統(tǒng)計學(xué)原理重要公式.doc

一加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)： 或 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)： 頻數(shù)也稱次數(shù)。在一組依大小順序排列的測量值中，當(dāng)按一定的組距將其分組時出現(xiàn)在各組內(nèi)的測量值的數(shù)目，即落在各類別（分組）中的數(shù)據(jù)個數(shù)。 再如在3.14159265358979324中，9出現(xiàn)的頻數(shù)是3，出現(xiàn)的頻率是3/18=16.7% 一般我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與總數(shù)的比為頻率。 頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。 在變量分配數(shù)列中，頻數(shù)（頻率）表明對應(yīng)組標(biāo)志值的作用程度。頻數(shù)（頻率）數(shù)值越大表明該組標(biāo)志值對于總體水平所起的作用也越大，反之，頻數(shù)（頻率）數(shù)值越小，表明該組標(biāo)志值對于總體水平所起的作用越小。 擲硬幣實驗：在10次擲硬幣中，有4次正面朝上，我們說這10次試驗中正面朝上的頻數(shù)是4 例題：我們經(jīng)常擲硬幣，在擲了一百次后，硬幣有40次正面朝上，那么，硬幣反面朝上的頻數(shù)為_. 解答，擲了硬幣100次，40次朝上，則有100-40=60（次）反面朝上，所以硬幣反面朝上的頻數(shù)為60. 一加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)： 或 代表算術(shù)平均數(shù)；是總和符合；f為標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是具有不同比重的數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的算術(shù)平均數(shù)。比重也稱為權(quán)重，數(shù)據(jù)的權(quán)重反映了該變量在總體中的相對重要性，每種變量的權(quán)重的確定與一定的理論經(jīng)驗或變量在總體中的比重有關(guān)。依據(jù)各個數(shù)據(jù)的重要性系數(shù)(即權(quán)重)進(jìn)行相乘后再相加求和，就是加權(quán)和。加權(quán)和與所有權(quán)重之和的比等于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù) = 各組（變量值 次數(shù)）之和 / 各組次數(shù)之和 = xf / f 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)： 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)以各組單位數(shù)f為權(quán)數(shù)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)以各組標(biāo)志總量m為權(quán)數(shù)但計算內(nèi)容和結(jié)果都是相同的。二標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計算方法標(biāo)準(zhǔn)差： =公式標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖。 簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。 例如，兩組數(shù)的集合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。 標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)（同時與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。 標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì)，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.07分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分（此數(shù)據(jù)時在R統(tǒng)計軟件中運行獲得），說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)除以n 如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)除以（n-1) 因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以（n-1) 公式意義 所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一)，再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差越高,表示實驗數(shù)據(jù)越離散,也就是說越不精確 反之,標(biāo)準(zhǔn)差越低,代表實驗的數(shù)據(jù)越精確 離散度標(biāo)準(zhǔn)差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目 的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實值 是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。 雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂螅粋€好的檢測方法，基檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如何不緊密，那距真實值的就會大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的好壞的 最重要也是最基本的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)： 標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)又均方差系數(shù)。反映標(biāo)志變動程度的相對指標(biāo)。 式中：V為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；為標(biāo)準(zhǔn)差； 為平均數(shù)。當(dāng)以樣本標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（稱變異系數(shù)/離散系數(shù)）估計總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)時，VS= 式中：VS為變異系數(shù)；S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。對于不同水平的總體不宜直接用標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)進(jìn)行對比，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)能更好的反映不同水平總體的標(biāo)志變動度。 標(biāo)準(zhǔn)差變動系數(shù)為標(biāo)志變異系數(shù)的一種。標(biāo)志變異系數(shù)指用標(biāo)志變異指標(biāo)與其相應(yīng)的平均指標(biāo)對比，來反應(yīng)總體各單位標(biāo)志值之間離散程度的相對指標(biāo)，一般用v表示。標(biāo)志變異指標(biāo)有全距、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差，相對應(yīng)的，便有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)3種。計算方法為： 標(biāo)志變異系數(shù)=標(biāo)志變異值/相對應(yīng)的平均值三總體平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計。抽樣平均誤差的計算公式： 1總體平均數(shù)： 重復(fù)抽樣： 重復(fù)抽樣又稱放回式抽樣。 每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗之后又重新放回總體，參加下次抽樣，這種抽樣的特點是總體中每個樣本單位被抽中的概率是相等的。 不重復(fù)抽樣： 不重復(fù)抽樣亦稱不放回式抽樣。 每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗之后不再放回總體，在下次抽樣時不會再次抽到前面已抽中過的樣品單位。 總體每經(jīng)一次抽樣，其樣品單位數(shù)就減少一個，因此每個樣品單位在各次抽樣中被抽中的概率是不同的。 2總體成數(shù)： 重復(fù)抽樣： 不重復(fù)抽樣： 抽樣極限誤差： 抽樣極限誤差又稱“置信區(qū)間和抽樣允許誤差范圍”，是指在一定的把握程度（P）下保證樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的抽樣誤差不超過某一給定的最大可能范圍，記作。 抽樣極限誤差是指用絕對值形式表示的 樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)偏差的可允許的最大范圍。它表明被估計的總體指標(biāo)有希望落在一個以樣本指標(biāo)為基礎(chǔ)的可能范圍。它是由抽樣指標(biāo)變動可允許的上限或下限與總體指標(biāo)之差的絕對值求得的。 由于總體平均數(shù)和總體成數(shù)是未知的，它要靠實測的抽樣平均數(shù)成數(shù)來估計。因而抽樣極限誤差的實際意義是希望總體平均數(shù)落在抽樣平均數(shù)的范圍內(nèi)，總體成數(shù)落在抽樣成數(shù)的范圍內(nèi)。 基于理論上的要求，抽樣極限誤差需要用抽樣平均誤差或為標(biāo)準(zhǔn)單位來衡量。即把極限誤差x或p相應(yīng)除以或，得出相對的誤差程度t倍，t稱為抽樣誤差的概率度。于是有： 學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)：/tongjixue/1 總體平均數(shù): 定義：總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)。 原理：考察的對象中的每一個考察對象的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)。 2. 總體成數(shù)： pp 總體成數(shù)。它是指總體中具有某一相同標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比重，一般用P表示?？傮w中具有相同標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)用N1表示。 總體平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計:1. 總體平均數(shù): x - tux X x + tux 2. 總體成數(shù)： p - tup p p + tup樣本單位數(shù)的確定：1 總體平均數(shù): 重復(fù)抽樣： n = t22 /2x 不重復(fù)抽樣：n = t22 N /( N2x + t22 )2 總體成數(shù)：重復(fù)抽樣： n = t2p(1-p) /2p不重復(fù)抽樣：n = t2p(1-p) N /( N2p + t2p(1-p) )四相關(guān)系數(shù)的計算、回歸方程的建立和應(yīng)用 相關(guān)系數(shù)的計算： 簡單線性回歸方程的建立： Y = a + bx 其中： 五.統(tǒng)計指數(shù)的編制和兩因素分析1. 綜合指數(shù)的計算（）數(shù)量指標(biāo)指數(shù):( -) （）質(zhì)量指標(biāo)指數(shù): （- ） 2.平均指數(shù)的計算 算術(shù)平均數(shù)指數(shù): .Kq / .Kq- 調(diào)和平均數(shù)指數(shù): / (/Kp) - /Kp 3.復(fù)雜現(xiàn)象總體總量指標(biāo)變動的因素分析 相對數(shù)變動分析： = 絕對值變動分析： -= ( -)（- ） 六.平均發(fā)展水平的計算 1.由總量指標(biāo)動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)(1)由時期數(shù)列計算序時平均數(shù): (2)由間隔相等的時點數(shù)列計算序時平均數(shù): (3)由間隔不相等的時點數(shù)列