5.2 二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分.ppt

5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 一 偏導數(shù)二 高階偏導數(shù)三 全微分四 全微分在近似計算中的應用 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 一 偏導數(shù) 1 偏導數(shù)的定義 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如函數(shù)在點處 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例1求 解法1 解法2 在點 1 2 處的偏導數(shù) 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例2設 證 例3求 的偏導數(shù) 解 求證 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 偏導數(shù)記號是一個 例4已知理想氣體的狀態(tài)方程 求證 證 說明 R為常數(shù) 不能看作 分子與分母的商 此例表明 整體記號 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 2 偏導數(shù)的幾何意義 如圖 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 1 幾何意義 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 2 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系 但函數(shù)在該點處并不連續(xù) 偏導數(shù)存在連續(xù) 一元函數(shù)中在某點可導連續(xù) 多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在連續(xù) 則稱它們是z f x y 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 二 高階偏導數(shù) 設z f x y 在域D內存在連續(xù)的偏導數(shù) 若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù) 的二階偏導數(shù) 按求導順序不同 有下列四個二階偏導 數(shù) 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 類似可以定義更高階的偏導數(shù) 例如 z f x y 關于x的三階偏導數(shù)為 z f x y 關于x的n 1階偏導數(shù) 再關于y的一階 偏導數(shù)為 第二 三個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù) 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù) 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 解 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例6求函數(shù) 解 注意 此處 但這一結論并不總成立 的二階偏導數(shù)及 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 問題 例如 對三元函數(shù)u f x y z 當三階混合偏導數(shù) 在點 x y z 連續(xù)時 有 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 證 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例8證明函數(shù) 滿足 證 利用對稱性 有 方程 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 三 全微分 全增量 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 定義2如果函數(shù)z f x y 在點 x y 可表示成 其中A B不依賴于 x y 僅與x y有關 稱為函數(shù) 在點 x y 的全微分 記作 若函數(shù)在域D內各點都可微 則稱函數(shù) f x y 在點 x y 可微 的全增量 則稱此函數(shù)在D內可微 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 證 可微 與 連續(xù) 的關系 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 可微 與 偏導數(shù)存在 的關系 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 同樣可證 證由全增量公式 得到對x的偏增量 因此有 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 反例 函數(shù) 易知 但 注 定理3的逆定理不成立 偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微 因此 函數(shù)在點不可微 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 定理4 可微的充分條件 若函數(shù) 的偏導數(shù) 則函數(shù) 在點 連續(xù) 在該點可微 且 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 例如 三元函數(shù) 的全微分為 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例9計算函數(shù) 在點 2 1 處的全微分 解 例10計算函數(shù) 的全微分 解 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 可知當 四 全微分在數(shù)值計算中的應用 近似計算 由全微分定義 較小時 及 有近似等式 可用于近似計算 誤差分析 可用于近似計算 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 例11計算 的近似值 解設 則 取 則 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 半徑由20cm增大 解已知 即受壓后圓柱體體積減少了 例12有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 到20 05cm 則 高度由100cm減少到99cm 體積的近似改變量 求此圓柱體 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 偏導數(shù)的定義 偏導數(shù)的計算 偏導數(shù)的幾何意義 高階偏導數(shù) 偏增量比的極限 純偏導 混合偏導 相等的條件 內容小結 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 思考練習 則 A C 為 曲線在點 的切向量 為 5 2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 思考練習 D 曲線在點 的切向量 為 答案 C 5 1多