Tn，且kM，當(dāng)nk 時，TnTk都成立(1)若M1，a1，a23，求數(shù)列an的前n項和；(2)若M3，4，a1，求數(shù)列an的通項公式解：(1)當(dāng)n2時，因為M1，所以TnT1，可得an1ana1，故a13(n2)又a1，a23，則an是公比為3的等比數(shù)列，故an的前n項和為3(2)當(dāng)nk時，因為TnTk，所以Tn1Tk，所以，即an1，因為M3，4，所以取k3，當(dāng)n3時，有an4an2an1；取k4，當(dāng)n4時，有an5an3an1由an5an3an1知，數(shù)列a2，a6，a10，a14，a18，a22，a4n2，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q由an4an2an1 知，數(shù)列a2，a5，a8，a11，a14，a17，a3n1，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q1，數(shù)列a3，a6，a9，a12，a15，a18，a3n，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，數(shù)列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a3n1，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q3， 由得，q，且q1，所以q1q；由得，q，且q2，所以q2q；由得，q，且q3，所以q3q；所以q