高等數(shù)學上冊習題講解.ppt

高等數(shù)學上復習 題目類型 選擇 填空 計算 證明 綜合考試注意事項 簽名 時間控制 先易后難 答題規(guī)范 考試形式 閉卷考試時間 2小時 一 極限計算 主要方法 兩個重要極限 無窮小替換 羅必塔法則 其他方法 有理化 定積分定義等 特別注意各種方法的結合 如無窮小 羅必塔 羅必塔 積分上限函數(shù)等 或 注意與 區(qū)別 例1 例2 求 解 令 則 因此 原式 例3 注意 湊 的技巧 想法湊成公式需要的形式 例4計算 解 例5 求下列極限 提示 令 機動目錄上頁下頁返回結束 常用等價無窮小 例1 求 解 原式 例2 求 解 例計算 解 分子或分母有理化 存在 或為 羅必塔法則 例1 求 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必達法則 解 原式 例2 求 例3 求 解 例4 求 解 注意到 原式 分析 例5 原式 例6 求 解 原式 說明目錄上頁下頁返回結束 例7 確定常數(shù)a b c的值 使 解 原式 c 0 故 又由 得 1 2 二 連續(xù)性 分段函數(shù)情形 例1 在x 0處連續(xù) 則A 解 計算函數(shù)值f 0 A 計極限值 所以A 3 例1 設函數(shù) 在x 0連續(xù) 則a b 提示 例2 a 0 b 2 解 計算函數(shù)值 計極限值 此時 要考察左右極限 右極限 左極限 由連續(xù)的定義 可得a 0 b 2 三 導數(shù)與微分 計算 應用 證明導數(shù)定義 分段點可導性討論 計算 復合函數(shù)求導 隱函數(shù)求導 參數(shù)方程確定函數(shù)求導導數(shù)幾何意義 切線法線計算 單調區(qū)間 凹凸區(qū)間 求最大最小值證明 解 因為 例1 設 存在 且 求 所以 設 解 又 例2 處的連續(xù)性及可導性 例3 解 兩邊對x求導得 算出 斜率 所以切線方程為 例4 求 的導數(shù) 解 兩邊取對數(shù) 化為隱式 兩邊對x求導 解 注意y y x 解得 上式兩邊在對x求導 得 注意 例6 解 例7 設由方程 確定函數(shù) 求 解 方程組兩邊對t求導 得 故 例8 設 其中 可微 解 例9求曲線的拐點及凹凸區(qū)間 解 令 得 凹凸區(qū)間為 例10 求拋物線 在 0 1 內的一條切線 使它與 兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小 解 設拋物線上切點為 則該點處的切線方程為 它與x y軸的交點分別為 所指面積 且為最小點 故所求切線為 得 0 1 上的唯一駐點 例11 設非負函數(shù) 曲線 與直線 及坐標軸所圍圖形 1 求函數(shù) 2 a為何值時 所圍圖形繞x軸一周所得旋轉體 解 1 由方程得 面積為2 體積最小 即 故得 又 2 旋轉體體積 又 為唯一極小點 因此 時V取最小值 四 不定積分與定積分 計算 直接積分法 第一換元法 第二換元法 三角代換 倒代換 最小公倍代換 分部積分法積分上限函數(shù)求導 復合函數(shù)情形 應用 面積 不同坐標系 旋轉體體積 弧長對稱性應用 奇函數(shù) 偶函數(shù)無窮限廣義積分 例1 求 解 原式 例2 求 解 例3 解 例4 解 例5 求 解 令 則 想到公式 例6 求 解 類似 例7 求 解 原式 例8 求 解 令 則 原式 例9 求 解 令 則 原式 例10 求 解 令 則 原式 令 于是 例11 求 解 令 則 原式 例12 求 解 令 得 原式 思考與練習 1 下列積分應如何換元才使積分簡便 令 令 令 例13 例14求積分 解 注意循環(huán)形式 例15求積分 第二換元法 分部積分法 解 例16 求 解 例17計算廣義積分 解 解 五 微分方程 一階 變量可分 線性非齊次 常數(shù)變易法 二階 常系數(shù)非齊次通解 思考與練習 求下列方程的通解 提示 1 分離變量 2 方程變形為 例1 解方程 解 先解 即 積分得 即 用常數(shù)變易法求特解 令 則 代入非齊次方程得 解得 故原方程通解為 這 里 解 由通解公式得 非齊次線性方程y P x y Q x 的通解為 即 例2 的通解 解 本題 特征方程為 其根為 對應齊次方程的通解為 設非齊次方程特解為 比較系數(shù) 得 因此特解為 代入方程得 所求通解為 解 例3求微分方程y y xcos2x的一個特解 因為f x e x Pl x cos x Pn x sin x xcos2x i 2i不是特征方程的根 所以所給方程的特解應設為 齊次方程y y 0的特征方程為r2 1 0 把它代入所給方程 得 y ax b cos2x cx d sin2x 3ax 3b 4c cos2x 3cx 4a 3d sin2x xcos2x 六 不等式證明 單調性證明 一階導數(shù)不好判斷正負情形 繼續(xù)求導利用定積分證明不等式中值定理應用 例1 證明 時 成立不等式 證 令 從而 因此 且 證 證明 令 則 從而 即 例2 設 在 內可導 且 證明至少存在一點 使 上連續(xù) 在 證 問題轉化為