2012高三解析幾何習(xí)題答案解析（2）

2013屆高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題（16）解析幾何一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1若直線l與直線y1、x7分別交于點(diǎn)P、Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則直線l的斜率為() A. BC D.解析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,1)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(7，b)，則PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為，則 解得即可得P(5,1)，Q(7，3)，故直線l的斜 率為kPQ.答案：B2若直線x(a2)ya0與直線axy10互相垂直，則a的值為()A2 B1或2 C1 D0或1解析：依題意，得(a)1，解得a1.答案：C3已知圓(x1)2(y3)2r2(r0)的一條切線ykx與直線x5的夾角為，則半徑r的值為()A. B.C.或 D.或解析：直線ykx3與x5的夾角為，k.由直線和圓相切的條件得r或.答案：C4頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線yx1截得的弦長是，則拋物線的方程是()Ay2x，或y25x By2xCy2x，或y25x Dy25x解析：由題意，可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時應(yīng)有兩種形式，此時應(yīng)設(shè)為y2mx(m0)，聯(lián)立兩個方程，利用弦長公式，解得m1，或m5，從而選項(xiàng)A正確答案：A5已知圓的方程為x2y26x8y0，若該圓中過點(diǎn)M(3,5)的最長弦、最短弦分別為AC、BD，則以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形ABCD的面積為()A10 B20 C30 D40解析：已知圓的圓心為(3,4)，半徑為5，則最短的弦長為24，最長的弦為圓的直徑為10，則四邊形的面積為41020，故應(yīng)選B.答案：B6若雙曲線1的一個焦點(diǎn)到其對應(yīng)準(zhǔn)線和一條漸近線的距離之比為，則雙曲線的離心率是()A3 B5 C. D.解析：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為c，焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，e.答案：C7若圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：如圖，據(jù)題意知圓的直徑為兩平行直線x-y=0，x-y-4=0之間的距離2，故圓的半徑為，又A(2，-2)，故圓心C(1，-1)，即圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8已知拋物線y22px(p0)，過點(diǎn)E(m,0)(m0)的直線交拋物線于點(diǎn)M、N，交y軸于點(diǎn)P，若，則()A1 B C1 D2解析：設(shè)過點(diǎn)E的直線方程為yk(xm)代入拋物線方程，整理可得k2x2(2mk22p)xm2k20.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2m2.由可得則1.答案：C9直線MN與雙曲線C：1的左、右支分別交于M、N點(diǎn)，與雙曲線C的右準(zhǔn)線相交于P點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若|FM|2|FN|，又(R)，則實(shí)數(shù)的值為()A. B1 C2 D.解析：如圖所示，分別過點(diǎn)M、N作MBl于點(diǎn)B，NAl于點(diǎn)A.由雙曲線的第二定義，可得=e，則=2.MPBNPA，=，即=.答案：A10在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,0)，B(a,4)及到直線x1的距離都相等，如果這樣的點(diǎn)P恰好只有一個，那么a()A1 B2C2或2 D1或1解析：依題意得，一方面，點(diǎn)P應(yīng)位于以點(diǎn)A(1,0)為焦點(diǎn)、直線x1為準(zhǔn)線的拋物線y24x上；另一方面，點(diǎn)P應(yīng)位于線段AB的中垂線y2上由于要使這樣的點(diǎn)P是唯一的，因此要求方程組有唯一的實(shí)數(shù)解結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可當(dāng)a1時，拋物線y24x與線段AB的中垂線有唯一的公共點(diǎn)，適合題意；當(dāng)a1時，線段AB的中垂線方程是yx2，易知方程組有唯一實(shí)數(shù)解綜上所述，a1，或a1.答案：DX k b 1 . c o m11已知橢圓C：y21的焦點(diǎn)為F1、F2，若點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PO|2|PF1|PF2|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則稱點(diǎn)P為“點(diǎn)”下列結(jié)論正確的是()A橢圓C上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”B橢圓C上僅有有限個點(diǎn)是“點(diǎn)”C橢圓C上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”D橢圓C上有無窮多個點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“點(diǎn)”解析：設(shè)橢圓C：y21上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos，sin)，由|PO|2|PF1|PF2|，可得4cos2sin2，整理可得cos2，即可得cos，sin，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即橢圓C上有4個點(diǎn)是“點(diǎn)”答案：B12設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，P為雙曲線上的一個動點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，若從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q、R兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|2與|OQ|OR|的大小關(guān)系為()A|OP|2|OQ|OR| B|OP|2|OQ|OR|C|OP|2|OQ|OR| D不確定解析：設(shè)P(x0，y0)，雙曲線的漸近線方程是yx，直線AQ的方程是y(xa)，直線AR的方程是y(xa)，直線OP的方程是yx，可得Q，R.又1，可得|OP|2|OQ|OR|.答案：C第卷(非選擇共90分)二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分13若兩直線2xy20與ax4y20互相垂直，則其交點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析：由已知兩直線互相垂直可得a2，則由得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)答案：(1,0)14如果點(diǎn)M是拋物線y24x的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x4)2(y1)21上，那么|MA|MF|的最小值為_解析：如圖所示，過點(diǎn)M作MBl于點(diǎn)B.由拋物線定義，可得|MF|MB|，則|MA|MF|MA|MB|CB|14114.答案：415若過原點(diǎn)O且方向向量為(m,1)的直線l與圓C：(x1)2y24相交于P、Q兩點(diǎn)，則_.解析：可由條件設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程運(yùn)用韋達(dá)定理可求解，其中x1x2y1y2是引發(fā)思路的關(guān)鍵答案：316如果F1為橢圓C：y21的左焦點(diǎn)，直線l：yx1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，那么|F1A|F1B|的值為_解析：將l：yx1代入橢圓C：y21，可得x22(x1)220，即3x24x0，解之得x0，或x.可得A(0，1)，B.又F1(1,0)，則|F1A|F1B|.答案：新 課 標(biāo) 第 一 網(wǎng)三、解答題：本大題共6小題，共70分17(10分)已知橢圓C：1(ab0)的長軸長為4.(1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線yx2相切，求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為kPM、kPN，當(dāng)kPMkPN時，求橢圓的方程解析：(1)由b，得b，又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，故兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)(2)由于過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M、N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，不妨設(shè)M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)點(diǎn)M、N、P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有1，1，兩式相減，得.由題意它們的斜率存在，則kPM，kPN，kPMkPN，則.由a2，得b1.故所求橢圓的方程為y21.18(12分)已知兩點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足|.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若點(diǎn)A(t,4)是動點(diǎn)P的軌跡上的一點(diǎn)，K(m,0)是x軸上的一動點(diǎn)，試討論直線AK與圓x2(y2)24的位置關(guān)系解析：(1)設(shè)P(x，y)，則(2,0)，(x1，y)，(x1，y)由|，得22(x1)，化簡，得y24x.故動點(diǎn)P的軌跡方程為y24x.(2)由點(diǎn)A(t,4)在軌跡y24x上，則424t，解得t4，即A(4,4)當(dāng)m4時，直線AK的方程為x4，w w w .x k b 1.c o m此時直線AK與圓x2(y2)24相離當(dāng)m4時，直線AK的方程為y(xm)，即4xm(m4)y4m0，圓x2(y2)24的圓心(0,2)到直線AK的距離d，令d2，解得m1；令d2，解得m1；令d2，解得m1.綜上所述，當(dāng)m1時，直線AK與圓x2(y2)24相交；當(dāng)m1時，直線AK與圓x2(y2)24相切；當(dāng)m1時，直線AK與圓x2(y2)24相離19(12分)如圖，已知直線L：xmy1過橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若拋物線x24y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M，且1，2，當(dāng)m變化時，求12的值解析：(1)易知b，得b23.又F(1,0)，c1，a2b2c24，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，于是.(*)L與y軸交于點(diǎn)M，又由1，1(1x1，y1)，11.同理21.從而1222.即12.20(12分)設(shè)G、M分別為ABC的重心與外心，A(0，1)，B(0,1)，且(R)(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足|，試求k的取值范圍解析：(1)設(shè)C(x，y)，則G.，(R)，GMAB.點(diǎn)M是三角形的外心，M點(diǎn)在x軸上，即M.又|， ，整理，得y21，(x0)，即為曲線C的方程(2)當(dāng)k0時，l和橢圓C有不同兩交點(diǎn)P、Q，根據(jù)橢圓對稱性有|.當(dāng)k0時，可設(shè)l的方程為ykxm，聯(lián)立方程組消去y，整理，得(13k2)x26kmx3(m21)0.(*)直線l和橢圓C交于不同兩點(diǎn)，(6km)24(13k2)(m21)0，即13k2m20.(*)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1，x2是方程(*)的兩相異實(shí)根，于是有x1x2.則PQ的中點(diǎn)N(x0，y0)的坐標(biāo)是x0，y0kx0m，即N，又|，kkANk1，m.將m代入(*)式，得13k220(k0)，即k21，得k(1,0)(0,1)綜合得，k的取值范圍是(1,1)21(12分)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，它的一條準(zhǔn)線方程為x2.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)A、B為橢圓上的兩個動點(diǎn)，橢圓的中心到直線AB的距離為，求AOB的大小解析：(1)由題意，知，2，得a，c1，故a22，b21，故橢圓方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線AB的方程為x，或ykxb.當(dāng)直線AB的方程為x時，由可求A，B.從而0，可得AOB.同理可知當(dāng)直線AB的方程為x時，和橢圓交得兩點(diǎn)A、B.可得AOB.當(dāng)直線AB的方程為ykxb.由原點(diǎn)到直線的距離為，得.即1k2b2.又由消去y，得(12k2)x24kbx2b220.得x1x2，x1x2，從而y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.x1x2y1y2，將1k2b2代入上式，得0，AOB90.22(12分)已知動點(diǎn)P與雙曲線x21的兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為大于4的定值，且|的最大值為9.(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若A、B是曲線E上相異兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0，2)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析：(1)雙曲線x21的兩焦點(diǎn)F1(2,0)、F2(2,0)設(shè)已知定值為2a，則|2a，因此，動點(diǎn)P的軌跡E是以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)，長軸長為2a的橢圓設(shè)橢圓方程為1(ab0)|2a2