習題2.3

線面角的傳統(tǒng)解法 鄂州高中數(shù)學組吳引 一師一優(yōu)課必修二習題2 3 直線和平面所成的角 如圖 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO 過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角 叫做這條直線和這個平面所成的角 斜線 斜足 射影 垂足 垂線 規(guī)定 一條直線垂直于平面 我們說它所成的角是直角 一條直線和平面平行 或在平面內(nèi) 我們說它所成的角是00的角 直線與平面所成的角 的取值范圍是 由定義求線面角 通常是解由斜線段PA 垂線段PO 斜線在平面內(nèi)的射影AO所組成的RTPAO 垂線段是其中最重要的元素 它可以起到聯(lián)系各線段的作用 定義法 A1C與平面A1B1BA所成角是 1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1 A1C與平面A1B1C1D1所成角是 A1C與平面A1D1DA所成角是 CA1B CA1D CA1C1 2 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 1 AB1與面BB1D1D所成的角是 2 AB1與面A1B1CD所成的角是 A1 D1 C1 B1 A D C B 1 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1中 1 AB1與面BB1D1D所成的角是 2 AB1與面A1B1CD所成的角是 A D C B 3 已知正方體的棱長為a 1 求直線AB1和平面A1B1C1D1所成角的大小 3 已知正方體的棱長為a 2 求直線DB1和平面A1B1C1D1所成的角的余弦值 3 已知正方體的棱長為a 3 E是A1D1的中點 求直線EB和平面ABCD所成角的正切值 4 已知三棱錐A BCD的各棱長都為2 求直線AB與平面BCD所成角的余弦值 O 求直線AB與平面ACD所成角的余弦值 5 P是ABC所在平面外一點 且PA PB PC 10 AB 6 BC 8 CA 10 求PA PB PC分別與平面ABC所成的角 A是BCD所在平面外一點 且BC CD 5 BD 5 2 AB AC AD 8 求AD與平面BCD所成的角余弦值 D E 6 已知四棱錐P ABCD的底面是邊長為2的正方形 PD 底面ABCD PD AD 求直線DC與平面PBC所成角的大小 E 其中 是斜線與平面所成的角 h是垂線段的長 L是斜線段的長 其中求出垂線段的長 即斜線上的點到面的距離 既是關鍵又是難點 為此可用三棱錐的體積相等來求垂線段的長 公式法sin h L L h C S A B 四面體ABCS中 SA SB SC兩兩垂直 SBA 45 SBC 60 M為AB的中點 求 1 BC與平面SAB所成的角 2 SC與平面ABC所成角的正弦值 四面體ABCS中 SA SB SC兩兩垂直 SBA 45 SBC 60 M為AB的中點 求 1 BC與平面SAB所成的角 2 SC與平面ABC所成的角 1 SC SB SC SA SC 平面SAB故SB是斜線BC在平面SAB上的射影 SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60 2 連結SM CM 則SM AB 又 SC AB AB 平面SCM 面ABC 面SCM過S作SH CM于H 則SH 平面ABC CH即為SC在面ABC內(nèi)的射影 SCH為SC與平面ABC所成的角 sin SCH SH SC SC與平面ABC所成的角的正弦值為 7 7 垂線 是相對的 SC是面SAB的垂線 又是面ABC的斜線 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質定理 其思路是 先找出與已知平面垂直的平面 然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線