第十一章 第1講 簡諧運動受迫振動

選修3 4第十一章振動和波相對論簡介第1講簡諧運動受迫振動 知識點1簡諧運動單擺 周期公式 1 簡諧運動物體在跟位移大小成正比并且總是指向平衡位置的回復(fù)力作用下的振動 2 簡諧運動的特征 1 動力學(xué)特征 回復(fù)力與位移大小成 比 總指向 2 運動學(xué)特征 x v a均按 或余弦 規(guī)律發(fā)生周期性變化 注意v a的變化趨勢相反 3 能量特征 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 振幅A不變 正 平衡位 置 正弦 3 簡諧運動的兩種模型 質(zhì)量 回復(fù)力 伸長 足夠小 F kx 知識點2簡諧運動的公式和圖像 1 簡諧運動的表達(dá)式 1 動力學(xué)表達(dá)式 F kx 其中 表示回復(fù)力與 的方向相反 2 運動學(xué)表達(dá)式 x Asin t 其中A代表 表示簡諧運動的快慢 t 代表簡諧運動的相位 叫做 位移 振幅 初相 2 簡諧運動的圖像 1 從 開始計時 函數(shù)表達(dá)式為x Asin t 圖像如圖甲所示 2 從 處開始計時 函數(shù)表達(dá)式為x Acos t 圖像如圖乙所示 平衡位置 最大位移 知識點3受迫振動和共振 1 受迫振動 1 概念 振動系統(tǒng)在周期性 作用下的振動 2 特點 受迫振動的頻率等于 的頻率 跟系統(tǒng)的固有頻率 驅(qū)動力 驅(qū)動力 無關(guān) 2 共振 1 現(xiàn)象 當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的 時 受迫振動的振幅最大 2 條件 驅(qū)動力的頻率等于 3 特征 共振時振幅 4 共振曲線 如圖所示 固有頻率 固有頻率 最大 思考辨析 1 機(jī)械振動就是簡諧運動 2 彈簧振子做簡諧運動 加速度最大時 速度最大 3 做簡諧運動的彈簧振子 若兩時刻振子運動位移的大小相等 方向相同 則兩時刻時間差一定等于周期的整數(shù)倍 4 做簡諧運動的單擺 振幅越大周期越大 5 擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍 擺球經(jīng)過平衡位置時速度減為原來的時 則單擺的頻率不變 振幅不變 6 做簡諧運動的水平彈簧振子 在半個周期內(nèi) 彈力做的功一定為零 7 簡諧運動的圖像代表質(zhì)點的振動軌跡 分析 只有滿足F kx關(guān)系的回復(fù)力作用下的機(jī)械振動才是簡諧運動 故 1 錯 彈簧振子做簡諧運動 加速度最大時 速度最小 故 2 錯 做簡諧運動的彈簧振子 若兩時刻振子運動位移的大小相等 方向相同 由振動圖像可知兩時刻時間差不一定等于周期的整數(shù)倍 故 3 錯 做簡諧運動的單擺 周期與振幅無關(guān) 故 4 錯 在平衡位置 即最低點 時的動能當(dāng)m增為原來的4倍 速度減為原來的 時 動能不變 最高點的重力勢能也不變 但是由于擺球的質(zhì)量增大了 勢能Ep mgh不變 m大了 h就一定變小了 也就是說 振幅減小了 故 5 錯 根據(jù)動能定理 在某一段時間內(nèi)彈力做的功等于振子的動能的增量 在時間相差半個周期內(nèi)的兩個時刻 振子的速度大小即速率一定相等 所以動能不變 在這段時間內(nèi)彈力做功為零 故 6 對 簡諧運動的圖像不是振動質(zhì)點的軌跡 簡諧運動圖像實質(zhì)是位移 時間圖像 故 7 錯 考點1簡諧運動的特征 考點解讀 1 動力學(xué)特征 F kx 表示回復(fù)力的方向與位移方向相反 k是比例系數(shù) 不一定是彈簧的勁度系數(shù) 2 運動學(xué)特征 簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反 為變加速運動 遠(yuǎn)離平衡位置時 x F a Ep均增大 v Ek均減小 靠近平衡位置時則相反 深化理解 3 運動的周期性特征 相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同 4 對稱性特征 相隔 n為正整數(shù) 的兩個時刻 質(zhì)點所處位置必定與原來的位置關(guān)于平衡位置對稱 所有的運動描述量大小相等 如果為矢量則方向相反 質(zhì)點在距平衡位置等距離的兩個點上具有大小相等的速度 加速度 在平衡位置兩側(cè)相等距離上運動時間也是相同的 5 能量特征 振動的能量包括動能Ek和勢能Ep 簡諧運動過程中 系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化 系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 典例透析1 2014 漳州模擬 如圖所示 彈簧下面掛一質(zhì)量為m的物體 物體在豎直方向上做振幅為A的簡諧運動 當(dāng)物體振動到最高點時 彈簧正好為原長 彈簧在彈性限度內(nèi) 則物體在振動過程中 A 彈簧的最大彈性勢能等于2mgAB 彈簧的彈性勢能和物體動能總和不變C 物體在最低點時的加速度大小應(yīng)為2gD 物體在最低點時的彈力大小應(yīng)為mg 解題探究 1 物體振動過程的對稱性特征 在 位置兩側(cè)等距離的兩個點 大小相等 2 彈簧振子平衡位置的回復(fù)力 3 物體振動過程的能量特征 系統(tǒng) 守恒 平衡 速度 加速度 回復(fù)力 為零 機(jī)械能 解析 選A 據(jù)機(jī)械能守恒定律可知物體在振動過程中 彈簧的彈性勢能和物體動能 重力勢能的總和不變 在最低點時彈性勢能最大 應(yīng)為2mgA A選項正確 B選項錯誤 物體振動到最高點時 彈簧正好為原長 物體只受重力作用 加速度大小為g 據(jù)物體振動過程的對稱性可知在最低點時的加速度大小應(yīng)為g 彈力大小應(yīng)為2mg C D選項錯誤 變式訓(xùn)練 2014 三明模擬 光滑的水平面上放有質(zhì)量分別為m和m的兩木塊 下方木塊與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連 彈簧的另一端固定在墻上 如圖所示 已知兩木塊之間的最大靜摩擦力為f 為使這兩個木塊組成的系統(tǒng)能像一個整體一樣地振動 系統(tǒng)的最大振幅為 解析 選C 由兩木塊之間的最大靜摩擦力為f 以質(zhì)量為m的木塊為研究對象 可得整體的最大加速度則kA ma 由此得最大振幅故選C 變式備選 如圖所示 在質(zhì)量為M的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為m M m 的A B兩物體 箱子放在水平地面上 平衡后剪斷A B間細(xì)線 此后A將做簡諧運動 當(dāng)A運動到最高點時 木箱對地面的壓力為 A MgB M m gC M m gD M 2m g 解析 選A 由平衡條件可知線斷時A受到的回復(fù)力為mg 當(dāng)A運動到最高點時回復(fù)力大小應(yīng)為mg 方向向下 因而此時彈簧的彈力等于零 木箱對地的壓力為Mg 故A正確 考點2簡諧運動的圖像 考點解讀 1 由圖像可以得出質(zhì)點做簡諧運動的振幅 周期 2 可以確定某時刻質(zhì)點離開平衡位置的位移 3 可以根據(jù)圖像確定某時刻質(zhì)點回復(fù)力 加速度和速度的方向 回復(fù)力和加速度的方向 因回復(fù)力總是指向平衡位置 故回復(fù)力和加速度在圖像上總是指向t軸 拓展延伸 速度的方向 速度的方向可以通過下一時刻位移的變化來判定 下一時刻位移如增加 振動質(zhì)點的速度方向就是遠(yuǎn)離t軸 下一時刻位移如減小 振動質(zhì)點的速度方向就是指向t軸 典例透析2 2014 南平模擬 如圖所示 一底端有擋板的斜面體固定在水平面上 其斜面光滑 傾角為 一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定在擋板上 上端與物塊A連接在一起 物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上 某時刻將B迅速移開 A將在斜面上做簡諧運動 已知物塊A B的質(zhì)量分別為mA mB 若取沿斜面向上為正方向 移開B的時刻為計時起點 則A的振動位移隨時間變化的圖像是 解題探究 將B移開后 A在斜面上做簡諧運動 1 平衡位置時彈簧壓縮量為 2 A做簡諧運動的振幅為 3 開始計時時刻 A所處的位置是簡諧運動 最大位移處 負(fù)向 解析 選B 物塊B緊挨著物塊A靜止在斜面上時 彈簧壓縮量是B移開后 A在斜面上做簡諧運動 在平衡位置有mAgsin kx 即彈簧壓縮量為因此A做簡諧運動的振幅為選項A C錯誤 開始計時時刻 A所處的位置是簡諧運動負(fù)向最大位移處 且沿斜面向上為正方向 振動位移隨時間變化的圖像是B 選項D錯誤 總結(jié)提升 利用圖像分析振動物理量的方法 1 簡諧運動的圖像不是振動質(zhì)點的軌跡 簡諧運動圖像實質(zhì)是位移 時間圖像 對同一振動的物體 圖像的形狀與起始時刻的選取和正方向的規(guī)定有關(guān) 2 要將圖像所提供的信息與簡諧運動特征有機(jī)結(jié)合起來 并注意發(fā)掘隱含信息 這類問題一般都需要明確振動的周期和振幅及某時刻速度方向 并在此基礎(chǔ)上沿著x F a Ep Ek思路分析各量的變化 3 分析此類問題的關(guān)鍵是建立起振動圖像和振動過程的聯(lián)系 結(jié)合初始時刻的位置 周期和振幅來計算一定時間內(nèi)的路程 若初始時刻的位置在平衡位置或最大位移處 則路程若初始時刻的位置不在特殊位置 且時間不滿足半周期的整數(shù)倍 則路程應(yīng)結(jié)合函數(shù)關(guān)系進(jìn)行計算 變式訓(xùn)練 如圖所示為某彈簧振子在0 5s內(nèi)的振動圖像 由圖可知 下列說法中正確的是 A 振動周期為5s 振幅為8cmB 第2s末振子的速度為零 加速度為負(fù)向的最大值C 第3s末振子的速度為正向的最大值D 從第1s末到第2s末振子在做加速運動 解析 選C 根據(jù)圖像 周期T 4s 振幅A 8cm A錯誤 第2s末振子到達(dá)波谷位置 速度為零 加速度最大 但沿x軸正方向 B錯誤 第3s末振子經(jīng)過平衡位置 速度達(dá)到最大 且向x軸正方向運動 C正確 從第1s末到第2s末振子經(jīng)過平衡位置向下運動到達(dá)波谷位置 速度逐漸減小 D錯誤 考點3受迫振動和共振 考點解讀 1 自由振動 受迫振動和共振的比較 對比分析 2 共振曲線如圖所示 橫坐標(biāo)為驅(qū)動力頻率f驅(qū) 縱坐標(biāo)為振幅A 它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對受迫振動振幅的影響 由圖可知 f驅(qū)與f固越接近 振幅A越大 當(dāng)f驅(qū) f固時 振幅A最大 典例透析3 下表表示某受迫振動的振幅隨驅(qū)動力頻率變化的關(guān)系 若該振動系統(tǒng)的固有頻率為f固 則 A f固 60HzB 60Hz f固 70HzC 50Hz f固 60HzD 以上選項都不對 解題探究 1 振動系統(tǒng)的固有頻率由 與 無關(guān) 2 共振曲線反映振動系統(tǒng)的振幅隨驅(qū)動力頻率變化的關(guān)系是 系統(tǒng)本身決定 驅(qū)動力 驅(qū)動力頻率越接近系統(tǒng)的固有頻率 系統(tǒng)的振幅越大 解析 選C 由如圖所示的共振曲線可判斷出f驅(qū)與f固相差越大 受迫振動的振幅越小 f驅(qū)與f固越接近 受迫振動的振幅越大 并從中看出f驅(qū)越接近f固 振幅的變化越慢 比較各組數(shù)據(jù)知f驅(qū)在50 60Hz范圍內(nèi)時 振幅變化最小 因此 50Hz f固 60Hz 故C正確 變式訓(xùn)練 正在運轉(zhuǎn)的機(jī)器 當(dāng)其飛輪以角速度 0勻速轉(zhuǎn)動時 機(jī)器的振動不強(qiáng)烈 切斷電源 飛輪的轉(zhuǎn)動逐漸慢下來 在某一小段時間內(nèi)機(jī)器卻發(fā)生了強(qiáng)烈的振動 此后飛輪轉(zhuǎn)速繼續(xù)變慢 機(jī)器的振動也隨之減弱 在機(jī)器停下來之后若重新啟動機(jī)器 使飛輪轉(zhuǎn)動的角速度從0較緩慢地增大到 0 在這一過程中以下判斷正確的是 A 機(jī)器一定不會發(fā)生強(qiáng)烈的振動B 機(jī)器一定還會發(fā)生強(qiáng)烈的振動 C 若機(jī)器發(fā)生強(qiáng)烈振動 強(qiáng)烈振動可能發(fā)生在飛輪角速度為 0時D 若機(jī)器發(fā)生強(qiáng)烈振動 強(qiáng)烈振動時飛輪的角速度肯定為 解析 選B 飛輪在轉(zhuǎn)速逐漸減小的過程中 機(jī)器出現(xiàn)強(qiáng)烈的振動 說明發(fā)生共振現(xiàn)象 共振現(xiàn)象產(chǎn)生的條件是驅(qū)動力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率 故當(dāng)機(jī)器重新啟動時 飛輪轉(zhuǎn)速緩慢增大的過程中 一旦達(dá)到共振條件 機(jī)器一定還會發(fā)生強(qiáng)烈的振動 A錯 B對 由題意可知 發(fā)生強(qiáng)烈共振時 飛輪的角速度一定小于 0 但不一定是 C D錯 故選B 資源平臺 振動的處理方法在綜合問題中的應(yīng)用如圖甲 在x 0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場 電場強(qiáng)度大小為E 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B 一質(zhì)量為m 帶電量為q q 0 的粒子從坐標(biāo)原點O處 以初速度v0沿x軸正方向射入 粒子的運動軌跡見圖甲 不計粒子的重力 現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡 y x曲線 不同 但具有相同的空 間周期性 如圖乙所示 同時 這些粒子在y軸方向上的運動 y t關(guān)系 是簡諧運動 且都有相同的周期當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時 其y t圖像如圖丙所示 求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A 并寫出y t的函數(shù)表達(dá)式 規(guī)范解答 設(shè)粒子在y方向上的最大位移為ym 圖丙曲線的最高點處 對應(yīng)的粒子運動速度大小為v2 方向沿x軸 因為粒子在y方向的運動為簡諧運動 因而在y 0和y ym處粒子所受的合外力大小相等 方向相反 則 qv0B qE qv2B qE 由動能定理有 又Ay ym 由 式解得 可寫出圖丙曲線滿足的簡諧運動y t函數(shù)表達(dá)式為答案 1 如圖為一彈簧振子的振動圖像 由此可知 A 在t1時刻 振子的動能最大 所受的彈力最大B 在t2時刻 振子的動能最大 所受的彈力最小C 在t3時刻 振子的動能最大 所受的彈力最小D 在t4時刻 振子的動能最大 所受的彈力最大 解析 選B 由振動圖像可知 質(zhì)點t2和t4時刻在平衡位置處 t1和t3時刻在最大位移處 根據(jù)彈簧振子振動的特征 彈簧振子在平衡位置時的速度最大 動能最大 加速度為零 彈力為零 B對 D錯 在最大位移處 速度為零 動能最小 加速度最大 彈力最大 A C錯 2 2014 泉州模擬 如圖所示 質(zhì)量相同的四個擺球懸于同一根橫線上 四個擺的擺長分別為l1 2m l2 1 5m l3 1m l4 0 5m 現(xiàn)以擺3為驅(qū)動擺 讓擺3振動 使其余三個擺也振動起來 則擺球振動穩(wěn)定后 A 擺1的振幅一定最大B 擺4的周期一定最短C 四個擺的振幅相同D 四個擺的周期相同 解析 選D 讓擺3振動 則其余三個擺做受迫振動 四個擺的周期相同 選項B錯誤 D正確 擺1與驅(qū)動擺3固有周期相差多 振幅小 選項A C錯誤 3 2013 上海高考 做簡諧振動的物體 當(dāng)它每次經(jīng)過同一位置時 可