階線性微分方程解得結(jié)構(gòu).ppt

二階線性微分方程 第四節(jié) 二 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 一 二階線性微分方程舉例 第八章 一 二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時 物體處于平衡狀態(tài) 例1 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上 力作用下作往復運動 解 阻力的大小與運動速度 下拉物體使它離開平衡位置后放開 若用手向 物體在彈性力與阻 取平衡時物體的位置為坐標原點 建立坐標系如圖 設時刻t物位移為x t 1 自由振動情況 彈性恢復力 物體所受的力有 虎克定律 成正比 方向相反 建立位移滿足的微分方程 據(jù)牛頓第二定律得 則得有阻尼自由振動方程 阻力 2 強迫振動情況 若物體在運動過程中還受鉛直外力 則得強迫振動方程 求討論上拋高度h與時間t的關(guān)系 例2 空氣的阻力與物體運動的速度成正比 比例系數(shù)為k 解 如右圖建立坐標軸 h軸 正向朝上 設物體在時刻t的高度為h t 在時刻t受到兩個 由牛頓第二定律知 力的作用 其一為重力 mg 其二為空氣阻力 kv 由導數(shù)的物理意義知 以初速度垂直上拋一質(zhì)量為m的物體 如果 從而得到h t 滿足的方程 n階線性微分方程的一般形式為 方程的共性 二階線性微分方程 例1 例2 可歸結(jié)為同一形式 時 稱為非齊次方程 時 稱為齊次方程 復習 一階線性方程 通解 非齊次方程特解 齊次方程通解Y 證畢 二 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階線性齊次方程 的兩個解 也是該方程的解 證 代入方程左邊 得 疊加原理 定理1 說明 不一定是所給二階方程的通解 例如 是某二階齊次方程的解 也是齊次方程的解 并不是通解 但是 則 為解決通解的判別問題 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念 定義 是定義在區(qū)間I上的 n個函數(shù) 使得 則稱這n個函數(shù)在I上線性相關(guān) 否則稱為線性無關(guān) 例如 在 上都有 故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān) 又如 若在某區(qū)間I上 則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 必需全為0 可見 在任何區(qū)間I上都線性無關(guān) 若存在不全為0的常數(shù) 兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件 線性相關(guān) 存在不全為0的 使 線性無關(guān) 常數(shù) 思考 中有一個恒為0 則 必線性 相關(guān) 證明略 線性無關(guān) 定理2 是二階線性齊次方程的兩個線 性無關(guān)特解 數(shù) 是該方程的通解 例如 方程 有特解 且 常數(shù) 故方程的通解為 自證 推論 是n階齊次方程 的n個線性無關(guān)解 則方程的通解為 則 三 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 的兩個特解 則 定理3 是相應的齊次方程 設是二階非齊次方程 的一個特解 是二階非齊次方程 的一個特解 Y x 是相應齊次方程的通解 定理4 則 是非齊次方程的通解 證 將 代入方程 左端 得 是非齊次方程的解 又Y中含有 兩個獨立任意常數(shù) 例如 方程 有特解 對應齊次方程 有通解 因此該方程的通解為 證畢 因而 也是通解 定理5 是對應齊次方程的n個線性 無關(guān)特解 給定n階非齊次線性方程 是非齊次方程的特解 則非齊次方程 的通解為 齊次方程通解 非齊次方程特解 常數(shù) 則該方程的通解是 設線性無關(guān)函數(shù) 都是二階非齊次線 性方程 的解 是任意 例3 提示 都是對應齊次方程的解 二者線性無關(guān) 反證法可證 例4 已知微