2012高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總精編——函_數(shù).docVIP

2012高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總精編函_數(shù)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)函 數(shù)一映射: AB的概念。在理解映射概念時(shí)要注意：中元素必須都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）設(shè)是集合到的映射，下列說法正確的是A、中每一個(gè)元素在中必有象 B、中每一個(gè)元素在中必有原象C、中每一個(gè)元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點(diǎn)在映射的作用下的象是，則在作用下點(diǎn)的原象為點(diǎn)_（答：（2，1）；（3）若，則到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)，到的函數(shù)有 個(gè)（答：81,64,81）；（4）設(shè)集合，映射滿足條件“對任意的，是奇數(shù)”，這樣的映射有_個(gè)（答：12）；（5）設(shè)是集合A到集合B的映射，若B=1,2，則一定是_（答：或1）.二函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)。如：（1）已知函數(shù)，那么集合中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè)（答： 0或1）；（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：2）三同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域?yàn)?，1的“天一函數(shù)”共有_個(gè)（答：9）四求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：1根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函數(shù)的定義域是_(答：)；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則_(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_(答：)；（4）設(shè)函數(shù)，若的定義域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若的值域是R，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：；）2根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。3復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域?yàn)?求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時(shí)，求的值域（即的定義域）。如（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開（答：）；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開（答：1,5）五求函數(shù)值域（最值）的方法：1配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)的值域（答：4,8）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是_（答：）；（3）已知的圖象過點(diǎn)（2,1），則的值域?yàn)開（答：2, 5）2換元法通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域?yàn)開（答：）；（2）的值域?yàn)開（答：）（3）的值域?yàn)開（答：）；（4）的值域?yàn)開（答：）；3函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，的值域（答： 、（0,1）、）；4單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，的值域（答：、）；5數(shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點(diǎn)在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數(shù)的值域（答：）；（3）求函數(shù)及的值域（答：、）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在軸的同側(cè)。6判別式法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：） 型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，2，求常數(shù)的值（答：）型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）7不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.（答：）。8導(dǎo)數(shù)法一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。（答：48）提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？ （2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？六分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1）設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是_（答：）；（2）已知，則不等式的解集_（答：）七求函數(shù)解析式的常用方法：1待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：；頂點(diǎn)式：；零點(diǎn)式：，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）2代換（配湊）法已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數(shù)=_（答：）；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，=_（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。3方程的思想已知條件是含有及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _（答：）。八反函數(shù)：1存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個(gè)值，都有唯一的值與之對應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間1, 2上存在反函數(shù)的充要條件是A、B、C、D、（答：D）2求反函數(shù)的步驟：反求；互換 、；注明反函數(shù)的定義域（原來函數(shù)的值域）。注意函數(shù)的反函數(shù)不是，而是。如設(shè).求的反函數(shù)（答：） 3反函數(shù)的性質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件= x ，其中 0 ，若的反函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是_（答：4,7）.函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，注意函數(shù)的圖象與的圖象相同。如（1）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)_（答：（1,3）；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，求的值（答：）； 。如（1）已知函數(shù)，則方程的解_（答：1）；（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）對稱，且存在反函數(shù)，f (4)0，則 （答：2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知是上的增函數(shù)，點(diǎn)在它的圖象上，是它的反函數(shù)，那么不等式的解集為_（答：（2,8）；設(shè)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有，但。九函數(shù)的奇偶性。1具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。如若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 （答：0）；2確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_（答：奇函數(shù)）。利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：或（）。如判斷的奇偶性_.（答：偶函數(shù)）圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。3函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_.（答：）若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_（答：1）.定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。如設(shè)是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)， ，。判斷與的奇偶性； 若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則_（答：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；）復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個(gè)數(shù)集）.十函數(shù)的單調(diào)性。1確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_(答：）)；在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（，4 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_(答：且）)；復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(答：（1,2）)。2特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍（答：）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示 3你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大?。唤獠坏仁?；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答：）十一常見的圖象變換1函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位得到的。如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，則為_(答： )2函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到的。如（1）若，則函數(shù)的最小值為_(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關(guān)于_軸對稱的圖像，再向_平移3個(gè)單位而得到(答：；右)；（3）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有_個(gè)(答：2)3函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個(gè)單位得到的；4函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個(gè)單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對稱,那么 (答：C)5函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如（1）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_(答：)；（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_(答：)6函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 十二函數(shù)的對稱性。1滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_(答：)； 2點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；3點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為； 4點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為；函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱曲線方程為； 5點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對稱圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是_（答：）；6曲線關(guān)于點(diǎn)的對稱曲線的方程為。如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對稱，則_（答：）7形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點(diǎn)。如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對稱，且圖象關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則a的值為_（答：2）8的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于_對稱 （答：軸）提醒：（1）從結(jié)論可看出，求對稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：證明上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在上；證明上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在上。如（1）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形；（2）設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動(dòng)單位長度后得曲線。寫出曲線的方程（答：）；證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)對稱。十三函數(shù)的周期性。1類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；若圖像有兩個(gè)對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個(gè)對