《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課件.ppt

第二十四講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 回歸課本 1 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a 有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共線的向量e1 e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 2 平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量e1 e2作為基底 對于平面內(nèi)的一個向量a 有且只有一對實數(shù)a1 a2 使a a1e1 a2e2 把有序數(shù)對 a1 a2 叫做向量a的坐標(biāo) 記作a a1 a2 其中a1叫a在x軸上的坐標(biāo) a2叫a在y軸上的坐標(biāo) 設(shè) a1e1 a2e2 則向量的坐標(biāo) a1 a2 就是終點a的坐標(biāo) 即若 a1 a2 則a點坐標(biāo)為 a1 a2 反之亦成立 o是坐標(biāo)原點 2 平面向量的坐標(biāo)運算 1 加法 減法 數(shù)乘運算 2 向量坐標(biāo)的求法已知a x1 y1 b x2 y2 則 x2 x1 y2 y1 即一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo) 3 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 則a與b共線 a b x1y2 x2y1 0 考點陪練 1 下列各組向量中 可以作為基底的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 1 2 e2 5 7 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 e2 解析 根據(jù)基底的定義知 非零且不共線的兩個向量才可以作為平面內(nèi)的一組基底 a中顯然e1 e2 c中e2 2e1 所以e1 e2 d中e1 4e2 所以e1 e2 答案 b 2 已知a 2 3 b 1 5 則3a b等于 a 5 14 b 5 14 c 7 4 d 5 9 解析 3a b 3 2 3 1 5 6 9 1 5 5 14 答案 a 3 設(shè)a 1 2 b 3 4 c 3 2 則 a 2b c a 15 12 b 0c 3d 11解析 a 2b 1 2 2 3 4 5 6 a 2b c 3 答案 c 答案 2 類型一平面向量基本定理的應(yīng)用解題準(zhǔn)備 已知e1 e2是平面的一組基底 如果向量a e1 e2共面 那么有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 反之 如果有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 那么a e1 e2共面 這是平面向量基本定理的一個主要考查點 也是高考本部分知識考查的重點內(nèi)容 反思感悟 1 本題先利用平面向量基本定理設(shè)出未知向量 然后利用共線向量的條件列出方程組 通過待定系數(shù)法從而確定參數(shù)的值 2 由平面向量基本定理知 平面內(nèi)的任一向量都可用兩個不共線的向量惟一表示 根據(jù)向量的加法和減法法則及幾何性質(zhì)即可解題 類型二平面向量的坐標(biāo)運算解題準(zhǔn)備 向量的坐標(biāo)運算 使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行 實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化 將數(shù)與形緊密結(jié)合起來 就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算 反思感悟 由a b c三點坐標(biāo)易求得坐標(biāo) 再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可以求出m n的坐標(biāo) 向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式 它只與起點 終點 相對位置有關(guān) 三者中給出任意兩個 可求第三個 在求解時 應(yīng)將向量坐標(biāo)看作一 整體 運用方程的思想求解 向量的坐標(biāo)運算是向量中最常用也是最基本的運算 必須靈活應(yīng)用 類型三平面向量共線的坐標(biāo)表示解題準(zhǔn)備 兩平面向量共線的充要條件有兩種形式 若a x1 y1 b x2 y2 則a b的充要條件是x1y2 x2y1 0 若a b a 0 則b a 典例3 平面內(nèi)給定三個向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 回答下列問題 1 求3a b 2c 2 求滿足a mb nc的實數(shù)m n 3 若 a kc 2b a 求k 4 若 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 直接用向量加減法的坐標(biāo)運算公式 2 借助于向量相等的條件 建立關(guān)于m n的方程組 3 利用向量共線的充要條件 建立關(guān)于實數(shù)k的充要條件 4 利用 d c a b 及 d c 1建立關(guān)于x y的方程組 解 1 3a b 2c 3 3 2 1 2 2 4 1 9 6 1 2 8 2 9 1 8 6 2 2 0 6 2 a mb nc 3 2 m 1 2 n 4 1 m 4n 2m n 3 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 4 設(shè)d x y d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 反思感悟 向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示 在引入向量的坐標(biāo)表示后 可以使向量的運算完全化為代數(shù)運算 這樣就可以將 形 和 數(shù) 緊密結(jié)合在一起 因此 很多幾何問題 特別是共線 共點等較難問題的證明 通過建立坐標(biāo)系 設(shè)出點的坐標(biāo)就可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算來解決 如 要證平行 只需相關(guān)向量共線 要證垂直 只需相關(guān)向量數(shù)量積等于0 錯源一遺漏零向量 典例1 若a 3 2 m 與b m m 平行 求m的值 錯解 因為b m m m 1 1 令c 1 1 b c 又a b 所以a c 即3 1 1 2 m 0 解得m 5 剖析 零向量與任一向量平行 當(dāng)m 0時 b為零向量 也與a平行 正解 由a b 得 3m m 2 m 0 即m2 5m 0 解得m 5或m 0 所以m的值為0或5 評析 零向量與任一向量都是平行 共線 向量 這是在解題中常常容易被忽視的 錯源二忽視平面向量基本定理的使用條件致誤 剖析 本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決 但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時 容易忽視平面向量基本定理的使用條件 出現(xiàn)漏解 漏掉了當(dāng)a b共線時 t可為任意實數(shù)這個解 正解 由題設(shè)知 d c 2b 3a e c t 3 a tb c d e三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k 使得即 t 3 a tb 3ka 2kb 整理得 t 3 3k a 2k t b 若a b共線 則t可為任意實數(shù) 若a b不共線 則有解之得綜上 a b共線時 t可為任意實數(shù) a b不共線時 評析 平面向量基本定理如果e1 e2是一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對該平面內(nèi)的任一向量a 有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 1e1 2e2 特別地 當(dāng)a 0時 1 2 0 本題在a b不共線時 就是根據(jù)這個定理得出的方程組 在平面向量的知識體系里 平面向量基本定理是基石 共線向量定理是重要工具 在復(fù)習(xí)這部分時要充分注意這兩個定理在解決問題中的作用 在使用平面向量基本定理時要注意其使用是兩個基向量不共線 技法一基向量法 典例1 在下圖中 對于平行四邊形abcd 點m是ab的中點 點n在