高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 函數(shù)的值域與最值 理 課件.ppt

第5講函數(shù)的值域與最值 學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解函數(shù)的最大 小 值的概念及幾何意義 熟練掌握基本初等函數(shù)的值域 掌握求函數(shù)的值域和最值的基本方法 基礎(chǔ)檢測(cè) 1 設(shè)函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 有下列三個(gè)命題 若存在常數(shù)m 使得對(duì)任意x r 有f x m 則m是函數(shù)f x 的最大值 若存在x0 r 使得對(duì)任意x r 且x x0 有f x f x0 則f x0 是函數(shù)f x 的最大值 若存在x0 r 使得對(duì)任意x r 有f x f x0 則f x0 是函數(shù)f x 的最大值 這些命題中 正確命題的個(gè)數(shù)是 a 0個(gè)b 1個(gè)c 2個(gè)d 3個(gè) c 解析 根據(jù)最大值的定義 對(duì)于 m可能是最大值 也可能是比最大值還大的數(shù) 則顯然與最大值的定義是一致的 因此是正確的 2 函數(shù)y x2 2x的定義域是 0 1 2 則該函數(shù)的值域?yàn)?a 1 0 b 0 1 2 c y 1 y 0 d y 0 y 2 a 解析 當(dāng)x 0時(shí) y 0 當(dāng)x 1時(shí) y 1 當(dāng)x 2時(shí) y 0 故值域?yàn)?1 0 b b 5 已知函數(shù)f x x2 2x 3 若在 0 m 上有最大值為3 最小值為1 則m的取值范圍是 2 4 解析 f x x 2 2 1 由圖可知 m 2 4 知識(shí)要點(diǎn) 1 函數(shù)的值域函數(shù)f x 的值域是的集合 記為 y y f x x a 其中a為f x 的定義域 2 常見(jiàn)函數(shù)的值域 1 一次函數(shù)y kx b k 0 的值域?yàn)?2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 當(dāng)a 0時(shí) 值域?yàn)?當(dāng)a 0時(shí) 值域?yàn)?函數(shù)值y r 3 反比例函數(shù)y k 0 的值域?yàn)?4 指數(shù)函數(shù)y ax a 0且a 1 的值域?yàn)?5 對(duì)數(shù)函數(shù)y logax a 0且a 1 的值域?yàn)?6 正 余弦函數(shù)y sinx y cosx的值域?yàn)?正切函數(shù)的值域?yàn)?0 0 0 0 r 3 函數(shù)的最值一般地 設(shè)函數(shù)y f x 的定義域?yàn)閕 如果存在實(shí)數(shù)m 1 若 x i f x m且 x0 i f x0 m 則稱m為f x 的 2 若 x i f x m且 x0 i f x0 m 則稱m為f x 的 最大值 最小值 3 單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法 如求無(wú)理函數(shù)的值域 務(wù)必先考慮定義域 若為單調(diào)函數(shù) 則直接求解即可 若不是單調(diào)函數(shù) 往往通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù) 三角函數(shù)等函數(shù)的值域問(wèn)題或利用均值不等式求解 換元時(shí) 務(wù)必注意新變量的取值范圍 否則將會(huì)擴(kuò)大取值范圍 4 判別式法 主要適用于可化為關(guān)于x的二次方程a y x2 b y x c y 0的函數(shù)y f x 在由 0且a y 0 求出y的最值后 要檢驗(yàn)這個(gè)最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的x的值 5 換元法 主要有三角代換 二元代換 整體代換等 用換元法時(shí) 一定要注意新變量的取值范圍 6 數(shù)形結(jié)合法 常用于解答選擇題 填空題或探究解題思路 二 函數(shù)的最值例2已知二次函數(shù)f x ax2 bx f x 1 為偶函數(shù) 函數(shù)f x 的圖象與直線y x相切 1 求f x 的解析式 2 若常數(shù)k 存在區(qū)間 m n m n 使得f x 在區(qū)間 m n 上的值域恰好為 km kn 求出區(qū)間 m n 點(diǎn)評(píng) 1 要注意定義域?qū)χ涤虻南拗谱饔?即在定義域內(nèi)用相應(yīng)方法求值域 2 要注意參數(shù)對(duì)值域的影響 即要分類討論 3 要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 即借助于圖象確定函數(shù)的值域或最值 點(diǎn)評(píng) 求解含參不等式恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化 利用函數(shù)方程思想求解 備選題 例4設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x 2x2 x a x a 1 若f 0 1 求a的取值范圍 2 求f x 的最小值 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的概念 性質(zhì) 圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí) 考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 分類討論的思想方法進(jìn)行探索 分析與解決問(wèn)題的綜合能力 1 函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合 它受到定義域的制約 故求值域時(shí)應(yīng)首先考慮定義域 2 求值域的常用方法 一是要掌握基本的初等函數(shù)及它們的復(fù)合函數(shù)的值域 二是要掌握利用單調(diào)性求值域 三是要掌握利用導(dǎo)數(shù)法求值域 這是三種最基本的方法 此外還有基本不等式法 數(shù)形結(jié)合法等 3 最值可由值域而得到 但我們也要重視最值的概念 注意檢驗(yàn)是否具備取得最值的條件 4 分離參數(shù)是解決不等式恒成立問(wèn)題中的通解通法之一 注意分清 主元 和 參數(shù) 1 2011福建 若a 0 b 0 且函數(shù)f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1處有極值 則ab的最大值等于 a 2b 3c 6d 9 d 2 2011北京 已知函數(shù)f x x k ex 求f x 的單調(diào)區(qū)間 求f x 在區(qū)間 0 1 上的最小值 當(dāng)k 1 0 即k 1時(shí) f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 f x min f 0 k 當(dāng)0 k 1 1 即1 k 2時(shí) 由 知f x 在 0 k 1 上單調(diào)遞減 k 1 1 上單調(diào)遞增 f x min f k 1 ek 1 當(dāng)k 1 1 即k 2時(shí) f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 f x min f 1 1 k e 綜上所述 當(dāng)k 1時(shí) f x min k 當(dāng)1 k 2時(shí) f x min ek 1 當(dāng)k 2時(shí) f x min 1 k e 命題立意 1 本題考查了用導(dǎo)數(shù)求極值 均值不等式等知識(shí) 題目難度中等 重在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本計(jì)算能力 2 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 最值問(wèn)題 考查分類討論思想 考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力 難度適中 1 若函數(shù)f x loga x 1 a 0 a 1 的定義域和值域都是 0 1 則a的值等于 a b c d 2 d 解析 0 x 1 1 x 1 2 而0 f x 1 可知a 1且loga2 1 a 2 c a 4 若函數(shù)f x x3 3x a在區(qū)間 0 3 上的最大值和最小值分別是m n 則m n a 10b 20c 30d 40 b 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 則x 0 1 時(shí) f x 0 f x 為增函數(shù) f x min f 1 2 a 即n 2 a 又f 0 a f 3 18 a m 18 a m n 20 故選b 2 6 函數(shù)y x 4的值域?yàn)?2 解析 令t 則t 0 x 2 t2 y 2 t2 4t t 2 2 6 t 0 顯然y在 0 上單調(diào)遞減 ymax 4 6 2 y 2 7 已知函數(shù)f x 對(duì)于任意x y r 總有f x f y f x y 當(dāng)x 0時(shí) f x 0 f 1 且f x 在r上是減函數(shù) 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 f x 對(duì)于任意x