數(shù)學(xué)人教版九年級上冊待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.docx

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1.通過對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究,掌握求二次函數(shù)解析式的方法.2.能靈活根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x擇解析式,體會二次函數(shù)解析式之間的轉(zhuǎn)化.3.能根據(jù)函數(shù)圖象確定二次函數(shù)的表達(dá)式,并由此進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.1.通過引入待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的過程,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提升數(shù)學(xué)思維意識.2.通過一題多解,培養(yǎng)學(xué)生的合作探究意識及發(fā)散思維能力.1.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、應(yīng)用以及猜想、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程,使學(xué)生掌握類比、轉(zhuǎn)化等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,養(yǎng)成既能自主探索,又能合作探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.理論聯(lián)系實(shí)際,讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際的聯(lián)系,從而激發(fā)學(xué)生熱愛生活、熱愛學(xué)習(xí).【重點(diǎn)】用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.【難點(diǎn)】靈活根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x擇解析式及與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.【教師準(zhǔn)備】導(dǎo)入一投影圖片.【學(xué)生準(zhǔn)備】預(yù)習(xí)教材P3940.導(dǎo)入一:有一個(gè)拋物線形的立交橋,這個(gè)橋拱的最大高度為16 m,跨度為40 m,現(xiàn)把它放在如圖所示的直角坐標(biāo)系里,若要在離跨度中心點(diǎn)M 5 m處垂直豎一根鐵柱支撐這個(gè)拱頂,鐵柱應(yīng)取多長?過渡語你能解決這個(gè)實(shí)際問題嗎?通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們就可以解決這個(gè)實(shí)際問題.導(dǎo)入二:復(fù)習(xí)回顧:(1)已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)(3,0),與y軸交于點(diǎn)(0,6),求此一次函數(shù)的解析式.(2)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟是什么?(設(shè)出解析式;根據(jù)條件列出方程或方程組;解方程(組)得出未知系數(shù))(3)二次函數(shù)的解析式有哪幾種形式?(一般式:y=ax2+bx+c;頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k;交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生知道二次函數(shù)是刻畫某些實(shí)際問題的模型,為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做鋪墊,同時(shí)以生活實(shí)例導(dǎo)入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣.通過復(fù)習(xí)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,讓學(xué)生用類比的方法從已有的知識體系中構(gòu)建出新知識.過渡語函數(shù)解析式中有幾個(gè)獨(dú)立的系數(shù),就需要相同個(gè)數(shù)的獨(dú)立條件才能求出函數(shù)解析式,如:我們在確定正比例函數(shù)解析式時(shí),需要一個(gè)獨(dú)立的條件;確定一次函數(shù)解析式時(shí),通常需要兩個(gè)獨(dú)立的條件.下面我們探討,要確定二次函數(shù)解析式,需要幾個(gè)條件?一、一般式求二次函數(shù)解析式如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn),能求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎?如果能,求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.思路一教師引導(dǎo),共同探究(1)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點(diǎn),有三個(gè)獨(dú)立條件,所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為.(2)將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得方程組為.(3)解這個(gè)方程組得.所以所求的二次函數(shù)的解析式為.思路二類比待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法,學(xué)生獨(dú)立思考完成,然后小組討論交流,共同歸納解題方法,學(xué)生板書解答過程,教師點(diǎn)評.解:設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.由已知函數(shù)圖象經(jīng)過(-1,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn),得關(guān)于a,b,c的三元一次方程組a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7.解這個(gè)方程組,得a=2,b=-3,c=5.所求的二次函數(shù)的解析式是y=2x2-3x+5.設(shè)計(jì)意圖通過對已知二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)解析式的探究,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法,提高學(xué)生計(jì)算能力.二、頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(2,-4),且與y軸交于點(diǎn)(0,3),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.思路教師引導(dǎo):二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式為,二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為(2,-4)的二次函數(shù)的解析式可設(shè)為,點(diǎn)(0,3)在二次函數(shù)的圖象上,所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式,所以將點(diǎn)(0,3)代入得,解得,所以所求二次函數(shù)的解析式為.【師生活動】學(xué)生獨(dú)立思考完成,教師適當(dāng)點(diǎn)評.解:設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2-4.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,3),所以4a-4=3.解得a=74.所以所求二次函數(shù)的解析式為y=74(x-2)2-4,即y=74x2-7x+3.歸納:用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式的一般方法和步驟.三、交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式已知二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0),(1,0),且與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.學(xué)生先思考,可能考慮代入一般式求函數(shù)解析式,教師引導(dǎo)交點(diǎn)式求函數(shù)解析式.教師引導(dǎo):當(dāng)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)時(shí),可設(shè)所求函數(shù)解析式為y=a(x-x1)(x-x2),所以二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(1,0)時(shí),可設(shè)函數(shù)解析式為,點(diǎn)(0,-3)在二次函數(shù)圖象上,所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式,所以將點(diǎn)(0,-3)代入得,解得,所以所求的二次函數(shù)的解析式為.解:設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=a(x+3)(x-1),由已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),所以-3a=-3,解得a=1.所以所求的二次函數(shù)的解析式為y=(x+3)(x-1),即y=x2+2x-3.設(shè)計(jì)意圖通過教師引導(dǎo),共同探究求二次函數(shù)解析式的方法,并歸納總結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般步驟,培養(yǎng)學(xué)生歸納意識,提高分析問題、解決問題的能力.歸納:用交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式的一般方法和步驟.當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的形式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式;當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)及拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).四、例題講解過渡語我們總結(jié)了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法,那么嘗試解決課前導(dǎo)入一的實(shí)際問題吧!【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成后,小組交流討論,教師巡視過程中,幫助有“困難”的學(xué)生,學(xué)生展示后教師進(jìn)行點(diǎn)評.解:由題意,知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(20,16),點(diǎn)B(40,0),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-20)2+16.點(diǎn)B(40,0)在拋物線上,0=a(40-20)2+16,a=-125,y=-125(x-20)2+16.豎鐵柱的點(diǎn)為(15,0)或(25,0),當(dāng)x=15時(shí),y=-125(15-20)2+16=15;當(dāng)x=25時(shí),y=-125(25-20)2+16=15.鐵柱應(yīng)取15 m長.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生歸納方法后設(shè)計(jì)解決實(shí)際問題,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識,拓寬學(xué)生的思維,提高學(xué)生解決問題的能力,同時(shí)整節(jié)課達(dá)到首尾呼應(yīng),整體完整.知識拓展1.求二次函數(shù)解析式的幾種方法之間是相互聯(lián)系的,而不是孤立的,不同的函數(shù)解析式的設(shè)法是根據(jù)不同的已知條件來確定的.2.在選用不同的設(shè)法時(shí),應(yīng)具體問題具體分析,特別是當(dāng)已知條件不是上述所列舉的幾種情形時(shí),應(yīng)靈活選用不同的方法來求解,以達(dá)到事半功倍的效果.1.二次函數(shù)解析式常用的三種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a0);(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a0);(3)交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0).2.當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的形式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式;當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)及拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2). 1.已知二次函數(shù)的圖象過(1,0),(2,0)和(0,2)三點(diǎn),則該函數(shù)的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+2解析:設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c,把(1,0),(2,0)和(0,2)分別代入得a+b+c=0,4a+2b+c=0,c=2,解得a=1,b=-3,c=2,所以該函數(shù)的解析式是y=x2-3x+2.故選D.2.過坐標(biāo)原點(diǎn),且頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-2)的拋物線的解析式為.解析:設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-2,把(0,0)代入,得0=a-2,a=2,所求的拋物線的解析式為y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x.故填y=2x2-4x.3.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)(2,0),(-1,0),與y軸交于點(diǎn)(0,-1),那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是.解析:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)(x+1),把(0,-1)代入得-1=-2a,a=12,所求二次函數(shù)的解析式為y=12(x-2)(x+1),即y=12x2-12x-1.故填y=12x2-12x-1.4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A(0,-5),B(5,0)兩點(diǎn),它的對稱軸為直線x=2,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是.解析:函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,因?yàn)槠鋱D象過A,B兩點(diǎn),所以把(0,-5),(5,0)代入,得-5=c,0=25a+5b+c,又對稱軸直線x=-b2a=2,解得a=1,b=-4,c=-5,所以二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.5.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)(-2,-5),求此二次函數(shù)的解析式.解:設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+4,其圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,-5),a(-2-1)2+4=-5,a=-1,y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.第2課時(shí)一、一般式求二次函數(shù)解析式二、頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式三、交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式四、例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第42頁習(xí)題22.1的10,11題.【選做題】教材第57頁復(fù)習(xí)題22的6題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-6)和(2,3),則此二次函數(shù)的解析式為()A.y=3x2-9B.y=3x2+9C.y=-3x2-9D.y=-3x2+92.若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),且過點(diǎn)(0,3),則此二次函數(shù)的解析式是()A.y=-(x-2)2-1B.y=-12(x-2)2-1C.y=(x-2)2-1D.y=12(x-2)2-13.二次函數(shù)y=x2+bx+c,若b+c=0,則它的圖象一定過點(diǎn)()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)4.如圖所示的是函數(shù)y=-(x-h)2+k的圖象,則其解析式為.5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,與y軸的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是.6.試寫出一個(gè)開口方向向上,對稱軸為直線x=2,且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)的拋物線的解析式:.7.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,0),(1,2),(-1,-4)三點(diǎn),那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是.8.已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,最大值是0,與y軸的交點(diǎn)是(0,-1),則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.9.已知當(dāng)x=1時(shí),二次函數(shù)有最大值5,且圖象過點(diǎn)(0,3),求此函數(shù)的解析式.10.已知拋物線y=a(x-3)2+2經(jīng)過點(diǎn)(1,-2).(1)求a的值;(2)若點(diǎn)A(m,y1),B(n,y2)(mn3)都在該拋物線上,試比較y1與y2的大小.【能力提升】11.如圖所示,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0)和B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)C,D是二次函數(shù)圖象上的關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B,D.(1)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)求二次函數(shù)的解析式;(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍.12.如圖所示,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),B(-1,0),請解答下列問題:(1