【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 10.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)化訓(xùn)練 理 北師大版(1).DOC

10.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理1 分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有nm1m2mn種方法(也稱加法原理)2 分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有nm1m2mn種方法(也稱乘法原理)3 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事的方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成1 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法()2 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有_種答案32解析每位同學(xué)有兩種不同的報(bào)名方法，而且只有這5位同學(xué)全部報(bào)名結(jié)束，才算事件完成所以共有2222232(種)3 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是_答案12解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理，一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長(zhǎng)褲有3種選法，所以有4312(種)選法4 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有_種答案24解析分步完成首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有43224(種)5 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)答案14解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成c4(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成c6(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成c4(個(gè))四位數(shù)綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù)題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1高三一班有學(xué)生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學(xué)生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學(xué)生55人，男生35人，女生20人(1)從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中，或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？思維啟迪用分類加法計(jì)數(shù)原理解(1)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，任選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)主席共有506055165(種)選法(2)完成這件事有三類方法第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法綜上知，共有30302080(種)選法思維升華分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理(1)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？(2)方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么這樣的橢圓有多少個(gè)？解(1)分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位是9，則十位可以是1,2,3，8中的一個(gè)，故有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1,2,3，7中的一個(gè)，故有7個(gè)；同理，個(gè)位是7的有6個(gè)；個(gè)位是6的有5個(gè)；個(gè)位是2的只有1個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的兩位數(shù)有1234567836(個(gè))(2)以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類第一類：m1時(shí)，使nm，n有6種選擇；第二類：m2時(shí)，使nm，n有5種選擇；第三類：m3時(shí)，使nm，n有4種選擇；第四類：m4時(shí)，使nm，n有3種選擇；第五類：m5時(shí)，使nm，n有2種選擇共有6543220(種)方法，即有20個(gè)符合題意的橢圓題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定六名同學(xué)都能參加)(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限思維啟迪可以根據(jù)報(bào)名過程，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理解(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36729(種)(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法654120(種)(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63216(種)思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題：要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事已知集合m3，2，1,0,1,2，若a，b，cm，則：(1)yax2bxc可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)；(2)yax2bxc可以表示多少個(gè)圖像開口向上的二次函數(shù)解(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示566180(個(gè))不同的二次函數(shù)(2)yax2bxc的圖像開口向上時(shí)，a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此yax2bxc可以表示26672(個(gè))圖像開口向上的二次函數(shù)題型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例3如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)思維啟迪染色問題是常見的計(jì)數(shù)應(yīng)用問題，可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類、分步，從不同角度解決問題解方法一可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論由題設(shè)，四棱錐sabcd的頂點(diǎn)s、a、b所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當(dāng)s、a、b染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若c染2，則d可染3或4或5，有3種染法；若c染4，則d可染3或5，有2種染法；若c染5，則d可染3或4，有2種染法可見，當(dāng)s、a、b已染好時(shí)，c、d還有7種染法，故不同的染色方法有607420(種)方法二以s、a、b、c、d順序分步染色第一步，s點(diǎn)染色，有5種方法；第二步，a點(diǎn)染色，與s在同一條棱上，有4種方法；第三步，b點(diǎn)染色，與s、a分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，c點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到d點(diǎn)與s、a、c相鄰，需要針對(duì)a與c是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)a與c同色時(shí)，d點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)a與c不同色時(shí)，因?yàn)閏與s、b也不同色，所以c點(diǎn)有2種染色方法，d點(diǎn)也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322)420(種)方法三按所用顏色種數(shù)分類第一類，5種顏色全用，共有a種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(a與c，或b與d)，共有2a種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則a與c、b與d必定同色，共有a種不同的方法由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為a2aa420(種)思維升華用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)(3)對(duì)于復(fù)雜問題，可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有a12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5123180(種)不同的涂法；當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有18080260(種)不同的涂法對(duì)兩個(gè)基本原理認(rèn)識(shí)不清致誤典例：(10分)(1)把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有()a24種 b4種 c43種 d34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時(shí)間里，火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可有_種易錯(cuò)分析解決計(jì)數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應(yīng)用加法原理和乘法原理來計(jì)算解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清楚導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)于(1)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，誤認(rèn)為每個(gè)信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有注意到一封信只能投在一個(gè)信箱中；對(duì)于(2)，易混淆“類”與“步”，誤認(rèn)為到達(dá)乙地先坐火車后坐輪船，使用乘法原理計(jì)算解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法(2)因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?，乘火車的走法?種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得此人的走法可有437(種)答案(1)c(2)7溫馨提醒(1)每封信只能投到一個(gè)信箱里，而每個(gè)信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應(yīng)注意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇(2)在處理具體的應(yīng)用問題時(shí)，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏方法與技巧1分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事2混合問題一般是先分類再分步3分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏4要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律失誤與防范1切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行2分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步3確定題目中是否有特殊條件限制a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1 從集合1,2,3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()a3 b4 c6 d8答案d解析按從小到大順序有124,139,248,469共4個(gè)，同理按從大到小順序也有4個(gè)，故這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為8個(gè)2 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()a24種 b30種c36種 d48種答案d解析共有432248(種)，故選d.3 集合px,1，qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且pq.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()a9 b14 c15 d21答案b解析當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為177(個(gè))；當(dāng)x2時(shí)，xy，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為717(個(gè))，則共有14個(gè)點(diǎn)，故選b.4 (2013山東)用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()a243 b252 c261 d279答案b解析0,1,2，9共能組成91010900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有998648(個(gè))有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900648252(個(gè))5 (2013四川)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)是()a9 b10 c18 d20答案c解析由于lg alg blg(a0，b0)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為有a20種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)有a220218，選c.二、填空題6 一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5名，女隊(duì)員4名，從中選取男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案20解析先選男隊(duì)員，有5種選法，再選女隊(duì)員有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5420(種)不同的選法7 某次活動(dòng)中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案7 200解析其中最先選出的一個(gè)人有30種方法，此時(shí)不能再?gòu)倪@個(gè)人所在的行和列上選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，故選第二個(gè)人有20種方法，此時(shí)不能再?gòu)脑撊怂诘男泻土猩线x人，還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是3020127 200.8 已知集合m1，2,3，n4,5,6，7，從m，n這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_答案6解析分兩類：第一類，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，有224(個(gè))；第二類，第二象限內(nèi)的點(diǎn)，有122(個(gè))共426(個(gè))三、解答題9 某外語組有9人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)英語，3人會(huì)日語，從中選出會(huì)英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會(huì)英語又會(huì)日語，6人只會(huì)英語，2人只會(huì)日語第一類：從只會(huì)英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有213(種)，此時(shí)共有6318(種)；第二類：不從只會(huì)英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會(huì)日語的有2種，此時(shí)共有122(種)；所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有18220(種)選法10在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為多少？解方法一分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論(1)若0個(gè)相同，則信息為1001.共1個(gè)(2)若1個(gè)相同，則信息為0001,1101,1011,1000.共4個(gè)(3)若2個(gè)相同，又分為以下情況：若位置一與二相同，則信息為0101；若位置一與三相同，則信息為0011；若位置一與四相同，則信息為0000；若位置二與三相同，則信息為1111；若位置二與四相同，則信息為1100；若位置三與四相同，則信息為1010.共6個(gè)故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為14611.方法二若0個(gè)相同，共有1個(gè)；若1個(gè)相同，共有c4(個(gè))；若2個(gè)相同，共有c6(個(gè))故共有14611(個(gè))b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1 三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為()a24 b26 c36 d37答案c解析設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x、y，且不妨設(shè)1xy11，要構(gòu)成三角形，必須xy12.當(dāng)y取11時(shí)，x1,2,3，11，可有11個(gè)三角形；當(dāng)y取10時(shí)，x2,3，10，可有9個(gè)三角形；當(dāng)y取6時(shí)，x只能取6，只有1個(gè)三角形所求三角形的個(gè)數(shù)為119753136.2 將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法種數(shù)為()34a.4 b6 c9 d12答案b解析如圖所示，根據(jù)題意，1,2,9三個(gè)數(shù)字的位置是確定的，余下的數(shù)中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)順序，具體有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合計(jì)6種.12a34bcd93 如圖，一環(huán)形花壇分成a，b，c，d四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()a96 b84 c60 d48答案b解析可依次種a、b、c、d四塊，當(dāng)c與a種同一種花時(shí)，有431336(種)種法；當(dāng)c與a所種花不同時(shí)，有432248(種)種法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的種法總數(shù)為364884.4 直線方程axby0，若從0,1,2,3,5,7這6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為a、b的值，則可表示_條不同的直線答案