AR,MA,ARIMA模型介紹及案例分析.docx

資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 謝謝 BOX-JENKINS預(yù)測(cè)法1 適用于平穩(wěn)時(shí)序的三種基本模型（1）模型（Auto regression Model）自回歸模型階自回歸模型：yt=c+1yt-1+2yt-2+pyt-p+et式中，yt為時(shí)間序列第t時(shí)刻的觀察值，即為因變量或稱被解釋變量；yt-1，yt-2，yt-p為時(shí)序yt的滯后序列，這里作為自變量或稱為解釋變量；et是隨機(jī)誤差項(xiàng)；c，1，2，p為待估的自回歸參數(shù)。（2）模型（Moving Average Model）移動(dòng)平均模型階移動(dòng)平均模型：式中，為時(shí)間序列的平均數(shù)，但當(dāng)序列在0上下變動(dòng)時(shí)，顯然=0，可刪除此項(xiàng)；，為模型在第期，第期，第期的誤差；，為待估的移動(dòng)平均參數(shù)。（3）模型自回歸移動(dòng)平均模型（Auto regression Moving Average Model）模型的形式為：顯然，模型為自回歸模型和移動(dòng)平均模型的混合模型。當(dāng)=0,時(shí)，退化為純自回歸模型；當(dāng)=0時(shí)，退化為移動(dòng)平均模型。2 改進(jìn)的ARMA模型（1）模型這里的是對(duì)原時(shí)序進(jìn)行逐期差分的階數(shù)，差分的目的是為了讓某些非平穩(wěn)（具有一定趨勢(shì)的）序列變換為平穩(wěn)的，通常來說的取值一般為0,1,2。對(duì)于具有趨勢(shì)性非平穩(wěn)時(shí)序，不能直接建立模型，只能對(duì)經(jīng)過平穩(wěn)化處理，而后對(duì)新的平穩(wěn)時(shí)序建立模型。這里的平文化處理可以是差分處理，也可以是對(duì)數(shù)變換，也可以是兩者相結(jié)合，先對(duì)數(shù)變換再進(jìn)行差分處理。（2）模型對(duì)于具有季節(jié)性的非平穩(wěn)時(shí)序（如冰箱的銷售量，羽絨服的銷售量），也同樣需要進(jìn)行季節(jié)差分，從而得到平穩(wěn)時(shí)序。這里的即為進(jìn)行季節(jié)差分的階數(shù)；分別是季節(jié)性自回歸階數(shù)和季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù)；為季節(jié)周期的長(zhǎng)度，如時(shí)序?yàn)樵露葦?shù)據(jù)，則=12，時(shí)序?yàn)榧径葦?shù)據(jù)，則=4。在SPSS19.0中的操作如下l 必須要先打開一個(gè)數(shù)據(jù)源，才可以定義日期l 數(shù)據(jù)定義日期選擇日期的起始點(diǎn)，此時(shí)變量欄中會(huì)出現(xiàn)日期變量。（3）模型在模型中，再加入除自身滯后時(shí)序變量以外的解釋變量。3 模型的識(shí)別模型的識(shí)別的本質(zhì)是確定中的以及與的取值。借助于自相關(guān)函數(shù)（Auto correlation Function, ACF）以及自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)函數(shù)（Partial Correlation Function, PACF）以及偏自相關(guān)分析圖來識(shí)別時(shí)序特性，并進(jìn)一步確定、。3.1 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)是時(shí)間序列諸項(xiàng)之間的簡(jiǎn)單相關(guān)。它的含義與相關(guān)分析中變量之間的簡(jiǎn)單相關(guān)一樣，只不過它所涉及的是同一序列自身，因而稱作自相關(guān)。自相關(guān)程度的大小，用自相關(guān)系數(shù)度量。式中，為樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；為滯后期；為樣本數(shù)據(jù)平均值。自相關(guān)系數(shù)，可看作自變量的函數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)。它表示時(shí)間序列滯后個(gè)時(shí)間段的兩項(xiàng)之間相關(guān)的程度。如表示每相鄰兩項(xiàng)間的相關(guān)程度；表示每隔一項(xiàng)的兩個(gè)觀察值得相關(guān)程度。隨機(jī)序列自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布，近似于以0為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。自相關(guān)系數(shù)的95%置信區(qū)間為，此處。如果一個(gè)時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)全部落入這個(gè)區(qū)間，則認(rèn)為該序列是純隨機(jī)序列。將時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)繪制成圖，并標(biāo)出一定的置信區(qū)間（通常采用倍標(biāo)準(zhǔn)差作為置信區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)），被稱作自相關(guān)分析圖。SPSS19.0中的操作1. 輸入變量數(shù)據(jù)；定義時(shí)間序列日期（數(shù)據(jù)定義日期）2. 分析預(yù)測(cè)自相關(guān)（如下）；將要分析的變量從左側(cè)移入右側(cè)變量框中3. 勾選自相關(guān)、偏自相關(guān)，轉(zhuǎn)換暫時(shí)不選（如果為非平穩(wěn)序列，可勾選差分/自然對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，其中差分的階數(shù)需要根據(jù)自相關(guān)圖形來確定，通常為0,1,2）未進(jìn)行差分處理，由圖可知幾乎一半的自相關(guān)系數(shù)未進(jìn)入置信區(qū)間，說明該序列非平穩(wěn)，此時(shí)需要進(jìn)行差分處理，即在重復(fù)第2步時(shí)，差分選項(xiàng)選擇1或2。3.2 偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間序列，在給定了的條件下，與之間的條件相關(guān)。由于它需要考慮排除其他滯后期的效應(yīng)，因而被稱為偏自相關(guān)。偏自相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式如下。偏自相關(guān)系數(shù)，可看作自變量的函數(shù)，即偏自相關(guān)函數(shù)，。它用以測(cè)量當(dāng)剔除其他滯后期（）的干擾的條件下，與之間相關(guān)的程度。與自相關(guān)系數(shù)類似，同樣可以采用偏自相關(guān)分析圖來對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別。3.3 ARIMA模型的參數(shù)確定Step1：判斷時(shí)序是否平穩(wěn)，若不平穩(wěn)，經(jīng)過若干次逐期差分或季節(jié)差分使其平穩(wěn)，則可確定和。對(duì)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀，一般和的數(shù)值取0,1或2。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期（一般設(shè)為16）增大，而迅速趨于0，則認(rèn)為該時(shí)序是平穩(wěn)的。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期增大，自相關(guān)系數(shù)ACF不趨于0，則認(rèn)為該時(shí)序是非平穩(wěn)的。更具體地說，若隨著時(shí)滯的增大，自相關(guān)系數(shù)ACF緩慢減小，說明隨著序列兩項(xiàng)間隔的提前，相關(guān)程度變?nèi)酰瑒t序列具有趨勢(shì)性；若對(duì)于季度數(shù)據(jù)或月度數(shù)據(jù)，當(dāng)滯后期為4（或12），8（24）等時(shí)，自相關(guān)系數(shù)ACF顯著地部位0，即在隨機(jī)區(qū)間之外，則意味著該時(shí)序具有季節(jié)性。如果時(shí)序具有趨勢(shì)性，那么需要進(jìn)行逐期差分，由逐期差分的次數(shù)決定的取值；如果序列具有季節(jié)性，那么要進(jìn)行季節(jié)差分，由季節(jié)差分次數(shù)決定的值。左側(cè)圖形為未經(jīng)過差分處理的某城市農(nóng)村居民收入的ACF圖，可以看出自相關(guān)系數(shù)并未迅速趨于0，說明該時(shí)序是非平穩(wěn)的。右側(cè)為該序列的線性圖，也正說明了該時(shí)序是有明顯的上升趨勢(shì)的，需要進(jìn)行差分處理。Step2：經(jīng)差分平穩(wěn)后，確定時(shí)序所適合的模型，其依據(jù)如下表所示。序列特征表模型自相關(guān)函數(shù)拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減截尾拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減偏自相關(guān)函數(shù)截尾（階）拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減拖尾指數(shù)衰減和（或）正弦衰減關(guān)于的取值當(dāng)不包括時(shí)滯（或4），24（或8），取落入隨機(jī)區(qū)間之外的偏相關(guān)系數(shù)PACF的個(gè)數(shù)或與0有顯著差異的PACF的個(gè)數(shù)，取落入隨機(jī)區(qū)間之外的自相關(guān)系數(shù)ACF的個(gè)數(shù)或與0有顯著差異的ACF的個(gè)數(shù)。當(dāng)僅觀察時(shí)滯（或4），24（或8），取顯著不為0的PACF的個(gè)數(shù)，取顯著不為0的季節(jié)自相關(guān)數(shù)目。4 案例分析4.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備某城市農(nóng)村居民收入數(shù)據(jù)（1980-2015年）nest n. 巢；窩單位：元年份數(shù)據(jù)年份數(shù)據(jù)年份數(shù)據(jù)1980261.001992792.1820044027.031981274.001993938.4520054465.991982291.0019941312.2420064845.351983312.0019951655.0020075623.241984344.0019961989.5720086627.261985362.0019972218.8920096627.001986382.0019982199.3820107182.531987421.0019992840.1020119104.001988504.0020002941.8020128864.851989557.0020012981.78201310013.031990659.0020023048.55201411547.001991685.7120033208.84201512736.00對(duì)36年農(nóng)村居民收入建立B-J模型，并預(yù)測(cè)2016年的收入情況。4.2 時(shí)序分析Step1：將數(shù)據(jù)輸入到SPSS19.0中，并定義變量的精度為小數(shù)點(diǎn)后兩位；Step2：定義日期。數(shù)據(jù)定義日期輸入“1980”因?yàn)楸敬螖?shù)據(jù)沒有季節(jié)性，所以只需要選擇年份為1980年，如下圖。Step3：繪制其時(shí)序圖，觀察其是否平穩(wěn)。分析預(yù)測(cè)序列圖此時(shí)可以看出該曲線有明顯上升趨勢(shì)，為非平穩(wěn)序列，需要進(jìn)行差分平穩(wěn)化。同時(shí)，也可以繪制自相關(guān)圖形（操作：分析預(yù)測(cè)自相關(guān)）來觀察其趨勢(shì)，如下圖。由上面自相關(guān)系數(shù)圖可知，隨著延遲數(shù)目的增加，系數(shù)并沒有顯著的趨近于0，且許多數(shù)值較大的系數(shù)落在了置信區(qū)間之外，說明該時(shí)間序列并非平穩(wěn)的。4.3 差分平穩(wěn)化對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分平穩(wěn)，并繪制相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖如下。操作為：分析預(yù)測(cè)自相關(guān)（勾選：1階差分）從右側(cè)圖形可以看出，在滯后期k=3之后，自相關(guān)函數(shù)衰減，并且均在置信區(qū)間范圍之內(nèi)，因此可以認(rèn)為該序列平穩(wěn)了。再觀察變換后的序列的偏自相關(guān)函數(shù)圖，如下圖。其中=0.437較大，其他并沒有明顯趨于0，可以認(rèn)為在K=3后拖尾，而自相關(guān)函數(shù)可以看做是K=3后截尾，也可以看做為拖尾。（自拖，偏拖）ARIMA模型，（自截，偏拖）MA模型，因此，經(jīng)過一階差分變換后的農(nóng)村居民收入所選定的模型為或。分別對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，比較其精度。4.4 建立ARIMA模型4.4.1 ARIMA（3,1,3）模型Step1：菜單欄：分析預(yù)測(cè)創(chuàng)建模型在變量欄中，將農(nóng)村居民收入移入因變量框中；方法選擇ARIMA模型，點(diǎn)擊右側(cè)“條件”，輸入自回歸，差分和移動(dòng)平均數(shù)的值。Step2：確定輸出的統(tǒng)計(jì)量和相關(guān)信息。其中擬合值和置信區(qū)間可備選，根據(jù)需要選擇。如果需要預(yù)測(cè)下一年的數(shù)據(jù)值，必須要在變量欄中的時(shí)間變量下再加入一個(gè)年份值，否則不會(huì)顯示預(yù)測(cè)值，如下圖。模型結(jié)果分析可以看到模型的R平方為0.990，平穩(wěn)的R方為0.493，說明模型的擬合效果較好，預(yù)測(cè)值