初中數(shù)學(xué)論文：雙圖相融 精彩紛呈.doc

初中數(shù)學(xué)論文 雙圖相融 精彩紛呈一次函數(shù)與反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中非常重要的兩種函數(shù)，研究它們的圖象和性質(zhì)對(duì)拓展學(xué)生的思維空間，提高他們的分析能力都非常有用。本文就直線與雙曲線“相融”的角度研究和探索隱藏在里面的一些性質(zhì)。一、雙圖演示 “變”與“不變”1.過(guò)第一象限的一條直線AB，分別交x軸、y軸正半軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，(如圖1)CDPyOBAx圖1設(shè)A（0，b），B（a，0），在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PCAO于C，PDOB于D，記矩形CODP的面積為S?？疾欤寒?dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)S的變化情況。設(shè)CP=x，則由ACPAOB得：，即 AC=x ， OC=AO-AC=b- S=PCCO=x（b-）=-+bx （0xa ） 所以S是x的二次函數(shù)，由此可知點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形CODP的面積S CDPyOx圖2隨之變化而變化，且當(dāng)x=-=時(shí)，S取得最大值，此時(shí)CP為中位線，即點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)。2過(guò)第一象限的一支雙曲線y=（x0，k0），（如圖2）。設(shè)在雙曲線 y=（x0） 上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PCAO于C，PDOB于D，記矩形CODP的面積為S?？疾欤寒?dāng)點(diǎn)P在雙曲線y=（x0）上運(yùn)動(dòng)時(shí)S的變化情況。設(shè)P（m，），則S=CPCO=m=k。所以當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S是固定不變的。它總是等于k（k0）的值。二、相融探究?jī)?nèi)在性質(zhì)CDPyOBAx圖3現(xiàn)在我們把圖1、圖2合在一起，如圖3。 點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，雙曲線y=（x0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，由上面兩個(gè)函數(shù)的研究可知：當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形CODP的面積要變化，但無(wú)論點(diǎn)P怎樣運(yùn)動(dòng)，矩形CODP的面積都小于或等于點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)的面積。而點(diǎn)P如果在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則無(wú)論點(diǎn)P怎樣運(yùn)動(dòng)，矩形CODP的面積都不會(huì)改變，這能說(shuō)明什么呢？這恰恰說(shuō)明線段AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。因此我們得到：性質(zhì)1：當(dāng)直線AB與雙曲線相切于點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P一定是線段AB的中點(diǎn)。反之也成立（m，）CDPyOBAx圖4下面換一個(gè)角度敘述上面的性質(zhì)并加以證明。如圖4，設(shè)雙曲線為y=（k0，x0），P為任一點(diǎn)（m，），則B坐標(biāo)為（2m，0）， A坐標(biāo)為（0，）。求證：直線AB與雙曲線 y=（k0，x0）相切。 證明：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b 把（2m，O），（0，）代入y=kx+b得： 直線AB的解析式為y=-， 與雙曲線y=聯(lián)列成方程組由代入得：- =（）2-4k=0 ，D2C2D1C1P2P1CDPyOBAx圖5所以方程組只有一個(gè)解。即直線AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。又因?yàn)橹本€AB與x軸、y軸都相交，故直線AB與雙曲線 y=（k0，x0） 相切。如圖5，當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)直線AB上非中點(diǎn)P1時(shí)，則雙曲線必與直線AB交于另一點(diǎn)P2，由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：當(dāng)點(diǎn)P從中點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到P1、P2時(shí)，矩形CODP的面積從最大值減少到相等的值。而從S=-x2+bx的圖象的對(duì)稱性可以猜想：要使矩形C1OD1P1與矩形C2OD2P2的面積相等，P移動(dòng)的路程應(yīng)該是相等的。即PP1=PP2，從而可進(jìn)一步猜想：AP1=BP2。FEBCyODAx圖6性質(zhì)2：在平面直角坐標(biāo)系中，任意一條與雙曲線相交的直線，被雙曲線和兩條坐標(biāo)軸所截得的線段長(zhǎng)相等。已知如圖6：直線y=ax+b與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)D，與雙曲線y=（x0），交于點(diǎn)B、點(diǎn)C。求證：AB=CD。 證明：作CEy軸于E，BFx軸于F，設(shè)B（m，n），C（e，f），則E（o，f），F(xiàn)（m，o），直線EF的解析式為y=-x+f（*）OEFCByDAx圖7又B、C在雙曲線y=上， mn=ef=k= =又B、C在直線y=ax+b上 am+b=n ae+b=f -得a（m-e）=n-f a=- （*）直線EF與直線AD平行，可證四邊形AEFB，四邊形EFDC均為平行四邊形 AB=EF=CD 。（事實(shí)上還可以用面積證明，限于篇幅，這里不再累述） 若如圖7，直線y=ax+b與雙曲線y=，坐標(biāo)軸交于A、B、D1C1B1A1P1P2CDPyOBAx圖8C、D四點(diǎn)。同理有：AB=CD。反過(guò)來(lái)，對(duì)于圖4，過(guò)點(diǎn)P任作一條直線與雙曲線交于另一點(diǎn)P1，與坐標(biāo)軸分別交于A1、B1。（如圖8）由性質(zhì)2知線段PP1 的中點(diǎn)P2 一定也是線段A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P2作P2 C1AO于C1，P2 D1 OB于D1 ，容易得到 ：三角形A1OB1的面積等于矩形P2C1OD1面積的兩倍。三角形AOB的面積等于矩形PCOD面積的兩倍。而P2在雙曲線的右上方，所以矩形P2C1OD1面積大于矩形PCOD面積。所以三角形A1OB1的面積大于三角形AOB的面積。因此我們可以得到下面的性質(zhì)。性質(zhì)3：當(dāng)P為第一象限內(nèi)一定點(diǎn)，在過(guò)點(diǎn)P與x軸y軸正半軸分別相交于點(diǎn)B、點(diǎn)A的所有直線中，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，直線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形AOB的面積最小。CDPyOBAxCDPyOBAx圖9-1圖9-2事實(shí)上，過(guò)P作任一直線如圖9-1，容易知道，PB=PAPC，PDPB=PA，APC=DPB，由S=absinC得，SPBDSAPC（圖9-2同理可證）所以SOCDSOAB所以經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形中，當(dāng)P恰好為AB中點(diǎn)時(shí)的ABO面積是最小的。BCyODAxOCByDAx圖10-2三、舉例拓展實(shí)際應(yīng)用例1：如圖10，直線y=ax+b與雙曲線y=，坐標(biāo)軸交于A、B、C、D四點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，求證：SOAB =SOCD 。 圖10-1分析：由性質(zhì)2得：AB=CD，又因?yàn)锳BO與CDO以AB、CD為底的高是相同的，所以SOAB =SOCD 。例2：（2009年山東威海）一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為；過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為與交于點(diǎn)，連接（1）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖11-1，試證明：； （2）若點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖11-2，則與還相等嗎？試證明你的結(jié)論OCFMDENKyx（圖11-1）OCDKFENyxM（圖11-2）分析