《型曲面積分》PPT課件 (2).ppt

第三節(jié) 3 1第二型曲面積分的概念與性質(zhì) 3 3第二型曲面積分的計(jì)算法 3 2兩類曲面積分的聯(lián)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第二型曲面積分 第五章 3 1第二型曲面積分概念與性質(zhì) 1 曲面的側(cè) 雙側(cè)曲面 有上 下側(cè) 前 后側(cè) 左 右側(cè)之分 單側(cè)曲面 無(wú)上下側(cè) 前后側(cè) 左右側(cè)之分 也無(wú)內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 在光滑曲面 上任取一點(diǎn)M 曲面在點(diǎn)M處的法線 有兩個(gè)方向 當(dāng)取定其中一個(gè)方向?yàn)檎较驎r(shí) 則 另一個(gè)就是負(fù)方向 例如 封閉曲面 內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分 單側(cè)曲面 莫比烏斯帶 封閉曲面 單側(cè)曲面的典型 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 分內(nèi)側(cè)和外側(cè) 雙側(cè)曲面 曲面分上側(cè)和下側(cè) 曲面分左側(cè)和右側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 曲面分前側(cè)和后側(cè) 其方向用法向量指向表示 方向余弦 0為前側(cè) 封閉曲面 0為右側(cè) 0為上側(cè) 外側(cè) 側(cè)向的規(guī)定 設(shè)單位法向量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 0為后側(cè) 0為左側(cè) 0為下側(cè) 內(nèi)側(cè) 指定了側(cè)向的曲面叫有向曲面 引例設(shè)不可壓縮流體 假設(shè)密度為1 在空間中穩(wěn)定 求單位時(shí)間流過(guò)光滑曲面 的流量 若 是指定了側(cè)向平面 面積為S 則流量 平面 的法向量 流速為常向量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 1 流體流向曲面一側(cè)的流量問(wèn)題 流動(dòng) 流速為 從給定曲面 的一側(cè)流向另一側(cè) P Q R是連續(xù)函數(shù) 流量等于斜柱體體積 等于直柱體體積 則用 分割 替代 求和 取極限 方法 把曲面 分割成n個(gè)有向小曲面 小曲 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 若流速為向量值函數(shù) 面分別記為 當(dāng) 為指定了側(cè)向曲面時(shí) 每個(gè)小曲面的面積記為 近似看做小平面 當(dāng)很小時(shí) 任取一點(diǎn) 以速度 代替上各點(diǎn)的速度 流體流過(guò)的流量近似等于 流量 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 從而單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面 指定一側(cè)的流量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 即單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面 指定一側(cè)的流量 設(shè) 為有向曲面 有向小曲面 在oxy面 oyz面 ozx面上的帶有符號(hào)的投影分別 則規(guī)定 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定義為 其絕對(duì)值定義為 面 ozx面投影域的面積 則其投影的符號(hào)分別與 符號(hào)相同 在oxy面 oyz 可知 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 流量又可表示為 于是定義二型曲面積分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 面積記為 任取一點(diǎn) 設(shè) 2 定義 側(cè)向的有向光滑曲面 上的有界函數(shù) 是取定了 n個(gè)有向小曲面 把曲面 分割成 帶有符號(hào)的投影面積分別為 在oyz面 ozx面 oxy面上的 怎樣選取 極限 如果無(wú)論對(duì) 怎樣 分割 也無(wú)論點(diǎn) 總是存在且相等 則稱此極限值為向量值函數(shù) 其中P Q R叫做被積函數(shù) 叫做積分曲面 又稱為第二類曲面積分 在有向曲面 上的第二型曲面積分 記作 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 稱為Q在有向曲面 上對(duì)z x的曲面積分 稱為R在有向曲面 上對(duì)x y的曲面積分 稱為P在有向曲面 上對(duì)y z的曲面積分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 1 若 則 2 用 表示與曲面 的側(cè)向相反的側(cè)向的曲面 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 3 性質(zhì) 引例中 流過(guò)有向曲面 的流體的流量為 若記 正向的單位法向量 則第二型曲面積分也常寫成如下形式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 和向量值函數(shù)為 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 即兩類曲面積分的關(guān)系是 其中 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 3 2第二型曲面積分的計(jì)算 1 計(jì)算 為上側(cè)時(shí) 取 為下側(cè)時(shí) 取 曲面 上的連續(xù)函數(shù) 1 分面投影法 函數(shù)R x y z 是光滑 則 證 由于 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 法向量 當(dāng) 取上側(cè)時(shí) 當(dāng) 取下側(cè)時(shí) 取 取 若 則有 若 則有 前側(cè)取正 后側(cè)取負(fù) 右側(cè)取正 左側(cè)正負(fù) 同理 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 如果 垂直于oxy平面 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 如果 垂直于坐標(biāo)面oyz面 如果 垂直于ozx面 其中 是正方體 整個(gè)表面的外側(cè) 解 注意到 都垂直于oyz平面 與x軸的夾角都是 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 計(jì)算 解 把 分為 分析 需要向xy投影 其中 為球面 取下側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 計(jì)算曲面積分 取上側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 其中 解 利用兩類曲面積分的聯(lián)系 有 是 介于平面z 0 及z h之間部分的外側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 計(jì)算曲面積分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 合一投影法 曲面 投影域 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 為上側(cè)時(shí) 取 為下側(cè)時(shí) 取 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 類似地 曲面 投影域 為前側(cè)時(shí) 取 為后側(cè)時(shí) 取 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 類似地 曲面 投影域 為右側(cè)時(shí) 取 為左側(cè)時(shí) 取 其中 解 用合一投影法 旋轉(zhuǎn)拋物面 介于平面z 0 及z 2之間部分的下側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 計(jì)算曲面積分 下側(cè) 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例5 設(shè) 上側(cè) 計(jì)算 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 定義 1 兩類曲面積分及其聯(lián)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 性質(zhì) 聯(lián)系 思考 的方向有關(guān) 上述聯(lián)系公式是否矛盾 兩類曲線積分的定義一個(gè)與 的方向無(wú)關(guān) 一個(gè)與 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 常用計(jì)算公式及方法 面積分 第一類 對(duì)面積 第二類 對(duì)坐標(biāo) 二重積分 1 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程 方程不同時(shí)分片積分 2 積分元素投影 第一類 面積投影 第二類 有向投影 4 確定積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注 二重積分是第一類曲面積分的特殊情況 轉(zhuǎn)化 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 當(dāng) 時(shí) 上側(cè)取 下側(cè)取 類似可