信息光學(xué)導(dǎo)論第二章.doc

第二章 信息光學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 引言在這一節(jié)，我們將以簡(jiǎn)明的格式，全面地羅列傅里葉變換和卷積、相關(guān)及其主要性質(zhì)，著重從光學(xué)眼光看待那些公式和數(shù)學(xué)定理，給出相應(yīng)的光學(xué)顯示或光學(xué)模擬，這有助于生動(dòng)地理解、掌握傅里葉變換和卷積、相關(guān)，其意義就不僅僅限于光學(xué)領(lǐng)域了。2.1傅里葉變換傅里葉級(jí)數(shù)首先讓我們回憶周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，這里，稱(chēng)為原函數(shù)，稱(chēng)為博里葉系數(shù)或頻譜值，它是傅里葉分量的幅值頻譜的概念頻譜的概念，廣義上講就是求一個(gè)函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)或一個(gè)函數(shù)的傅立葉變換。因此，傅立葉分析也稱(chēng)頻譜分析。頻譜分為振幅型頻譜和相位型頻譜。相位型頻譜用的較少，通常提到的頻譜大都指振幅型頻譜。為了更深刻的理解不同形式的頻譜概念，以實(shí)例來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明。對(duì)于光柵我們可以用透過(guò)率函數(shù)來(lái)描述,一維透射光柵的透過(guò)率函數(shù)是一矩形波函數(shù)。為了討論問(wèn)題方便, 設(shè)光柵狹縫總數(shù)N無(wú)限大. 是周期性函數(shù)則：上式表明，圖中表示的矩形波可以分解為不同頻率的簡(jiǎn)諧波,這些簡(jiǎn)諧波的頻率為這里稱(chēng)為空間頻率. 是的基頻.。周期性函數(shù)的頻譜都是分立的譜,各譜線的頻率為基頻整數(shù)倍.在f=0處有直流分量.透過(guò)率函數(shù)也可用復(fù)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)表示:再回到光柵裝置.由光柵方程,在近軸條件下因此透鏡后焦面上頻率為當(dāng)單色光波入射到待分析的圖象上時(shí),通過(guò)夫瑯和費(fèi)衍射,一定空間頻率的信息就被一定特定方向的平面衍射波輸送出來(lái). 這些衍射波在近場(chǎng)彼此交織在一起,到了遠(yuǎn)場(chǎng)它們彼此分開(kāi),從而達(dá)到分頻的目的. 故傅立葉變換能達(dá)到分頻的目的。傅里葉變換 在現(xiàn)實(shí)世界中，不存在嚴(yán)格意義下的周期函數(shù)，非周期變化是更為普遍的現(xiàn)象從數(shù)學(xué)眼光看，非周期函數(shù)可看作周期的函數(shù)據(jù)此，可將上述傅里葉級(jí)數(shù)求和式過(guò)渡到積分表達(dá)式結(jié)果如下，上式(*)稱(chēng)為傅里葉變換，下式*)稱(chēng)為博里葉逆變換對(duì)于二維情形，傅里葉變換和逆變換的積分式為簡(jiǎn)單地表示為從光學(xué)眼光看代表一波前函數(shù)，線性相因子代表平面波成分，()代表一空間頻率，對(duì)應(yīng)一特定方向的平面波于是，積分式(*)表明，任一波前可以分解為一系列不同空間頻率的平面波前成分的疊加對(duì)于非周期函數(shù)，空間頻率()的取值不是離散的，而是連續(xù)的，存在于()因此，在()一()頻率間隔中，平面波成分的振幅系數(shù)dA表示為這給出了譜函數(shù)G()的光學(xué)意義一一頻率空間中單位頻率間隔的振幅系數(shù)，即振幅的譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜。原函數(shù)及其頻譜G()，既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。2.2信息光學(xué)中常用的若干典型函數(shù)的頻譜(1)方壘函數(shù)如圖*(a)，(b)所示從變換光學(xué)眼光看，方壘函數(shù)相當(dāng)平行光正入射于單縫時(shí)的被前函數(shù)。其夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)正是（*)式給出的sinc函數(shù)形式(2)相幅型方壘函數(shù)如圖*(a)，(b)所示從變換光學(xué)眼光看，這相幅型方壘函數(shù)，相當(dāng)于平行光斜入射于單縫時(shí)的波前函數(shù)，或相當(dāng)于平行光正入射于薄棱鏡時(shí)的波前函數(shù)，其夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的o級(jí)班中心移至軸外，兩側(cè)依然呈現(xiàn)函數(shù)形式，如(*)式所示(3)準(zhǔn)單頻函數(shù)如圖*所示準(zhǔn)單頻函數(shù)可以被看作兩個(gè)相幅型方壘函數(shù)之和，從而造成兩支頻譜，其頻譜中心分別在處如果，準(zhǔn)單頻函數(shù)代表純空目信息而與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，或代表純時(shí)間信息而與空間變量無(wú)關(guān)，則這正負(fù)兩支頻譜無(wú)獨(dú)立的物理意義，應(yīng)將它倆合起來(lái)看作支頻譜譜值加倍，而頻率區(qū)間縮半于(o，)如果，這準(zhǔn)單頻函數(shù)代表定態(tài)波場(chǎng)的復(fù)振幅分布，則正負(fù)頻譜成分有獨(dú)立含義，各自乘以同一時(shí)間因子，就分別代表兩個(gè)相反方向傳播的行波，而復(fù)振幅分布就表示那兩列行波疊加的駐波場(chǎng)(4)正向準(zhǔn)單頻函數(shù)其中如圖*所示，展現(xiàn)有二支頻譜，均系函數(shù)線型，其中心頻率分別為從變換光學(xué)眼光看，這相當(dāng)于平行光正入射于一余弦光柵時(shí)的波前函數(shù)，其夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)有三個(gè)離散的亮斑，在亮斑鄰近區(qū)域有光強(qiáng)的少許擴(kuò)展，這特點(diǎn)由(*)式所反映(5)三角形函數(shù)如圖*所示，其頻譜恒為正值含有明顯的高頻成分，方能合成帶有尖頂?shù)慕切卧瘮?shù)(6)半橢圓形函數(shù)這里是一階貝塞耳目數(shù)，如圖*所示(7)高斯函數(shù)如圖*所示在函數(shù)大家庭中，唯有高斯雨數(shù)，其頻譜依然是高斯型的，它是一個(gè)經(jīng)傅里葉變換后線型不變的獨(dú)特函數(shù)憑借這一性質(zhì)，高斯型光束成為激光器諧振腔中能穩(wěn)定存在的一種模式高斯函數(shù)也是光源的一種基本的光譜線型，因?yàn)橛蓽囟纫鸬淖V線的多普勒展寬是高斯型的導(dǎo)出頻譜公式(*過(guò)程中用到一個(gè)高斯積分，(8)洛倫茲函數(shù)如圖*所示，一鐘型原函數(shù)其頻譜變成一尖頂帳篷型。(9)二維軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)(圓域函數(shù))在空域(x,y)平面上取極坐標(biāo)()，以簡(jiǎn)化圓域函數(shù)的表示稱(chēng)(*)式為傅里葉貝塞耳變換或零階漢克爾變換，其中J。為零階貝塞耳函數(shù)將(*)式應(yīng)用于常見(jiàn)的特例半徑為r的圓孔函數(shù)，即得其頻譜為這結(jié)果與我們先前介紹過(guò)的圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的表達(dá)式是相似的，僅在系數(shù)上有點(diǎn)差別若將其中的改寫(xiě)為我們一直熟悉的空間頻率符號(hào)，且令，角是衍射方向與圓心軸即透鏡光軸的夾角，那(*I)式就表示了波長(zhǎng)為的一光束正入射于圓孔時(shí)的夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)常用函數(shù)的傅里葉變換對(duì)原函數(shù)頻譜函數(shù)矩形函數(shù) 2.3卷積卷積的定義函數(shù)和的卷積用符號(hào)表示，它定義為根據(jù)積分的幾何意義，可以把求卷積理解為求兩個(gè)函數(shù)和重疊部分的面積。卷積的性質(zhì)（1）線性性質(zhì)（2）交換律（3）縮放性質(zhì)（4）結(jié)合律（5）與的卷積卷積的計(jì)算（1）圖解法為了詳細(xì)說(shuō)明圖解法的過(guò)程，我們選兩個(gè)函數(shù)和世紀(jì)計(jì)算器卷積。設(shè)和為實(shí)寒暑，如圖所示。其具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖解法求卷積有如下四個(gè)步驟：1) 折疊由于卷積滿(mǎn)足交換率，根據(jù)卷積的定義把任一個(gè)函數(shù)或相對(duì)于縱坐標(biāo)作出鏡像或這里我們作的景鏡像。為此，虛設(shè)積分變量，作出和函數(shù)圖形，如下圖所示。2)位移。為了得到或需要把或沿x軸位移。為此，要在選一個(gè)坐標(biāo)軸x，它與平行，并在其上選一個(gè)坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)，平抑一段距離x便得到。位移量x的正負(fù)及原點(diǎn)選取的規(guī)定為：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)圖形右移，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)圖形左移，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)圖形，見(jiàn)圖3）相乘。將與按變量逐點(diǎn)相乘得到，從圖形上來(lái)看就是這兩個(gè)函數(shù)重疊部分的積。由于圖解過(guò)程中保持不變，因此必須沿x軸來(lái)回移動(dòng)，得到對(duì)應(yīng)不同x值得兩函數(shù)的乘積。在x0情況下，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則乘積，只是當(dāng)時(shí)，和，乘積，兩函數(shù)的成績(jī)?yōu)閳D*中的直線AB（一般為曲線）。4）積分。求出乘積曲線下的面積，即兩個(gè)函數(shù)重疊部分的面積，該面積就是x出的卷積值。選擇不同的位移量，就可得到相應(yīng)的卷積，圖*(b)(f)分別為、。我們還可以求出其他卷積值并畫(huà)出去縣，該曲線就是和的卷積，如圖*（2）解析法解析法就是直接積分求出的值。有圖解法求出卷積的結(jié)果可見(jiàn)，一般卷積的結(jié)果是分段函數(shù)，所以積分一般也要分段積分。由于積分是中含有參變量x，求積分的關(guān)鍵是確定積分的上下限，一般要與圖解法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行。以下仍以和為例說(shuō)明解析法計(jì)算卷積的過(guò)程。根據(jù)圖解法的結(jié)果，卷積可分為以下四段來(lái)積分：1）。這時(shí)不論x為何值，與均無(wú)重疊部分，乘積，其積分也等于零。2）。的非零區(qū)間為0，3，由于的非零區(qū)間為-1，2，的非零區(qū)間為-2，1，因此，的非零區(qū)間為。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因此，的非零區(qū)間為，卷積結(jié)果為從上面的分析中，可以得到確定上下限的規(guī)律。如果兩個(gè)函數(shù)與的非零區(qū)間的上限為和，下限為和，則計(jì)算卷積的上限為，計(jì)算卷積的下限為。3）。的非零區(qū)間為0，3，由于的非零區(qū)間為，根據(jù)上述選擇幾分上下限的原則，卷積結(jié)果為4）。這時(shí)，所以。綜合以上結(jié)果，用解析法計(jì)算卷積的結(jié)果為：由此可見(jiàn)，用解析法計(jì)算卷積于永圖解法一樣繁瑣。在計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的卷積時(shí)，一般要把解析法和圖解法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行，圖解法用于幾分區(qū)間的分段，解析法用于計(jì)算復(fù)雜曲線下的面積。2.4相關(guān)相關(guān)的定義若和是實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，函數(shù)和的相關(guān)用符號(hào)或表示，它定義為式中是的復(fù)共軛函數(shù)。若是實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，則它的自相關(guān)定義為相關(guān)的性質(zhì)1）互相關(guān)的性質(zhì)相關(guān)運(yùn)算不具有交換性，即 2）自相關(guān)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)具有厄密對(duì)程性，即 相關(guān)的計(jì)算相關(guān)的計(jì)算方法和計(jì)算卷積一樣，有圖解法和解析法兩種，計(jì)算步驟也大致相同。只是圖解法中只有位移、相乘、積分三個(gè)步驟；解析法直接安定以積分時(shí)，同樣有積分域的分段和確定上下限的問(wèn)題，其方法和規(guī)則與計(jì)算卷積相同。關(guān)于自相關(guān)函數(shù)意義的說(shuō)明的自相關(guān)函數(shù)可以用來(lái)描述函數(shù)與之間的相關(guān)性由于是由通過(guò)平移x距離而形成的，它們之間的相關(guān)性，就反映了函數(shù)變化的快慢反映了與的相似程度。2.5函數(shù)； 函數(shù)的定義函數(shù)是狄拉克在量子力學(xué)中首先引入的種廣義函數(shù)，其定義為這表明，函數(shù)是一種特殊的脈沖函數(shù)脈沖寬度為o、脈沖高度無(wú)限而函數(shù)所包容的面積為1(歸一化)如果在處出現(xiàn)這種脈沖函數(shù)則表示為，即實(shí)際上，不同線型的單脈沖函數(shù)，在一定收斂要求下其極限狀態(tài)就過(guò)渡為函數(shù)，如圖*所示。（a）單縫衍射函數(shù)（b）高斯函數(shù)（c）方壘函數(shù)（e）這表明，常數(shù)1的頻譜為函數(shù)，函數(shù)的頻譜月1。我們知道，在物理學(xué)的許多領(lǐng)域是以點(diǎn)模型為基石而構(gòu)建理論體系，比如力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，電學(xué)中的點(diǎn)電荷和光學(xué)個(gè)的點(diǎn)光源、物點(diǎn)、像點(diǎn)等等。函數(shù)正是這類(lèi)點(diǎn)模型的數(shù)學(xué)寫(xiě)照或者說(shuō)，當(dāng)空間存在這類(lèi)“點(diǎn)物”時(shí)，我們就可以用函數(shù)來(lái)描寫(xiě)相應(yīng)的密度分布或強(qiáng)度分布比如，在一維x軸處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)量分布線密度函數(shù)為同理，如果，處是一電荷量為q的點(diǎn)電荷則電荷分布的線密度密數(shù)為如果()處是一光功率為的物點(diǎn)，則在(x,y)平面上光強(qiáng)分布函數(shù)表示為有了函數(shù)工具的輔助，傅里葉變換的應(yīng)用范圍和功能得以擴(kuò)大和增強(qiáng)函數(shù)的性質(zhì)及其傅里葉變換 (1) 函數(shù)是偶函數(shù)，即 (2) 函數(shù)的篩選性對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)，它與函數(shù)的乘積再積分，結(jié)果為函數(shù)所具有的這種篩選性，使它成為測(cè)量函數(shù)值的一很標(biāo)竿當(dāng)這標(biāo)竿在整個(gè)變量區(qū)間移動(dòng)*就可以把持測(cè)函數(shù)曲線顯示出來(lái)，這就過(guò)渡為一卷積運(yùn)算(3) 函數(shù)的卷積性質(zhì)這表明，任何連續(xù)函數(shù)均可以被看作函數(shù)自身與函數(shù)的卷積從光學(xué)眼光看，連續(xù)分布于(x ，y)平面上的復(fù)振幅或光強(qiáng)函數(shù)，以往常將它看作連續(xù)密排的點(diǎn)源或點(diǎn)集，現(xiàn)在給出的函數(shù)的卷積性質(zhì)對(duì)這一觀點(diǎn)作出了種數(shù)學(xué)注釋(4) 函數(shù)的尺度縮放性質(zhì)，(5) 函數(shù)與傅里葉變換以上af各變換關(guān)系分別相應(yīng)顯示于下圖。圖-幾種用函數(shù)表示的傅立葉變換梳狀函數(shù)（也叫抽樣函數(shù)）梳狀函數(shù)用符號(hào)comb(x)表示，定義為式中n為整數(shù)。該函數(shù)是一間隔為1的函數(shù)序列，像一把梳子，故也成為梳狀函數(shù)。由函數(shù)的性質(zhì)可以得到comb(x)的如下性質(zhì)：（1）比例變換特性：（2）奇偶性：是偶函數(shù)。（3）周期性：即使周期為1的周期函數(shù)。（4）抽樣特性：函數(shù)與任意函數(shù)相乘可以對(duì)該函數(shù)周期抽樣，而抽樣值只存在函數(shù)所在的整數(shù)點(diǎn)處。如圖所示若抽樣點(diǎn)為非整數(shù)點(diǎn)處，且抽樣周期不為1，則有（5）卷積特性：（6）傅里葉變換特性梳狀函數(shù)2.6傅里葉變換的基本性質(zhì)（1）線性性質(zhì)若 則這表明傅里葉變換是現(xiàn)行變換。（2）對(duì)程性若 則（3）坐標(biāo)縮放性質(zhì)若 則這表明函數(shù)在空域的展寬（或壓縮），必然導(dǎo)致頻域上的壓縮（展寬）。（4）平移性若 則（5）面積對(duì)應(yīng)關(guān)系（6）？2.7傅里葉變換的基本定理（1）卷積定理若 則：積定理表明，對(duì)于通過(guò)傅里葉變換聯(lián)系起來(lái)的數(shù)域來(lái)說(shuō)，一個(gè)數(shù)域中的卷積運(yùn)算對(duì)應(yīng)著另個(gè)數(shù)域中的乘積運(yùn)算卷積定理對(duì)某些運(yùn)算來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的。（2）相關(guān)定理(維納辛欽定理) 互相關(guān)定理若 則：習(xí)慣上人們稱(chēng)稱(chēng)為函數(shù)的互譜能