（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第七章 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 理（含解析）.doc

第七章 立體幾何第六節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系1.（2014廣東，5分）. 已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是()a(1,1,0) b(1，1,0)c(0，1,1) d(1,0,1)解析：各選項(xiàng)給出的向量的模都是，|a|.對(duì)于選項(xiàng)a，設(shè)b(1,1,0)，則cosa，b，因?yàn)?a，b180，所以a，b120.對(duì)于選項(xiàng)b，設(shè)b(1，1,0)，則cosa，b.因?yàn)?a，b180，所以a，b60，正確對(duì)于選項(xiàng)c，設(shè)b(0，1,1)，則cosa，b.因?yàn)?a，b180，所以a，b120.對(duì)于選項(xiàng)d，設(shè)b(1,0,1)則cosa，b1.因?yàn)?a，b180，所以a，b180，故選b.答案：b2.（2014北京，5分）在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，已知a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，d(1,1，)若s1，s2，s3分別是三棱錐dabc在xoy，yoz，zox坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()as1s2s3 bs2s1且s2s3cs3s1且s3s2 ds3s2且s3s1解析：根據(jù)題目條件，在空間直角坐標(biāo)系oxyz中作出該三棱錐dabc，顯然s1sabc222，s2s32.故選d.答案：d3.（2014江西，5分）如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，ab11，ad7，aa112.一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)a射向點(diǎn)e(4,3,12)遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理)，將第i1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li(i2,3,4)，l1ae，將線段l1，l2，l3，l4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是()解析：選c根據(jù)反射的對(duì)稱性，質(zhì)點(diǎn)是在過a，e，a1的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)因?yàn)閑2e3l4e1e2l3，故l1l2l4l3，故選c.答案：c4.（2014湖北，5分）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，給出編號(hào)的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()a和 b和c和 d和解析：選d在空間直角坐標(biāo)系oxyz中作出棱長為2的正方體，在該正方體中作出四面體，如圖所示，由圖可知，該四面體的正視圖為，俯視圖為.答案：d5.（2013浙江，15分）如圖，在四面體abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2.m是ad的中點(diǎn)，p是bm的中點(diǎn)，點(diǎn)q在線段ac上，且aq3qc.(1)證明：pq平面bcd；(2)若二面角cbmd的大小為60，求bdc的大小解：本題考查空間線面平行的證明，二面角的計(jì)算，以及三角形的有關(guān)知識(shí)，考查考生的推理論證能力、空間想象能力，以及利用空間向量解決相關(guān)問題的能力法一：(1)證明：取bd的中點(diǎn)o，在線段cd上取點(diǎn)f，使得df3fc，連接op，of，fq.因?yàn)閍q3qc，所以qfad，且qfad.因?yàn)閛，p分別為bd，bm的中點(diǎn)，所以op是bdm的中位線，所以opdm，且opdm.又點(diǎn)m為ad的中點(diǎn)，所以opad，且opad.從而opfq，且opfq，所以四邊形opqf為平行四邊形，故pqof.又pq平面bcd，of平面bcd，所以pq平面bcd.(2)作cgbd于點(diǎn)g，作ghbm于點(diǎn)h，連接ch.因?yàn)閍d平面bcd，cg平面bcd，所以adcg，又cgbd，adbdd，故cg平面abd，又bm平面abd，所以cgbm.又ghbm，cgghg，故bm平面cgh，bmch，所以chg為二面角cbmd的平面角，即chg60.設(shè)bdc.在rtbcd中，cdbdcos 2cos ，cgcdsin 2cos sin ，bcbdsin 2sin ，bgbcsin 2sin2.在rtbdm中，hg.在rtchg中，tanchg.所以tan .從而60，即bdc60.法二：(1)證明：如圖，取bd的中點(diǎn)o，以o為原點(diǎn)，od，op所在射線為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz.由題意知a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x0，y0,0)因?yàn)?，所以q.因?yàn)閙為ad的中點(diǎn)，故m(0，1)又p為bm的中點(diǎn)，故p.所以.又平面bcd的一個(gè)法向量為u(0,0,1)，故u0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.(2)設(shè)m(x，y，z)為平面bmc的法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)知取y1，得m.又平面bdm的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，于是|cosm，n|，即23.又bccd，所以0，故(x0，y0,0)(x0，y0,0)0，即xy2.聯(lián)立，解得(舍去)或所以tanbdc.又bdc是銳角，所以bdc60.6（2013天津，13分）如圖， 四棱柱abcda1b1c1d1中， 側(cè)棱a1a底面abcd，ab/dc，abad，adcd1，aa1ab2，e為棱aa1的中點(diǎn)(1)證明：b1c1ce; (2)求二面角b1cec1的正弦值(3)設(shè)點(diǎn)m在線段c1e上， 且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為，求線段am的長解：本小題主要考查空間線線、線面的位置關(guān)系，以及二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查考生的空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力法一：如圖，以點(diǎn)a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)證明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2) (1，2，1)設(shè)平面b1ce的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1)由(1)知，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)為平面cec1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sin m，.所以二面角b1cec1的正弦值為.(3) (0,1,0)，(1,1,1)設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面add1a1的一個(gè)法向量設(shè)為直線am與平面add1a1所成的角，則sin |cos，|.于是，解得，所以am.法二：(1)證明：因?yàn)閭?cè)棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.經(jīng)計(jì)算可得b1e，b1c1，ec1，從而b1e2b1cec，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e，cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e.又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)過b1作b1gce于點(diǎn)g，連接c1g.由(1)知，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1為二面角b1cec1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sin b1gc1，即二面角b1cec1的正弦值為.(3)連接d1e，過點(diǎn)m作mhed1于點(diǎn)h，可得mh平面add1a1，連接ah，am，則mah為直線am與平面add1a1所成的角設(shè)amx，從而在rtahm中，有mhx，ahx.在rtc1d1e中，c1d11，ed1，得ehmhx.在aeh中，aeh135，ae1，由ah2ae2eh22aeehcos 135，得x21x2x，整理得5x22x60，解得x.所以線段am的長為.7.（2013湖北，12分）如圖，ab是圓o的直徑，點(diǎn)c是圓o上異于a，b的點(diǎn)，直線pc平面abc，e，f分別是pa，pc的中點(diǎn)(1)記平面bef與平面abc的交線為l，試判斷直線l與平面pac的位置關(guān)系，并加以證明；(2)設(shè)(1)中的直線l與圓o的另一個(gè)交點(diǎn)為d，且點(diǎn)q滿足.記直線pq與平面abc所成的角為，異面直線pq與ef所成的角為，二面角elc的大小為，求證：sin sin sin .解：本題考查空間線面位置關(guān)系的判斷和證明，考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力(1)直線l平面pac，證明如下：連接ef，因?yàn)閑，f分別是pa，pc的中點(diǎn)，所以efac.又ef平面abc，且ac平面abc，所以ef平面abc.而ef平面bef，且平面bef平面abcl，所以efl.因?yàn)閘平面pac，ef平面pac，所以l平面pac.(2)證明：法一：(綜合法)如圖1，連接bd，由(1)可知交線l即為直線bd，且lac.因?yàn)閍b是o的直徑，所以acbc，于是lbc.已知pc平面abc，而l平面abc，所以pcl.而pcbcc，所以l平面pbc.連接be，bf，因?yàn)閎f平面pbc，所以lbf.故cbf就是二面角elc的平面角，即cbf.由，作dqcp，且dqcp.連接pq，df，因?yàn)閒是cp的中點(diǎn)，cp2pf，所以dqpf，從而四邊形dqpf是平行四邊形，pqfd.連接cd，因?yàn)閜c平面abc，所以cd是fd在平面abc內(nèi)的射影，故cdf就是直線pq與平面abc所成的角，即cdf.又bd平面pbc，有bdbf，知bdf為銳角，故bdf為異面直線pq與ef所成的角，即bdf，于是在rtdcf，rtfbd，rtbcf中，分別可得sin ，sin ，sin ，從而sin sin sin ，即sin sin sin .法二：(向量法)如圖2，由，作dqcp，且dqcp.連接pq，ef，be，bf，bd，由(1)可知交線l即為直線bd.以點(diǎn)c為原點(diǎn)，向量，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)caa，cbb，cp2c，則有c(0,0,0)，a(a,0,0)，b(0，b,0)，p(0,0,2c)，q(a，b，c)，e，f(0,0，c)于是，(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos ，從而sin .又取平面abc的一個(gè)法向量為m(0,0,1)，可得sin ，設(shè)平面bef的法向量為n(x，y，z)，所以由可得取n(0，c，b)于是|cos |，從而sin .故sin sin sin ，即sin sin sin .8（2012福建，13分）如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e為cd中點(diǎn)(1)求證：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一點(diǎn)p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的長；若不存在，說明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小為30，求ab的長解：(1)證明：以a為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)aba，則a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e(，1,0)，b1(a，0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點(diǎn)p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，此時(shí)(0，1，z0)又設(shè)平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，則y，za，得平面b1ae的一個(gè)法向量n(1