高中數學第一輪總復習 第5章第34講向量的數量積課件 理 新課標.ppt

第五章 平面向量與復數 向量的數量積 第34講 1 已知向量a 2 t b 1 2 當t t1時 a b 當t t2時 a b 則t1 t2 解析 向量a 2 t b 1 2 當t t1時 a b 所以2 2 t1 0 則t1 4 當t t2時 a b 所以2 1 2t2 0 則t2 1 4 1 2 若 a b 1 a b 且2a 3b與ka 4b也互相垂直 則k的值為 解析 因為2a 3b與ka 4b垂直 a與b垂直 且 a b 1 所以 2a 3b ka 4b 2ka2 12b2 3k 8 a b 2k 12 0 所以k 6 6 3 下列各結論中正確的有 填正確的序號 0 0 0 0 a 0 a b a b a b 0 a 0或b 0 a b a b c 0 解析 錯 實數與向量的乘積為向量 錯 a b a b cos a b a b cos a b 錯 a b 0 a 0或b 0或a b 4 a b為平面向量 已知a 4 3 2a b 3 18 則a b夾角的余弦值等于 向量的數量積的概念 例1 設a b c是任意的非零平面向量 且相互不共線 則下列命題 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不與c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中是真命題的有 解析 對于 b與c是不共線的兩個非零向量 且a b與c a不能都為零 故 錯誤 對于 由三角形的兩邊之差小于第三邊知 正確 對于 由向量的數量積的運算法則 得 b c a c a b c b c a c c a b c 0 所以 b c a c a b c 故 錯誤 對于 由于 3a 2b 3a 2b 9a2 4b2 9 a 2 4 b 2 故 正確 答案 點評 判斷上述問題的關鍵是掌握向量的數量積的含義 向量的數量積的運算律不同于實數乘法的運算律 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特別是向量的數量積不滿足結合律 即 a b c a b c 變式練習1 下列命題中正確的個數是 若a b 0 則a 0或b 0 a b c a b c 若a b b c b 0 則a c a b b a 若a與b不共線 則a與b的夾角為銳角 1 解析 當a 0時 由a b 0 b 0 且對任意與a垂直的非零向量b 都有a b 0 故 錯 a b c表示一個與c共線的向量 而a b c 表示一個與a共線的向量 而c與a通常并不是共線的 故 錯 設a與b的夾角為 b與c的夾角為 則由a b b c 得 a cos c cos a c 故 錯 由于向量數量積滿足交換律 故 正確 向量的夾角是指兩向量起點相同時兩個方向所成的角 可為 0 180 范圍內的角 故 錯 答案 1 向量的夾角 點評 數量積的定義和性質是解決垂直問題與夾角問題的重要方法 1 題中通過垂直的充要條件 得到 a b 這是本題的突破口 在等式2a b b2中 不能 約去b 得出 2a b 注意這一點與實數乘法不同 2 題中 向量的夾角范圍是 0 并且注意a2 a 2及夾角公式的應用 同時 a與b的夾角是鈍角 可以得到a b 0 但這并不是a與b的夾角為鈍角的充要條件 因為a與b的夾角是180 時也有a b 0 因此第二問要排除掉a與b反向的情形 想一想 若a與b的夾角是銳角時又要注意什么呢 變式練習2 已知a和b的夾角為60 a 10 b 8 求 1 a b 2 a b與a的夾角 的余弦值 向量的平行與垂直 例3 設向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a b 2c 求tan 的值 2 求 b c 的取值范圍 3 若tan tan 16 求證a b 解析 1 b 2c sin 2cos 4cos 8sin a b 2c 4cos sin 2cos sin 4cos 8sin 4sin 8cos 0 所以tan 2 點評 向量的平行與垂直問題是高考的熱門話題 要牢記向量平行與垂直的充要條件 根據已知條件靈活運用 綜合應用 點評 本例是向量 函數 導數應用的典型例子 第 2 問中兩種解法是解決向量垂直的常見方法 方法1是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標 再利用向量垂直的充要條件 方法2是直接利用向量垂直的充要條件 其過程要用到向量的數量積公式及求模公式 達到同樣的求解目的 但運算過程大大簡化 值得注意 第 2 問中求函數的單調區(qū)間運用的是求導的方法 這是新舊知識交匯點處的綜合運用 5 4 已知 a 2 b a與b的夾角為45 要使lb a與a垂直 則l 解析 由lb a與a垂直 lb a a la b a2 0 所以l 2 2 1 兩向量的夾角 如圖 aob 0 180 叫做向量a與b的夾角 當 0 時 a與b同向 當 180 時 a與b反向 當 90 時 a與b垂直 記作a b 2 向量的數量積的幾何意義 對于a b a b cos 其中 b cos 叫向量b在a方向上的射影 為a b的夾角 向量的數量積a b等于a的長度 a 與b在a方向上的射影 b cos 的乘積 當 為銳角時 值為正 當 為鈍角時 值為負 當 為直角時 值為零 當 為零時 值為 a b 當 為180 時 值為 a b 4 運用平面向量的數量積應該注意以下幾個方面 1 兩個向量的夾角的取值范圍為 0 180 2 兩向量的數量積是一個數 而不是一個向量 并且數量積是向量間的一種乘法 與以前所學的乘法是有區(qū)別的 書寫時要區(qū)分開 3 當a 0時 a b 0不能推出b一定是零向量 因為當a b a 0 時 a b 0 4 用向量的數量積可解決有關長度 角度和垂直的問題 5 對于實數a