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海岸線長(zhǎng)度問題 數(shù)學(xué)文化 課程組 經(jīng)典的歐氏幾何學(xué)研究的對(duì)象是那些光滑和規(guī)則的空間形體 它們一般都具有整數(shù)的維數(shù) 比如 零維的點(diǎn) 一維的線 直線與曲線 二維的面 平面和曲面 三維的立體 多面體和球體等 四維的時(shí)空等 然而 自然界是很復(fù)雜的 還普遍存在不光滑和不規(guī)則的空間構(gòu)形 如彎彎曲曲的海岸線 起伏不平的山脈 粗糙不堪的斷面 變幻無常的浮云 九曲回腸的河流 縱橫交錯(cuò)的血管 令人眼花撩亂的滿天繁星等等 所有這些對(duì)象很難 也不可能用歐氏幾何來描述 因?yàn)樗鼈兊木S數(shù)不一定是整數(shù) 而是存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù) 正因?yàn)槿绱诉@些形體一直被視為 病態(tài) 的 數(shù)學(xué)怪物 而被排除在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之外 近幾十年 隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及人們對(duì)物質(zhì)世界和人類社會(huì)看法的改變 數(shù)學(xué)家們開始了對(duì)這個(gè) 數(shù)學(xué)怪物 的探索 產(chǎn)生了幾何學(xué)的新興分支 分形幾何學(xué) 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng) 一 問題的產(chǎn)生 一 問題的產(chǎn)生 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng) 英國(guó)數(shù)學(xué)家理查森 Richardson 1881 1953 查了歐洲許多版本的百科全書 發(fā)現(xiàn)其中對(duì)英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度說法不一 出入最多達(dá)到20 顯然 通常的測(cè)量是不可能產(chǎn)生這么大的誤差的 那這20 的差距是如何產(chǎn)生的呢 對(duì)這一問題進(jìn)行深入研究的是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家 計(jì)算機(jī)專家蒙德爾布羅 Mandelbrot 1924 2010 他于1967年在國(guó)際權(quán)威的美國(guó) 科學(xué) 雜志上發(fā)表了一篇奇怪卻具有劃時(shí)代意義的論文 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng) 統(tǒng)計(jì)自相似性與分?jǐn)?shù)維 文中蒙德爾布羅對(duì)英國(guó)海岸線長(zhǎng)度的問題作出了回答 不過他的回答卻讓人大吃一驚 他認(rèn)為無論測(cè)量的多么仔細(xì)認(rèn)真 都不可能得到英國(guó)海岸線的準(zhǔn)確長(zhǎng)度 因?yàn)楦揪筒粫?huì)有準(zhǔn)確的答案 英國(guó)的海岸線長(zhǎng)度是不確定的 一 問題的產(chǎn)生 1 英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng) 當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺 沒有刻度 來測(cè)量時(shí) 對(duì)海岸線上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線 只能用直線來近似 因此 測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的 如果你用更小的尺子來刻畫這些細(xì)小之處 就會(huì)發(fā)現(xiàn) 這些細(xì)小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的 隨著你不停地縮短你的尺子 你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線就越多 你測(cè)得的曲線長(zhǎng)度也就越大 如果尺子小到無限 測(cè)得的長(zhǎng)度也是無限 劉徽 割圓術(shù) 2 柯克曲線 1904年 瑞典數(shù)學(xué)家柯克 Koch 1870 1924 構(gòu)造了一種雪花形狀的曲線 我們習(xí)慣上稱為柯克雪花曲線 這一曲線巧妙地解釋了蒙德爾布羅的分形幾何思想 其構(gòu)造方法如下 1 取一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形 在每個(gè)邊上以中間的1 3為一邊 向外側(cè)凸出作一個(gè)正三角形 2 將原來邊上中間的1 3部分擦掉 就構(gòu)成了一個(gè)很像雪花形狀的有12條邊的六角星 3 再以上圖中每邊上中間的1 3為一邊 向外凸出作一個(gè)正三角形 然后把原來邊上中間的1 3部分擦掉 就構(gòu)成了一個(gè)更像雪花的六角星 這個(gè)六角星有48條邊 4 重復(fù)以上步驟 不斷做下去 得到的圖形就是柯克雪花曲線 自相似 的特點(diǎn) 柯克曲線自身的任何一個(gè)局部 放大后都與整體非常相似 柯克曲線是通過無限的步驟創(chuàng)造的 這無限步驟中的每一步 都是在上一部圖形的每個(gè)邊上 以中間的1 3為一邊 向外側(cè)突出作一個(gè)正三角形 再把原來邊上中間的1 3部分擦掉 這樣 柯克曲線自身的任何一個(gè)局部 如此不斷地做下去 與整體是非常相似的 Koch曲線 雪花曲線令驚異的性質(zhì)是 它具有有限的面積 但卻有著無限的周長(zhǎng) 雪花曲線的周長(zhǎng)持續(xù)增加而沒有界限 但整條曲線卻可以畫在一張很小的紙上 所以它的面積是有限的 實(shí)際上其面積等于原三角形面積的8 5倍 蒙德爾布羅認(rèn)為 海岸線更接近于柯克曲線的形式 1 海岸線是沒有規(guī)則的 不能用函數(shù)表達(dá)出來 2 海岸線在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性 3 海岸線的部分和整體是很相似的 無論從遠(yuǎn)處觀察還是從近處觀察都一樣復(fù)雜 有自相似性 二 分形 1 客觀世界的 分形 B B Mandelbrot 我從拉丁文形容詞fractus 分裂的 造出了fractal 分形 這個(gè)詞 相應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞fragere的意義是 使碎裂 造成不規(guī)則的碎片 多么符合我們的需要啊 這樣 除了 分裂的 像在 分?jǐn)?shù) 或 折射 中那樣 fracus還應(yīng)該有 不規(guī)則的 之意 這兩個(gè)意義都繼承保留了下來 客觀世界中更多的是 分形 平面分形圖形 海岸線 柯克曲線 下雨區(qū)域的邊界 指紋和掌紋 河流的水系圖 蝸牛爬過的路線等 空間分形圖形 天空中的云 地面上的山 河流的河道 樹皮 DNA螺旋線 人的血管分叉 閃電的線路 人的經(jīng)絡(luò)等等 山 星云 星云 天空中的云朵 植物的葉子 河流分布圖 整體中的小塊 從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn) 近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明 其外形大致和以前觀察的整體形狀相似 自然界提供了許多分形實(shí)例 例如 羊齒植物 菜花和硬花甘蘭 以及許多其他植物 它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似 其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長(zhǎng)后就變成大尺度上的特征 B B Mandelbrot 1 蒙德爾布羅集 分形的標(biāo)志 2 分形圖形欣賞 M集的局部放大 M集的多局部放大 2 Cantor三分集 最簡(jiǎn)單的分形 3 謝爾賓斯基 墊片 3 謝爾賓斯基 地毯 4 門格爾海綿 4 門格爾海綿 謝爾賓斯基金字塔 3 分形維數(shù)的定義 用迭代函數(shù)算法畫的樹 分形藝術(shù)圖片欣賞 美國(guó)氣象學(xué)家E N Lorenz在天氣預(yù)報(bào)中的發(fā)現(xiàn)是混沌認(rèn)識(shí)過程中的一個(gè)里程碑 天氣預(yù)報(bào)是怎么做出來的 1 分析 研究和總結(jié)天氣的規(guī)律 2 將這些規(guī)律表示成微分方程的形式 3 編程輸入計(jì)算機(jī)作為一個(gè)固定的模式 4 采樣 當(dāng)?shù)亟裉旄鱾€(gè)時(shí)間的氣溫 空氣濕度 氣壓 風(fēng)向 風(fēng)力等數(shù)據(jù) 5 將所得的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī) 通過程序得到明天各個(gè)時(shí)間的數(shù)據(jù) 6 計(jì)算機(jī)自動(dòng)將明天各個(gè)時(shí)間的數(shù)據(jù)輸入 得到后天的數(shù)據(jù) 7 重復(fù) 6 得到近幾天的天氣預(yù)報(bào) 三 混沌 1 洛侖茲的天氣預(yù)報(bào) 1963年 他在麻省理工學(xué)院操作著一臺(tái)當(dāng)時(shí)比較的先進(jìn)工具 計(jì)算機(jī)進(jìn)行天氣模擬 試圖進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào) Lorenz發(fā)現(xiàn) 天氣運(yùn)動(dòng)的規(guī)律不同于人們通常研究的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 人們通常研究的物質(zhì)運(yùn)動(dòng) 小的初值改變只會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的小改變 而天氣運(yùn)動(dòng)不然 天氣運(yùn)動(dòng)是 混沌 運(yùn)動(dòng) Lorenz發(fā)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要特點(diǎn) 1 對(duì)初值極端敏感 2 解并不是完全隨機(jī)的 Lorenz之后 混沌學(xué)的研究開始蓬勃發(fā)展 三 混沌 1 洛侖茲的天氣預(yù)報(bào) 三 混沌 洛侖茲 巴西的蝴蝶扇一下翅膀 可能會(huì)引起幾周后美國(guó)德克薩斯州有一場(chǎng)風(fēng)暴 蝴蝶效應(yīng) butterflyeffect 蝴蝶效應(yīng)的原因就是蝴蝶扇動(dòng)翅膀的運(yùn)動(dòng) 導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化 并產(chǎn)生微弱的氣流 而微弱的氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化 由此引起一個(gè)連鎖反應(yīng) 最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化 蝴蝶效應(yīng)是指在一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)中 初始條件下微小的變化能帶動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期的巨大的連鎖反應(yīng) 這是一種混沌現(xiàn)象 三 混沌 三 混沌 蝴蝶效應(yīng)被應(yīng)用在天氣 股票市場(chǎng)等在一定時(shí)段難以預(yù)測(cè)的比較復(fù)雜的系統(tǒng)中 在社會(huì)學(xué) 心理學(xué)領(lǐng)域均有應(yīng)用 心理學(xué)中的蝴蝶效應(yīng)是指一件表面上看來毫無關(guān)系 非常微小的事情 可能帶來巨大的改變 此效應(yīng)說明 事物發(fā)展的結(jié)果 對(duì)初始條件具有極為敏感的依賴性 初始條件的極小偏差 將會(huì)引起結(jié)果的極大差異 當(dāng)一個(gè)人小時(shí)候受到微小的心理刺激 長(zhǎng)大后這個(gè)刺激會(huì)被放大 三 混沌 蝴蝶效應(yīng)之所以令人著迷 令人激動(dòng) 發(fā)人深省 不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩 更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力 西方民謠 釘子缺 蹄鐵卸 蹄鐵卸 戰(zhàn)馬蹶 戰(zhàn)馬蹶 騎士絕 騎士絕 戰(zhàn)事折 戰(zhàn)事折 國(guó)家滅 丟失一個(gè)釘子 壞了一只蹄鐵 壞了一只蹄鐵 折了一匹戰(zhàn)馬 折了一匹戰(zhàn)馬 傷了一位騎士 傷了一位騎士 輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗 輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗 亡了一個(gè)帝國(guó) 三 混沌 假設(shè)美國(guó)此時(shí)有一個(gè)人抽煙 不小心把沒熄滅的煙頭扔在了床邊 然后出門上班了 大約20分鐘后 煙頭慢慢引燃床單 火越來越大 逐漸蔓延到左鄰右舍 引起煤氣罐的連環(huán)爆炸 這時(shí)的美國(guó)人已經(jīng)對(duì) 恐怖襲擊 膽戰(zhàn)心驚 而這個(gè)肇事者 扔煙頭的人 卻忘了自己曾扔過煙頭 于是在一時(shí)無法查明原因的情況下 暫時(shí)被定為 恐怖襲擊 這樣 驚恐萬狀的人們紛紛拋售股票 引起股市大跌 人們下降的消費(fèi)信心影響了整個(gè)美國(guó)經(jīng)濟(jì) 最后造成美元貶值 由于美元的持續(xù)貶值 使得以美元標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)性原材料價(jià)格上揚(yáng) 盯住美元的人民幣價(jià)格也相應(yīng)上揚(yáng) 從而導(dǎo)致以原材料為基礎(chǔ)的商品價(jià)格上漲 引發(fā)中國(guó)的成本拉動(dòng)型通貨膨脹 一個(gè)美國(guó)人抽煙和中國(guó)的通貨膨脹的關(guān)系 邏輯斯蒂映射 Logistic 首先選定一個(gè)在 0 4 區(qū)間內(nèi)的參數(shù)k 然后對(duì)于任意一個(gè) 0 1 區(qū)間內(nèi)的初始值x 0 我們令x 1 kx 0 1 x 0 由均值不等式可知x 1也在 0 1 區(qū)間內(nèi) 可以繼續(xù)令x 2 kx 1 1 x 1 生物種群數(shù)量數(shù)學(xué)模型 對(duì)于取值不太大的k 通過多次迭代發(fā)現(xiàn)不管初始值如何 最后結(jié)果總是穩(wěn)定的 而且穩(wěn)定狀態(tài)不依賴于初始值 但當(dāng)k超過3時(shí) 情況發(fā)生了變化 穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)值 繼續(xù)增大k到3 444 時(shí) 周期2的穩(wěn)定狀態(tài)也不再出現(xiàn) 出現(xiàn)周期4循環(huán) 當(dāng)增大到3 56 周期又加倍到8 到3 567 周期達(dá)到16 此后便是更快速的32 64 128 周期倍增數(shù)列 這種倍周期分岔速度如此之快 以至到3 5699 就結(jié)束了 倍周期分岔現(xiàn)象突然中斷 周期性讓位于混沌 四 關(guān)于混沌的思考 1 混沌的特點(diǎn)1 混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性 這種隨機(jī)性與我們過去所了解的隨機(jī)性現(xiàn)象 比如拋硬幣等有很大的區(qū)別 2 混沌對(duì)初值的敏感依賴性 在線性系統(tǒng)中 小擾動(dòng)只產(chǎn)生結(jié)果的小偏差 但對(duì)混沌系統(tǒng) 則是 失之毫厘 謬以千里 3 混沌不是簡(jiǎn)單的無序 更不是通常意義下的有序 2 混沌的意義1 混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)危機(jī)是不同的 數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對(duì)于數(shù)學(xué)根基的質(zhì)疑 而混沌則是人們?cè)诳此坪?jiǎn)單的問題中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的現(xiàn)象 2 混沌絕不單單是有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象 混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象 它使我們對(duì)物質(zhì)世界有了更深一層的認(rèn)識(shí) 為我們研究自然的復(fù)雜性開辟了一條道路 同時(shí)也引出了關(guān)于物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)論上的一些哲學(xué)思考 五 混沌學(xué)的應(yīng)用 1 通過對(duì)生命現(xiàn)象進(jìn)行的考察 發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期 又不可能屬于純粹隨機(jī) 它們既有與自然界周期 季節(jié) 晝夜等 協(xié)調(diào)的一面 又有著內(nèi)在的復(fù)雜性質(zhì) 20世紀(jì)20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過心臟搏動(dòng) 近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混沌運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系 如果考察人類腦電波 對(duì)比就更為尖銳 癲癇患者發(fā)病時(shí)的腦電波呈明顯的周期性 而正常人的腦電波近乎隨機(jī)訊號(hào) 進(jìn)一步測(cè)量表明它們不是隨機(jī)的 而是接近于混沌系統(tǒng) 雖然距離最終認(rèn)清它們還很遠(yuǎn) 但現(xiàn)在已有人進(jìn)行利用混沌過程預(yù)測(cè)和控制癲癇 心律不齊等等病癥 2 對(duì)于氣象學(xué)研究方面 似乎混沌動(dòng)力學(xué)的發(fā)展排除了長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的可能性 但是另一方面我們現(xiàn)在對(duì)于預(yù)報(bào)問題有了更符合實(shí)際的態(tài)度 其實(shí)對(duì)短期預(yù)報(bào)和長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的要求從來不同 只有對(duì)于短期預(yù)報(bào) 我們才關(guān)心變化的細(xì)節(jié) 對(duì)于長(zhǎng)期預(yù)報(bào) 人們更注意各種平均量的發(fā)展趨勢(shì) 例如今后20年內(nèi)華北年降水量的多少 混沌動(dòng)力學(xué)的進(jìn)步 恰恰在這