「植樹問題講義資料」.doc

植樹問題講義【知識要點】 在一段路線上，每隔一定的距離種一棵樹，一共可以種多少棵樹，像這類型問題都是植樹問題。這段路線的長度就叫總長，相鄰兩棵樹之間的距離就叫間距，樹把路線分成很多個間隔，叫段數(shù)；一共種了多少棵樹叫棵數(shù)。植樹問題就是研究總長、間距、段數(shù)、棵數(shù)四者之間的關(guān)系，在不同情況下，四者的關(guān)系都會不同。解題關(guān)鍵就在于，分析是哪種把握情況及四者間關(guān)系。思考方法就是畫圖初步判斷屬哪種情況及四者的關(guān)系（一般畫最簡單的情況，如種一棵或兩棵來幫助理解）類型植樹問題線上植樹問題面上植樹問題不封閉路線植樹封閉路線植樹：線（一）、線上植樹問題1、不封閉路線兩端都種樹 段數(shù)=棵數(shù)-1 總長=段數(shù)間距例1：少先隊員在一條馬路的兩邊栽樹（包括端點），每兩棵樹之間的距離是5米，一共栽了300棵樹。這條馬路有多少米？【點撥】這題是兩面植樹問題，解決問題時，將兩邊的問題看成一邊來做，然后應(yīng)用植樹問題的規(guī)律解題。拓展：上樓梯問題、掛鐘報時問題例2、有一幢樓高17層，相鄰兩層間都有17個臺階。某人從一層走到十一層，一共要登多少臺階？（北京市競賽試題）【點撥】 這是一道植樹問題的變形題，相當(dāng)于兩端植樹問題中的不封閉路線植樹類型。解：例3、有一個掛鐘，每小時敲一次，幾點敲幾下。鐘敲6下，5秒鐘敲完。鐘敲12下，幾秒鐘敲完？ 【點撥】 掛鐘報時在敲擊時兩次敲擊之間需要間隔一段時間，符合植樹問題中的兩端植樹這種情況。解：2、不封閉路線一端種樹段數(shù)=棵數(shù) 總長=段數(shù)間距例4、父子倆一起攀登一個有300個臺階的山坡，父親每步上3個臺階，兒子每步上2個臺階。從起點處開始，父子倆走完這段路各踏了多少個臺階？【點撥】因為兩端的臺階只有頂?shù)呐_階被踏過，所以屬于一端植一端不植。解：3、不封閉路線兩端都不種樹 段數(shù)=棵數(shù)+1 總長=段數(shù)間距例5、大象館和猩猩館相距60米，綠化隊要在小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽幾棵樹？解：拓展：鋸木問題例6、甲乙丙三組同學(xué)參加鋸木頭勞動，他們領(lǐng)取的圓木長度分別是4米、3米和2米，要求把這三種木料都鋸成長為1米的小段，已知每組同學(xué)將一根木料據(jù)稱兩段所需要的時間都是6分鐘，并且甲、乙、丙三組最后分別鋸成了20段，18段，26段，那么工作量最小的組共據(jù)木頭？分鐘解：4、在封閉路線上種樹段數(shù)=棵數(shù)總長=段數(shù)每段長例7有一個圓形花壇，它的外周長180米，沿著它的外圍，每隔6米栽一株杜鵑花，然后在相鄰的兩株杜鵑花之間等距離地載上兩株百合花。問可栽杜鵑花多少株？可栽百合花多少株？兩株相鄰的杜鵑花之間的兩株百合花相距多少米？【點撥】在圓周上栽花，可載的株樹正好等于分成的段數(shù)。又由于每相鄰的兩株杜鵑花之間等距離的栽上兩株百合花，所以在百合花的株數(shù)等于杜鵑花把圓分成的段數(shù)乘以2的積。求兩株百合花之間的距離，即6米上有4株花，也就是有3段的距離。解:（二）面上植樹問題株距行距(植樹時行與行之間的距離)=每棵樹的占地面積每棵樹的占地面積棵樹=總面積例8、一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米，這個蘋果園共種蘋果樹多少顆？【點撥】這道題的難度不大，屬于面上植樹問題。例9、運(yùn)動會上，二實驗小學(xué)的檢閱隊伍有400人，分成8豎行并列前進(jìn)，前后兩人相隔2米，每分鐘走80米。這支隊伍通過62米的檢閱臺需要多少分鐘？【點撥】這道題是植樹問題的逆解題，相當(dāng)于已知棵樹，每兩棵相鄰樹之間的距離，求數(shù)列的長度。由于隊伍要通過檢閱臺，除了隊伍的長度，所行進(jìn)的距離還要加上檢閱臺的長度解：【解題技巧】掌握了植樹問題，就能夠解答一些指數(shù)問題的變形題。如鋸木頭、走樓梯、打木樁等問題，也有些題是植樹問題、行程問題和時鐘問題相結(jié)合的綜合題。但題目實質(zhì)上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、間距三者之間的關(guān)系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問題，就