2011年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案(經(jīng)濟(jì)管理類).pdf

Page 1 of 9 2011 年 天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答 經(jīng)管類 一 填空題 填空題 本題本題 15 分分 每小題 每小題 3 分分 1 設(shè) f x 是連續(xù)函數(shù) 且 0 lim4 1cos x f x x 則 0 1 lim 1 x x f x x 2 e 2 設(shè) 2 23 2 x f xaxb x 若 lim 0 x f x 則 a 2 b 4 3 1 elnd x xx x e ln x xC 4 設(shè) f x y 是連續(xù)函數(shù) 且 d d D f x yxyf x yx y 其中D由 x 軸 y 軸以及 直線 1 xy 圍成 則 f x y 1 12 xy 5 ln4 ln2 1 d e1 x x 6 二 選擇題 選擇題 本題本題 15 分分 每小題 每小題 3 分分 1 設(shè) 2 ln 1 f xxx 則 f x 在 0 x 處 A 0 2 f B 0 0 f C 0 2 f D 不可導(dǎo) 答 A 2 設(shè)函數(shù) yf x 具有二階導(dǎo)數(shù) 且滿足方程 sin e 0 x yy 已知 0 0 fx 則 A f x 在 0 x 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增加 B f x 在 0 x 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增少 C f x 在 0 x 處取得極小值 D f x 在 0 x 處取得極大值 答 C 3 圖中曲線段的方程為 yf x 函數(shù) f x 在區(qū)間 0 a 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 則積分 0 d a xf xx 表示 A 直角三角形 AOB 的面積 B 直角三角形 AOC 的面積 C 曲邊三角形 AOB 的面積 D 曲邊三角形 AOC 的面積 答 D 4 設(shè)在區(qū)間 a b 上的函數(shù) 0 f x 且 0 fx 令 1 d b a Sf xx Page 2 of 9 2 Sf b ba 3 1 2 Sf af bba 則 A 123 SSS B 312 SSS C 213 SSS D 231 SSS 時(shí) 有 22 0 yxy 故 y x 在區(qū)間 0 單調(diào)增加 從而當(dāng) 0 x 時(shí) 22 yxy 也單調(diào)增加 可見(jiàn) 曲線 yy x 在區(qū)間 0 向下凸 或當(dāng) 0 x 時(shí) 可得 22 2222 0 yxy yxy xy 可見(jiàn) 曲線 yy x 在區(qū)間 0 向下凸 由題設(shè)知 0 0 0 y y 應(yīng)用洛必達(dá)法則 22 322 000 limlimlim 33 xxx y xy xxy xxx 2 2 0 11111 lim 0 33333 x y y x 七 7 分 設(shè) f x 在 0 1 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且0 1 0 0 fxf 令 2 0 2 d x g xf ttfx 則 g x 在 0 1 上連續(xù) 且 2 1 0 0 1 g xf xfxx 故有 0 0 0 1 g xgx 因此 0 0 1 F xx 于是 F x 在 0 1 上單調(diào)增加 0 0 0 1 F xFx 取 1 x 即得 2 11 3 00 1 d d0 Ff ttf tt 所證結(jié)論成立 八 7 分 設(shè)函數(shù) f xg x 在區(qū)間 a a 上連續(xù) 0 a g x 為偶函數(shù) f x 滿 足條件 f xfxc c為常數(shù) 證明 0 d d aa a f x g xxcg xx 設(shè) sin u xxnx 其中n為正整數(shù) 2 2 0 0 xxx x xxx 由題設(shè) 存在 0 xa b 使 0111 11 22 f xf xf xf x 直線 a L 是曲線 yf x 上任意一 點(diǎn) a f a 處的切線 其中 0 1 a 記直線 a L 與曲線 yf x 以及直線 0 1 xx 所圍成的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 V a 試問(wèn) a 為何值時(shí) V a 取得 最小值 解 切線 a L 的方程為 yf afaxa 即 yfa xafaf a 于是 1 0 2 d V ax f xfa xafaf ax 1 0 11 2 d 322 a xf xxf afaf a 可見(jiàn) V a 在 0 1 連續(xù) 在 0 1 可導(dǎo) 令 1 2 32 0 323 a V afafafaa 由于 0 fa V a 在 0 1 內(nèi)有唯一的駐點(diǎn) 2 3 a 并且 當(dāng) 2 0 3 a 時(shí) 0 V a 因此 V a 在 2 3 a 處取得最小值 十一 7 分 設(shè) 1 閉曲線 是由圓錐螺線 OA z y x sin cos 從 0 變到2 和直線段 AO構(gòu)成 其中 0 0 0 O 2 0 2 A 2 閉曲線 將其所在的圓錐面 22 zxy 劃分成兩部分 是其中的有界部分 在 xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 求D上以 為曲頂?shù)那斨w的體積 求曲面 的面積 解 在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 在極坐標(biāo)系下表示為 O x y 1 a a L Page 8 of 9 0 02 r 故所求曲頂柱體的體積為 22 d d D Vxyx y 2 2 00 dd rr 2 34 0 14 d 33 所在的圓錐面方程為 22 zxy 曲面上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為 2222 1 1 xy xy nzz xyxy 故所求曲面 的面積 22 1 d d2 d d xy DD Szzx yx y 22 23 000 24 2 2ddd 23 r r 十二 7 分 設(shè)圓 22 2 xyy 含于橢圓 22 22 1 xy ab 的內(nèi)部 且圓與橢圓相切于兩點(diǎn) 即在這兩點(diǎn)處圓與橢圓都有公共切線 求 a與 b滿足的等式 求 a與 b的值 使橢圓的面積最小 解 根據(jù)條件可知 切點(diǎn)不在 y 軸上 否則圓與橢圓只可能相切于一點(diǎn) 設(shè)圓與橢圓 相切于點(diǎn) 00 xy 則 00 xy 既滿足橢圓方程又滿足圓方程 且在 00 xy 處橢圓的切線斜 率等于圓的切線斜率 即 2 00 2 00 1 b xx a yy 注意到 0 0 x 因此 點(diǎn) 00 xy 應(yīng)滿足 22 00 22 22 000 2 2 00 1 1 2 2 1 3 1 xy ab xyy b a yy 由 1 和 2 式 得 22 22 00 2 20 ba yya b 4 O x y 2 Page 9 of 9 由 3 式得 2 0 22 b y ba 代入 4 式 2242 2 222222 2 0 babb a bbaba 化簡(jiǎn)得 2 2 22 b a ba 或 2242 0 a bab 5 按題意 需求橢圓面積Sab 在約束條件 5 下的最小值 構(gòu)造函數(shù) 2242 L a baba bab 令 23 2 2242 24 0 6 22 0 7 0 8 a b