30.1二次函數(shù)

22 1 1二次函數(shù) 第二十二章二次函數(shù) 導(dǎo)入新課 講授新課 當(dāng)堂練習(xí) 課堂小結(jié) 1 理解掌握二次函數(shù)的概念和一般形式 重點(diǎn) 2 會利用二次函數(shù)的概念解決問題 3 會列二次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題 難點(diǎn) 雨后天空的彩虹 公園里的噴泉 跳繩等都會形成一條曲線 這些曲線能否用函數(shù)關(guān)系式表示 導(dǎo)入新課 情境引入 導(dǎo)入新課 視頻引入 思考 視頻中得到的優(yōu)美曲線可以用函數(shù)來表示嗎 1 什么叫函數(shù) 一般地 在一個變化的過程中 如果有兩個變量x與y 并且對于x的每一個確定的值 y都有唯一確定的值與其對應(yīng) 那么我們就說x是自變量 y是x的函數(shù) 3 一元二次方程的一般形式是什么 一般地 形如y kx b k b是常數(shù) k 0 的函數(shù)叫做一次函數(shù) 當(dāng)b 0時 一次函數(shù)y kx就叫做正比例函數(shù) 2 什么是一次函數(shù) 正比例函數(shù) ax2 bx c 0 a 0 問題1正方體六個面是全等的正方形 設(shè)正方體棱長為x 表面積為y 則y關(guān)于x的關(guān)系式為 y 6x2 此式表示了正方體表面積y與正方體棱長x之間的關(guān)系 對于x的每一個值 y都有唯一的一個對應(yīng)值 即y是x的函數(shù) 講授新課 探究歸納 問題2n個球隊參加比賽 每兩個隊之間進(jìn)行一場比賽 比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)n有什么關(guān)系 分析 每個球隊n要與其他個球隊各比賽一場 甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽時同一場比賽 所以比賽的場次數(shù) n 1 答 此式表示了比賽的場次數(shù)m與球隊數(shù)n之間的關(guān)系 對于n的每一個值 m都有唯一的一個對應(yīng)值 即m是n的函數(shù) 問題3某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件 計劃今后兩年增加產(chǎn)量 如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍 那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定 y與x之間的關(guān)系怎樣表示 分析 這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件 一年后的產(chǎn)量是件 再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是件 即兩年后的產(chǎn)量y 20 1 x 20 1 x 2 20 1 x 2 答 y 20 x2 40 x 20 此式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系 對于x的每一個值 y都有唯一的一個對應(yīng)值 即y是x的函數(shù) 問題1 3中函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn) 函數(shù)都是用自變量的二次整式表示的 y 6x2 想一想 y 20 x2 40 x 20 二次函數(shù)的定義 形如y ax bx c a b c是常數(shù) a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 其中x是自變量 a b c分別是二次項系數(shù) 一次項系數(shù)和常數(shù)項 溫馨提示 1 等號左邊是變量y 右邊是關(guān)于自變量x的整式 2 a b c為常數(shù) 且a 0 3 等式的右邊最高次數(shù)為2 可以沒有一次項和常數(shù)項 但不能沒有二次項 歸納總結(jié) 例1下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù) 為什么 x是自變量 y ax2 bx c s 3 2t y x2 y x x 25 y x 3 x 不一定是 缺少a 0的條件 不是 右邊是分式 不是 x的最高次數(shù)是3 y 6x 9 典例精析 判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù) 先看原函數(shù)和整理化簡后的形式再作判斷 除此之外 二次函數(shù)除有一般形式y(tǒng) ax2 bx c a 0 外 還有其特殊形式如y ax2 y ax2 bx y ax2 c等 方法歸納 想一想 二次函數(shù)的一般式y(tǒng) ax2 bx c a 0 與一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有什么聯(lián)系和區(qū)別 聯(lián)系 1 等式一邊都是ax2 bx c且a 0 2 方程ax2 bx c 0可以看成是函數(shù)y ax2 bx c中y 0時得到的 區(qū)別 前者是函數(shù) 后者是方程 等式另一邊前者是y 后者是0 例2 1 m取什么值時 此函數(shù)是正比例函數(shù) 2 m取什么值時 此函數(shù)是二次函數(shù) 解 1 由題可知 解得 2 由題可知 解得 m 3 第 2 問易忽略二次項系數(shù)a 0這一限制條件 從而得出m 3或 3的錯誤答案 需要引起同學(xué)們的重視 1 已知 k取什么值時 y是x的二次函數(shù) 解 當(dāng) 2且k 2 0 即k 2時 y是x的二次函數(shù) 變式訓(xùn)練 m 3 解題小結(jié) 本題考查正比例函數(shù)和二次函數(shù)的概念 這類題需緊扣概念的特征進(jìn)行解題 例3 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次 第1檔次 最低檔次 的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件 每件利潤6元 每提高一個檔次 每件利潤增加2元 但一天產(chǎn)量減少5件 1 若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元 其中x為正整數(shù) 且1 x 10 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 解 第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件 每件利潤6元 每提高一個檔次 每件利潤加2元 但一天產(chǎn)量減少5件 第x檔次 提高了 x 1 檔 利潤增加了2 x 1 元 y 6 2 x 1 95 5 x 1 即y 10 x2 180 x 400 其中x是正整數(shù) 且1 x 10 2 若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元 求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次 解 由題意可得 10 x2 180 x 400 1120 整理得x2 18x 72 0 解得x1 6 x2 12 舍去 所以 該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔 方法總結(jié) 解決此類問題的關(guān)鍵是要吃透題意 確定變量 建立函數(shù)模型 思考 1 已知二次函數(shù)y 10 x2 180 x 400 自變量x的取值范圍是什么 2 在例3中 所得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) 10 x2 180 x 400 其自變量x的取值范圍與1中相同嗎 總結(jié) 二次函數(shù)自變量的取值范圍一般是全體實(shí)數(shù) 但是在實(shí)際問題中 自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義 例4一個二次函數(shù) 1 求k的值 2 當(dāng)x 0 5時 y的值是多少 解得 此類型題考查二次函數(shù)的概念 要抓住二次項系數(shù)不為0及自變量指數(shù)為2這兩個關(guān)鍵條件 求出字母參數(shù)的值 得到函數(shù)解析式 再用代入法將x的值代入其中 求出y的值 歸納總結(jié) 當(dāng)堂練習(xí) 2 函數(shù)y m n x2 mx n是二次函數(shù)的條件是 A m n是常數(shù) 且m 0B m n是常數(shù) 且n 0C m n是常數(shù) 且m nD m n為任何實(shí)數(shù) C 1 把y 2 3x 6 x 變成一般式 二次項為 一次項系數(shù)為 常數(shù)項為 3 下列函數(shù)是二次函數(shù)的是 A y 2x 1B C y 3x2 1D C 3x2 16 12 4 已知函數(shù)y 3x2m 1 5 當(dāng)m 時 y是關(guān)于x的一次函數(shù) 當(dāng)m 時 y是關(guān)于x的反比例函數(shù) 當(dāng)m 時 y是關(guān)于x的二次函數(shù) 1 0 5 若函數(shù)是二次函數(shù) 求 1 求a的值 2 求函數(shù)關(guān)系式 3 當(dāng)x 2時 y的值是多少 2 當(dāng)a 1時 函數(shù)關(guān)系式為 3 將x 2代入函數(shù)關(guān)系式中 有 6 寫出下列各函數(shù)關(guān)系 并判斷它們是什么類型的函數(shù) 1 寫出正方體的表面積S cm2 與正方體棱長a cm 之間的函數(shù)關(guān)系 2 寫出圓的面積y cm2 與它的周長x cm 之間的函數(shù)關(guān)系 3 菱形的兩條對角線的和為26cm 求菱形的面積S cm2 與一對角線長x cm 之間的函數(shù)關(guān)系 7 某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的商品 根據(jù)市場分析 若按每千克50元銷售 一個月能售出500kg 銷售單價每漲1元 月銷售量就減少10kg 針對這種商品的銷售情況 請解答下列問題 1 當(dāng)銷售單價為每千克55元時 計算月銷售量和銷售利潤分別為多少 2 設(shè)銷售單價為每千克x元 月銷售利潤為y元 求y與x的函數(shù)關(guān)系式 不必寫出自變量x的取值范圍 8 矩形的周長為16cm 它的一邊長為x cm 面積為y cm2 求 1 y與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍 2 當(dāng)x 3時矩形的面積 解 1 y 8 x