(教案)抽象函數(shù)問(wèn)題的處理策略.doc

抽象函數(shù)問(wèn)題的處理策略抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，它是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn).因?yàn)槌橄?，學(xué)生難以理解，接受困難；因?yàn)槌橄?，教師?duì)教材難以處理，何時(shí)講授，如何講授，講授哪些內(nèi)容，采用什么方式等等，深感茫然無(wú)序.其實(shí)，大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時(shí)，若能從研究抽象函數(shù)的“背景”入手，根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)類(lèi)比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，?？梢挼媒忸}思路，本文就上述問(wèn)題作一些探討.1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）例1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間2，1上的值域。解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，為增函數(shù)在條件中，令yx，則，再令xy0，則， ，故，為奇函數(shù)，又，的值域?yàn)?，2。例2、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，f(3) 5，求不等式的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號(hào).2、二次函數(shù)型抽象函數(shù) 二次函數(shù)型抽象函數(shù)即由二次函數(shù)抽象而得到的函數(shù)若抽象函數(shù)滿足，總有，則可用二次函數(shù)為模型引出解題思路；例3、 已知實(shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根,則這5個(gè)根之和=_分析：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根，可以將該函數(shù)看成是類(lèi)似于二次函數(shù)為模型引出解題思路，即函數(shù)的對(duì)稱軸是，并且函數(shù)在，其余的四個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于對(duì)稱，解：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以方程的五個(gè)實(shí)數(shù)根也關(guān)于直線對(duì)稱，其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，其它四個(gè)實(shí)數(shù)根位于直線兩側(cè)，關(guān)于直線對(duì)稱，則這5個(gè)根之和為103、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）例4、設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)。其圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2，都有f (x1x2)f (x1)f (x2)，且f ( 1 )a0 ()求及； ()證明f (x)是周期函數(shù)； ()記，求 ()解：可以考慮指數(shù)函數(shù)的模型指導(dǎo)解題的思路，例如運(yùn)用函數(shù)由知：0，x0，1 ，f (1)a0，()證明：依題設(shè)yf (x)關(guān)于直線x1對(duì)稱，故f (x)f (11x)，即f (x)f (2x)，xR又由f (x)是偶函數(shù)知f (x)f (x)，xR將上式中x以x代換，得f (x)f (x2)，xR這表明f (x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期()解：由()知f (x)0，x0，1 f (x)的一個(gè)周期是2，因此 例5、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n，總有，且時(shí)。（1）證明：f(0)=1，且x1；（2）證明：f(x)在R 上單調(diào)遞減；（ 3 ）設(shè)，若，確定a 的范圍。（1）證明：令，已知時(shí)，設(shè)，即當(dāng)x1（2），則f(x)在R 上單調(diào)遞減。（3）f(x)在R上單調(diào)遞減 （單位圓內(nèi)部分） （一條直線）例6定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)， 若，試確定的取值范圍（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解：（1）在中，令得：因?yàn)?，所以，?）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)在已知條件中，若取，則已知條件可化為：由于，所以為比較的大小，只需考慮的正負(fù)即可在中，令，則得 時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有 函數(shù)在R上單調(diào)遞減（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子，即由，所以，直線與圓面無(wú)公共點(diǎn)所以，解得：（4）如點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，將一般問(wèn)題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問(wèn)題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個(gè)適合題目條件的函數(shù)4、對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）例7、已知函數(shù)滿足定義域在上的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，（1）設(shè)，求證；（2）設(shè)，若，試比較與的大?。唬?）解關(guān)于的不等式分析：本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)解題證明：（1），（2），即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，（3）令代入得，關(guān)于的不等式為，由（2）可知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，由得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立；當(dāng)，此時(shí)成立。練習(xí)：1、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，?duì) 任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 （ ）2、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)，對(duì)都有成立，若，則=（ ） （B） A）2005 B）2 C）1 D）03、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f-1(x)，又Y=f(x)過(guò)點(diǎn)（2，1），Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x)，則Y=f-1(16)為（ ）（A）A） B） C）8 D）16總之，因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等眾多性質(zhì)聯(lián)系緊密，加上本身的抽象性、多變性，所以問(wèn)題類(lèi)型眾多，解題方法復(fù)雜多變.盡管如此，以特殊模型代替