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海岸線長度問題 數學文化 課程組 經典的歐氏幾何學研究的對象是那些光滑和規(guī)則的空間形體 它們一般都具有整數的維數 比如 零維的點 一維的線 直線與曲線 二維的面 平面和曲面 三維的立體 多面體和球體等 四維的時空等 然而 自然界是很復雜的 還普遍存在不光滑和不規(guī)則的空間構形 如彎彎曲曲的海岸線 起伏不平的山脈 粗糙不堪的斷面 變幻無常的浮云 九曲回腸的河流 縱橫交錯的血管 令人眼花撩亂的滿天繁星等等 所有這些對象很難 也不可能用歐氏幾何來描述 因為它們的維數不一定是整數 而是存在一個分數維數 正因為如此這些形體一直被視為 病態(tài) 的 數學怪物 而被排除在傳統(tǒng)數學之外 近幾十年 隨著科學技術的迅猛發(fā)展以及人們對物質世界和人類社會看法的改變 數學家們開始了對這個 數學怪物 的探索 產生了幾何學的新興分支 分形幾何學 英國的海岸線有多長 一 問題的產生 一 問題的產生 英國的海岸線有多長 英國數學家理查森 Richardson 1881 1953 查了歐洲許多版本的百科全書 發(fā)現其中對英國海岸線的長度說法不一 出入最多達到20 顯然 通常的測量是不可能產生這么大的誤差的 那這20 的差距是如何產生的呢 對這一問題進行深入研究的是美籍法國數學家 計算機專家蒙德爾布羅 Mandelbrot 1924 2010 他于1967年在國際權威的美國 科學 雜志上發(fā)表了一篇奇怪卻具有劃時代意義的論文 英國的海岸線有多長 統(tǒng)計自相似性與分數維 文中蒙德爾布羅對英國海岸線長度的問題作出了回答 不過他的回答卻讓人大吃一驚 他認為無論測量的多么仔細認真 都不可能得到英國海岸線的準確長度 因為根本就不會有準確的答案 英國的海岸線長度是不確定的 一 問題的產生 1 英國的海岸線有多長 當你用一把固定長度的直尺 沒有刻度 來測量時 對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線 只能用直線來近似 因此 測得的長度是不精確的 如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處 就會發(fā)現 這些細小之處同樣也是無數的曲線近似而成的 隨著你不停地縮短你的尺子 你發(fā)現的細小曲線就越多 你測得的曲線長度也就越大 如果尺子小到無限 測得的長度也是無限 劉徽 割圓術 2 柯克曲線 1904年 瑞典數學家柯克 Koch 1870 1924 構造了一種雪花形狀的曲線 我們習慣上稱為柯克雪花曲線 這一曲線巧妙地解釋了蒙德爾布羅的分形幾何思想 其構造方法如下 1 取一個邊長為1的正三角形 在每個邊上以中間的1 3為一邊 向外側凸出作一個正三角形 2 將原來邊上中間的1 3部分擦掉 就構成了一個很像雪花形狀的有12條邊的六角星 3 再以上圖中每邊上中間的1 3為一邊 向外凸出作一個正三角形 然后把原來邊上中間的1 3部分擦掉 就構成了一個更像雪花的六角星 這個六角星有48條邊 4 重復以上步驟 不斷做下去 得到的圖形就是柯克雪花曲線 自相似 的特點 柯克曲線自身的任何一個局部 放大后都與整體非常相似 柯克曲線是通過無限的步驟創(chuàng)造的 這無限步驟中的每一步 都是在上一部圖形的每個邊上 以中間的1 3為一邊 向外側突出作一個正三角形 再把原來邊上中間的1 3部分擦掉 這樣 柯克曲線自身的任何一個局部 如此不斷地做下去 與整體是非常相似的 Koch曲線 雪花曲線令驚異的性質是 它具有有限的面積 但卻有著無限的周長 雪花曲線的周長持續(xù)增加而沒有界限 但整條曲線卻可以畫在一張很小的紙上 所以它的面積是有限的 實際上其面積等于原三角形面積的8 5倍 蒙德爾布羅認為 海岸線更接近于柯克曲線的形式 1 海岸線是沒有規(guī)則的 不能用函數表達出來 2 海岸線在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性 3 海岸線的部分和整體是很相似的 無論從遠處觀察還是從近處觀察都一樣復雜 有自相似性 二 分形 1 客觀世界的 分形 B B Mandelbrot 我從拉丁文形容詞fractus 分裂的 造出了fractal 分形 這個詞 相應的拉丁文動詞fragere的意義是 使碎裂 造成不規(guī)則的碎片 多么符合我們的需要啊 這樣 除了 分裂的 像在 分數 或 折射 中那樣 fracus還應該有 不規(guī)則的 之意 這兩個意義都繼承保留了下來 客觀世界中更多的是 分形 平面分形圖形 海岸線 柯克曲線 下雨區(qū)域的邊界 指紋和掌紋 河流的水系圖 蝸牛爬過的路線等 空間分形圖形 天空中的云 地面上的山 河流的河道 樹皮 DNA螺旋線 人的血管分叉 閃電的線路 人的經絡等等 山 星云 星云 天空中的云朵 植物的葉子 河流分布圖 整體中的小塊 從遠處看是不成形的小點 近處看則發(fā)現它變得輪廓分明 其外形大致和以前觀察的整體形狀相似 自然界提供了許多分形實例 例如 羊齒植物 菜花和硬花甘蘭 以及許多其他植物 它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似 其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征 B B Mandelbrot 1 蒙德爾布羅集 分形的標志 2 分形圖形欣賞 M集的局部放大 M集的多局部放大 2 Cantor三分集 最簡單的分形 3 謝爾賓斯基 墊片 3 謝爾賓斯基 地毯 4 門格爾海綿 4 門格爾海綿 謝爾賓斯基金字塔 3 分形維數的定義 用迭代函數算法畫的樹 分形藝術圖片欣賞 美國氣象學家E N Lorenz在天氣預報中的發(fā)現是混沌認識過程中的一個里程碑 天氣預報是怎么做出來的 1 分析 研究和總結天氣的規(guī)律 2 將這些規(guī)律表示成微分方程的形式 3 編程輸入計算機作為一個固定的模式 4 采樣 當地今天各個時間的氣溫 空氣濕度 氣壓 風向 風力等數據 5 將所得的數據輸入計算機 通過程序得到明天各個時間的數據 6 計算機自動將明天各個時間的數據輸入 得到后天的數據 7 重復 6 得到近幾天的天氣預報 三 混沌 1 洛侖茲的天氣預報 1963年 他在麻省理工學院操作著一臺當時比較的先進工具 計算機進行天氣模擬 試圖進行長期天氣預報 Lorenz發(fā)現 天氣運動的規(guī)律不同于人們通常研究的物質運動規(guī)律 人們通常研究的物質運動 小的初值改變只會導致結果的小改變 而天氣運動不然 天氣運動是 混沌 運動 Lorenz發(fā)現混沌運動的兩個重要特點 1 對初值極端敏感 2 解并不是完全隨機的 Lorenz之后 混沌學的研究開始蓬勃發(fā)展 三 混沌 1 洛侖茲的天氣預報 三 混沌 洛侖茲 巴西的蝴蝶扇一下翅膀 可能會引起幾周后美國德克薩斯州有一場風暴 蝴蝶效應 butterflyeffect 蝴蝶效應的原因就是蝴蝶扇動翅膀的運動 導致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化 并產生微弱的氣流 而微弱的氣流的產生又會引起四周空氣或其他系統(tǒng)產生相應的變化 由此引起一個連鎖反應 最終導致其他系統(tǒng)的極大變化 蝴蝶效應是指在一個動力系統(tǒng)中 初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期的巨大的連鎖反應 這是一種混沌現象 三 混沌 三 混沌 蝴蝶效應被應用在天氣 股票市場等在一定時段難以預測的比較復雜的系統(tǒng)中 在社會學 心理學領域均有應用 心理學中的蝴蝶效應是指一件表面上看來毫無關系 非常微小的事情 可能帶來巨大的改變 此效應說明 事物發(fā)展的結果 對初始條件具有極為敏感的依賴性 初始條件的極小偏差 將會引起結果的極大差異 當一個人小時候受到微小的心理刺激 長大后這個刺激會被放大 三 混沌 蝴蝶效應之所以令人著迷 令人激動 發(fā)人深省 不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩 更在于其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力 西方民謠 釘子缺 蹄鐵卸 蹄鐵卸 戰(zhàn)馬蹶 戰(zhàn)馬蹶 騎士絕 騎士絕 戰(zhàn)事折 戰(zhàn)事折 國家滅 丟失一個釘子 壞了一只蹄鐵 壞了一只蹄鐵 折了一匹戰(zhàn)馬 折了一匹戰(zhàn)馬 傷了一位騎士 傷了一位騎士 輸了一場戰(zhàn)斗 輸了一場戰(zhàn)斗 亡了一個帝國 三 混沌 假設美國此時有一個人抽煙 不小心把沒熄滅的煙頭扔在了床邊 然后出門上班了 大約20分鐘后 煙頭慢慢引燃床單 火越來越大 逐漸蔓延到左鄰右舍 引起煤氣罐的連環(huán)爆炸 這時的美國人已經對 恐怖襲擊 膽戰(zhàn)心驚 而這個肇事者 扔煙頭的人 卻忘了自己曾扔過煙頭 于是在一時無法查明原因的情況下 暫時被定為 恐怖襲擊 這樣 驚恐萬狀的人們紛紛拋售股票 引起股市大跌 人們下降的消費信心影響了整個美國經濟 最后造成美元貶值 由于美元的持續(xù)貶值 使得以美元標價的基礎性原材料價格上揚 盯住美元的人民幣價格也相應上揚 從而導致以原材料為基礎的商品價格上漲 引發(fā)中國的成本拉動型通貨膨脹 一個美國人抽煙和中國的通貨膨脹的關系 邏輯斯蒂映射 Logistic 首先選定一個在 0 4 區(qū)間內的參數k 然后對于任意一個 0 1 區(qū)間內的初始值x 0 我們令x 1 kx 0 1 x 0 由均值不等式可知x 1也在 0 1 區(qū)間內 可以繼續(xù)令x 2 kx 1 1 x 1 生物種群數量數學模型 對于取值不太大的k 通過多次迭代發(fā)現不管初始值如何 最后結果總是穩(wěn)定的 而且穩(wěn)定狀態(tài)不依賴于初始值 但當k超過3時 情況發(fā)生了變化 穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)閮蓚€數值 繼續(xù)增大k到3 444 時 周期2的穩(wěn)定狀態(tài)也不再出現 出現周期4循環(huán) 當增大到3 56 周期又加倍到8 到3 567 周期達到16 此后便是更快速的32 64 128 周期倍增數列 這種倍周期分岔速度如此之快 以至到3 5699 就結束了 倍周期分岔現象突然中斷 周期性讓位于混沌 四 關于混沌的思考 1 混沌的特點1 混沌是決定論系統(tǒng)的內在隨機性 這種隨機性與我們過去所了解的隨機性現象 比如拋硬幣等有很大的區(qū)別 2 混沌對初值的敏感依賴性 在線性系統(tǒng)中 小擾動只產生結果的小偏差 但對混沌系統(tǒng) 則是 失之毫厘 謬以千里 3 混沌不是簡單的無序 更不是通常意義下的有序 2 混沌的意義1 混沌的發(fā)現與數學史上的數學危機是不同的 數學危機是人們對于數學根基的質疑 而混沌則是人們在看似簡單的問題中發(fā)現了復雜的現象 2 混沌絕不單單是有趣的數學現象 混沌是比有序更為普遍的現象 它使我們對物質世界有了更深一層的認識 為我們研究自然的復雜性開辟了一條道路 同時也引出了關于物質世界認識論上的一些哲學思考 五 混沌學的應用 1 通過對生命現象進行的考察 發(fā)現各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期 又不可能屬于純粹隨機 它們既有與自然界周期 季節(jié) 晝夜等 協(xié)調的一面 又有著內在的復雜性質 20世紀20年代后期已經有人用非線性電路模擬過心臟搏動 近幾年更發(fā)現了心律不齊等病癥與混沌運動的聯系 如果考察人類腦電波 對比就更為尖銳 癲癇患者發(fā)病時的腦電波呈明顯的周期性 而正常人的腦電波近乎隨機訊號 進一步測量表明它們不是隨機的 而是接近于混沌系統(tǒng) 雖然距離最終認清它們還很遠 但現在已有人進行利用混沌過程預測和控制癲癇 心律不齊等等病癥 2 對于氣象學研究方面 似乎混沌動力學的發(fā)展排除了長期預報的可能性 但是另一方面我們現在對于預報問題有了更符合實際的態(tài)度 其實對短期預報和長期預報的要求從來不同 只有對于短期預報 我們才關心變化的細節(jié) 對于長期預報 人們更注意各種平均量的發(fā)展趨勢 例如今后20年內華北年降水量的多少 混沌動力學的進步 恰恰在這