（試題 試卷 真題）初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（44）

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（44）數(shù)的整除（二）甲內(nèi)容提要第一講介紹了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然數(shù)的特征，本講將介紹用因式分解方法解答數(shù)的整除問(wèn)題.幾個(gè)常用的定理，公式，法則：n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積能被n！整除.（n的階乘：n！123n）.例如：a為整數(shù)時(shí)，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， 若a 且ac, 則a(bc).若a,b互質(zhì)，且ac, bc ，則abc . 反過(guò)來(lái)也成立：a,b互質(zhì)，abc，則ac, bc.例如：8和15互質(zhì)，8a, 15|a， 則120a. 反過(guò)來(lái)也成立：若120a.則8a, 15|a.由乘法公式（n為正整數(shù)）推得：由(ab)(an-1+an-2b+abn-2+bn-1)=anbn . 得 (ab)|(anbn).(a+b)(a2na2n1b+ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n1a2n2b+ab2n2b2n1)=a2nb2n . (a+b)|(a2nb2n).概括起來(lái)：齊偶數(shù)次冪的差式a2nb2n含有因式ab和ab.齊奇數(shù)次冪的和或差式a2n+1b2n+1或a2n+1b2n+1只分別含有因式ab或ab.例如（a+b）| (a6b6), (ab)| (a8b8)； (a+b)|(a5+b5)， (ab)|(a5b5).乙例題例1. 已知:整數(shù)n2.求證：n55n3+4n能被120整除.證明：n55n3+4nn(n45n2+4)=n(n1)(n+1)(n+2)(n2). (n2) (n1)n(n+1) (n2)是五個(gè)連續(xù)整數(shù)，能被n!整除，120n55n3+4n.例2. 已知：n為正整數(shù).求證：n3+n2+n是3的倍數(shù).證明：n3+n2+nn（2n2+3n+1）=n(n+1)(2n+1) =n(n+1)(n+2+n1)= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n1).3！n(n+1)(n+2)，且3！n(n+1)(n1).3n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n1).即n3+n2+n是3的倍數(shù).（上兩例關(guān)鍵在于創(chuàng)造連續(xù)整數(shù)）例3.求證：332551；1989（1990199019881988）.證明：255125111113211111.(321)|(3211+111 ) ， 即332551.199019901988198819901990198819901988199019881988.（添兩項(xiàng)）（19901988）（1990199019881990）.即19892（1990199019881990）.1988199019881988=19881988(198821)19881988（19881）（19881）.即199019901988198819892N1989198819881987.（N是整數(shù)）19891990199019881988.例4設(shè)n是正整數(shù)，求證：7（32n+1+2n+2）. 證明：32n+1+2n+2332n+42n=39 n+42 n32n32n（添兩項(xiàng)）（42 n32n）（39 n32n）（43）3（9 n2n）72 n3（92）N . （N是整數(shù)）7（32n+1+2n+2）（例3，4是設(shè)法利用乘法公式）例5. 已知能被33整除，求x,y的值.解：33311，19+x+y+8+7其和是3的倍數(shù)，即x+y=3K25 (k為整數(shù)).又（1x+8）(9+y+7)其差是11的倍數(shù)，即xy=11h+7(h是整數(shù)).0x9，0y9，0xy18，9xy9，x+yxy, 且 x+y和xy同是奇數(shù)或偶數(shù).符合條件的有.解得.例6.設(shè)N，且17N, 求x.解：N2078100x=171224176x2x17（1226x）+42x.17N，1742x ，當(dāng) 42x=0. x=2.丙練習(xí)441. 要使2n+1能被3整除，整數(shù)n應(yīng)取，若6（5 n1）, 則整數(shù)n應(yīng)取.2. 求證：4!|（n4+2n3n22n）； 24n(n21)(3n+2)；6（n3+11n）； 30（n 5n）.3. 求證：10099101）；57（2333372222）；995（996996994994）；1992（997997995995）.4. 設(shè)n是正整數(shù)，求證3 n+3n+2+62n能被33整除.5